广东省东莞市高二数学上学期期末试卷（A卷） 理（含解析）.doc

广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（a卷）（理科） 一.选择题1（5分）命题“若x2015，则x0”的否命题是（）a若x2015，则x0b若x0，则x2015c若x2015，则x0d若x0，则x20152（5分）若ar，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件3（5分）在a bc中，角 a，b，c的对边长分别为a，b，c，a=4，a=45，b=60，则b=（）a2b2c2d4（5分）已知等比数列an，a1=1，a3=，则a5=（）abcd5（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）a=1b=1c=1d6（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，a1=1，s5=15，则数列的前10项和为（）abcd7（5分）已知空间四边形oabc，m，n分别是oa，bc的中点，点g是线段mn的中点，设，则x，y，z的值分别是（）abcd8（5分）设a0，b0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）a6b3+2c1d9（5分）方程pxqy2=0与px2qy2=1（pq0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）abcd10（5分）已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，m是它们的一个公共点，且f1mf2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）a2bcd4二.填空题11（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为12（5分）已知等差数列an，a1=1，公差d0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=13（5分）若命题“x0r，x02+（a1）x0+10”是假命题，则实数a的取值范围为14（5分）曲线c是平面内与两个定点f1（1，0）和f2（1，0）的距离的积等于常数m2（m1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线c过坐标原点曲线c关于坐标原点对称若点p在曲线c上，则f1pf2的面积的最大值为其中所有正确结论的序号是三.解答题15（12分）在a bc中，a，b，c分别是角 a，b，c的对边，cosb=且ac=35（1）求abc的面积；（2）若a=7，求角c16（12分）设命题p：实数x满足x25ax+4a20，其中a0，命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围17（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形，dab=60，ab=2cd=2，m是线段ab的中点（）求证：c1m平面a1add1；（）若cd1垂直于平面abcd且cd1=，求平面c1d1m和平面abcd所成的角（锐角）的余弦值19（14分）已知sn为数列an的前n项和，且a1=1，sn+1=an+1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b，其前n项和为tn，求证：1是否存在最小整数m，使得不等式m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由20（14分）已知椭圆+=1（ab0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为f1（1，0）、f2（1，0），过椭圆的右焦点f2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 a、b及c、d（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|ab|+|cd|的最小值广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（a卷）（理科）参考答案与试题解析一.选择题1（5分）命题“若x2015，则x0”的否命题是（）a若x2015，则x0b若x0，则x2015c若x2015，则x0d若x0，则x2015考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：否命题是既否定题设又否定结论，从而得到答案解答：解：命题“若x2015，则x0”的否命题是：若x2015，则x0，故选：c点评：要将命题的否定和否命题区分开来，本题属于基础题2（5分）若ar，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，解答：解：若a=2，则（a2）（a+4）=0，是充分条件，若（a2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：b点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题3（5分）在a bc中，角 a，b，c的对边长分别为a，b，c，a=4，a=45，b=60，则b=（）a2b2c2d考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理可得b=，代入已知即可求值解答：解：由正弦定理可得：b=2故选：a点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题4（5分）已知等比数列an，a1=1，a3=，则a5=（）abcd考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质可得a32=a1a5，代值计算可得解答：解：等比数列an，a1=1，a3=，a32=a1a5，=1a5，解得a5=故选：c点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题5（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）a=1b=1c=1d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出双曲线的方程，求出渐近线方程，可得a=2b，a2+b2=100，解方程即可得到双曲线的方程解答：解：设双曲线的方程为=1（a0，b0），则渐近线方程为y=x，则有=，c=10，a2+b2=100，解得a2=80，b2=20，即有双曲线的方程为=1故选d点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题6（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，a1=1，s5=15，则数列的前10项和为（）abcd考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列性质计算可得，也可由s5=15直接求公差推出通项公式，然后利用裂项法求解数列的和解答：解：等差数列an的前n项和为sn，a1=1，s5=15=5，可得a5=5d=1，an=n，=，数列的前10项和为：=故选：a点评：本题考查数列的求和的方法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理应用7（5分）已知空间四边形oabc，m，n分别是oa，bc的中点，点g是线段mn的中点，设，则x，y，z的值分别是（）abcd考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：利用已知条件，转化向量关系，通过平面向量的运算，推出结果即可解答：解：空间四边形oabc，m，n分别是oa，bc的中点，点g是线段mn的中点，可知，=，=，x，y，z的值分别是故选：a点评：本题考查平面向量基本定理的应用，空间向量转化为平面向量的解题的关键8（5分）设a0，b0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）a6b3+2c1d考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：是5a与5b的等比中项，可得a+b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：是5a与5b的等比中项，5a5b=5，a+b=1a0，b0，=（a+b）=3+=3+2当且仅当a=b时取等号的最小值为3+2故选：b点评：本题考查了等比数列的性质、指数运算法则、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题9（5分）方程pxqy2=0与px2qy2=1（pq0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）abcd考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：函数的性质及应用分析：分别根据圆锥曲线的定义，逐一判断和每个选项，即可得到答案解答：解：方程pxqy2=0可化为y2=x，这表示焦点在x轴的抛物线，排除d；当开口向右时，0，则pq0，所以px2qy2=1（pq0）表示双曲线，排除c；当开口向左时，0，则pq0，所以px2qy2=1（pq0）表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除b；故选：a点评：本题考查了圆锥曲线的方程，利用排除法时选择题常用的方法，属于基础题10（5分）已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，m是它们的一个公共点，且f1mf2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）a2bcd4考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|mf1|=r1，|mf2|=r2，|f1f2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2f1mf2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2，即=1，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，即=1，联立得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）（1+）2，即（+）24=，即+，当且仅当e1=，e2=时取等号即取得最大值且为故选c点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大二.