13.3.1 等腰三角形（第1课时）.doc

13.3 等腰三角形（第1课时）一、内容和内容解析1内容等腰三角形的性质.2内容解析本节课是在学习了三角形的有关概念，全等三角形和轴对称知识的基础上进行的.主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”性质. 本节内容既是前面知识的深化和应用，又是证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的重要依据，还是学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的预备知识，具有承上启下的重要作用. 等腰三角形性质的探究，结合轴对称来完成，借助于轴对称发现了等腰三角形的性质，将图形的变化与图形的性质有机整合.利用图形的变化得到了图形的性质，再通过推理证明这些结论.使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，完成好由实验几何到论证几何的过渡.同时也体现了转化的思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点：等腰三角形性质的探索和证明.二、目标和目标解析1.目标(1) 探索并证明等腰三角形的两个性质.(2) 能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.(3) 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.2.目标解析达成目标 (1) 的标志是：学生能借助实验发现等腰三角形的两个性质；能正确理解两个性质的含义（会区分命题的条件和结论，能用数学语言准确表述性质的含义，特别是“重合”和“三线合一”的含义，会将性质“三线合一”分解成三个命题），能利用三角形全等证明两个性质；达成目标 (2) 的标志是：能在等腰三角形的情境中利用两个性质证明两个角相等或两条线段相等.达成目标 (3) 的标志是：学生能借助轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线证明性质的方法.三、教学问题诊断分析本节课学生通过折纸实验发现等腰三角形的性质，综合运用已有知识证明等腰三角形的性质，这对于刚接触系统性证明的八年级学生而言，可能会遇到困难，所以等腰三角形性质的证明是学生学习过程中的难点,尤其是性质1中证明中辅助线的添加.学生由于认知经验的不足，对等腰三角形性质2的理解容易出现错误，影响对性质2的应用，教师在教学中应引导学生将性质2分解为三个结论以此来加深学生对性质2的理解.本节课的教学难点是：性质1证明中辅助线的添加和对性质2的理解.四、教学过程设计1.将实际生活情景抽象为数学几何元素问题1从这些美丽的图片中你能抽象出什么几何图形？它们有什么共同特点？说一说在你的身边还有哪些形如等腰三角形的例子呢？师生活动：教师展示课件素材，学生欣赏，并回答出各自对这些图形的认识.设计意图：向学生展示家乡的物和景促进他们对家乡的热爱之情，又可以引导学生从中抽象出等腰三角形图形，从而使学生充分体验等腰三角形的对称美，唤起学生兴趣及探索欲望.追问：什么是等腰三角形？师生活动：师生共同回顾等腰三角形的定义及相关概念.设计意图：回顾等腰三角形定义，为进一步的学习和探究活动做准备.2.探索等腰三角形的性质问题2 你能用长方形的卡纸制作一个等腰三角形吗？你是如何制作的？为什么你做的就是一个等腰三角形？师生活动：学生自主完成等腰三角形的制作后，分小组讨论制作方法，最后派小组代表全班演示自己的做法.设计意图：在复习了等腰三角形的定义后，开放式的实验探究，让学生通过图1画图、作图、折纸、剪纸、度量等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程.追问1：将手中的等腰三角形对折, 使两腰重合,观察等腰三角形的两个底角，你有什么发现？图2师生活动：师生齐动手，由教师引导，学生观察直接得出，猜想1：等腰三角形的两个底角相等.追问2：进一步探究：打开对折的等腰三角形，你还能找到哪些相等的线段或角？折痕在位置上有什么特征呢？你又发现了什么？师生活动：学生动手操作，相互交流，得出，猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.设计意图：通过实验操作，让学生在反复比较的过程中发现等腰三角形共同的、本质的特征；体会认识事物的方法由特殊到一般，进一步培养学生抽象概括能力；让学生从实际生活中领悟“三线合一”，并形成等腰三角形性质的内容.3.证明等腰三角形的性质问题3 利用实验操作的方法我们对等腰三角形的性质进行了猜想，你的结论一定正确吗？有理由说服大家吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题.设计意图：以提问质疑的方式再次激活学生的思维，努力寻找证实自我价值的依据，以体现数学命题证明的必要性和严谨性.问题4 你能自己证明猜想1吗？要证明这个文字命题，我们应该从哪入手？师生活动：师生共同分析命题的条件和结论，在教师的引导下，学生根据结论画出图形，写出已知、求证.设计意图：让学生理解等腰三角形性质简捷表述形式的真正含义，会进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转换.追问：（1）我们常用证明两个角相等