填空题11（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4=1抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键12（5分）已知等差数列an，a1=1，公差d0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=31考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得（1+d）2=1（1+5d），解得d由等差数列的通项公式可得解答：解：等差数列an，a1=1，公差d0，且a1，a2，a6成等比数列，a22=a1a6，代入数据可得（1+d）2=1（1+5d），解得d=3，或d=0（舍去）a11=a1+10d=1+103=31故答案为：31点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的通项公式，属基础题13（5分）若命题“x0r，x02+（a1）x0+10”是假命题，则实数a的取值范围为1，3考点：特称命题；命题的否定 专题：规律型分析：根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围解答：解：命题“x0r，x+（a1）x0+10”是假命题，命题“xr，x2+（a1）x+10”是真命题，即对应的判别式=（a1）240，即（a1）24，2a12，即1a3，故答案为：1，3点评：本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础14（5分）曲线c是平面内与两个定点f1（1，0）和f2（1，0）的距离的积等于常数m2（m1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线c过坐标原点曲线c关于坐标原点对称若点p在曲线c上，则f1pf2的面积的最大值为其中所有正确结论的序号是考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意曲线c是平面内与两个定点f1（1，0）和f2（1，0）的距离的积等于常数a2（a1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），由两点的距离公式得到动点的轨迹方程，代入原点，即可判断；把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变，即可判断；求出面积，由轨迹方程解得y2，再配方求得最大值，即可判断解答：解：对于，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：=m2（x+1）2+y2（x1）2+y2=m4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，故错；对于，把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称故正确；对于，由题意知点p在曲线c上，则f1pf2的面积s=2|y|=|y|，由（1）式平方化简的：y4+（x+1）2+（x1）2y2+（x21）2m4=0y2=x21+或y2=x21（舍） 把三角形的面积式子平方得：s2=y2 对于y2=x21+（2） 令=t（tm21）x2=，代入（2）得y2=+1+t=（t2）2+，故可知sm2，故错故答案为：点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域三.解答题15（12分）在a bc中，a，b，c分别是角 a，b，c的对边，cosb=且ac=35（1）求abc的面积；（2）若a=7，求角c考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（1）由已知可先求sinb的值，由ac=35，即可根据面积公式求sabc的值（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosc的值，即可求出c的值解答：解：（1）cosb=，且b（0，），sinb=，又ac=35，（3分）sabc=acsinb=14（6分）（2）由ac=35，a=7，得c=5，（7分）b2=a2+c22accosb=49+252=32，b=4，（9分）cosc=（10分）又c（0，）（11分）c=（12分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题16（12分）设命题p：实数x满足x25ax+4a20，其中a0，命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用pq为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；（2）求出命题p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围解答：解：（1）若a=1，不等式为x25x+40，即1x4，即p：1x4，由x24x+30得（x3）（x1）0，则1x3，即q：1x3，若pq为真，则p，q同时为真，即，解得1x3，则实数x的取值范围是1x3；（2）x25ax+4a20，（xa）（x4a）0，若a0，则不等式的解为ax4a，若a0，则不等式的解为4axa，q：1x3，若p是q的必要不充分条件，则a0，且，即a1，则实数a的取值范围是，1点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键17（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可解答：解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则（1分）（5分）目标函数为z=0.3x+0.2y，（6分）不等式组等价于可行域如图所示，（9分）当目标函数对应的直线经过点m时，目标函数z取最小值（10分）解方程组得m的坐标（75，225）（12分）所以zmax=0.375+0.2225=67.5（13分）答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元（14分）点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键18（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形，dab=60，ab=2cd=2，m是线段ab的中点（）求证：c1m平面a1add1；（）若cd1垂直于平面abcd且cd1=，求平面c1d1m和平面abcd所成的角（锐角）的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何分析：（）连接ad1，易证amc1d1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得c1m平面a1add1；（）作cpab于p，以c为原点，cd为x轴，cp为y轴，cd1为z轴建立空间坐标系，易求c1（1，0，），d1，（0，0，），m（，0），=（1，1，0），=（，），设平面c1d1m的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面abcd的法向量=（1，0，0），从而可求得平面c1d1m和平面abcd所成的角（锐角）的余弦值解答：解：（）连接ad1，abcda1b1c1d1为四棱柱，cdc1d1，又m为ab的中点，am=1cdam，cd=am，amc1d1，amc1d1为平行四边形，ad1mc1，又mc1平面a1add1，ad1平面a1add1，c1m平面a1add1；（）解法一：aba1b1，a1b1c1d1，面d1c1m与abc1d1共面，作cnab，连接d1n，则d1nc即为所求二面角，在abcd中，dc=1，ab=2，dab=60，cn=，在rtd1cn中，cd1=，cn=，d1n=cosd1cn=解法二：作cpab于p，以c为原点，cd为x轴，cp为y轴，cd1为z轴建立空间坐标系则c1（1，0，），d1，（0，0，），m（，0），=（1，0，0），=（，），设平面c1d1m的法向量=（x1，y1，z1），则，=（0，2，1）显然平面abcd的法向量=（0，0，1），cos，|=，显然二面角为锐角，平面c1d1m和平面abcd所成的角（锐角）的余弦值为点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知sn为数列an的前n项和，且a1=1，sn+1=an+1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b，其前n项和为tn，求证：1是否存在最小整数m，使得不等式m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）在数列递推式中取n=n1得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数列的通项公式能求出数列an的通项公式（2）把数列an的通项代入bn=，利用错位相减法求数列bn的前n项和tn，由此能证明1把sk，tk代入，整理后利用裂项相消法化简，放缩后可证得数列不等式=，由此能求出m的取值范围解答：（1）解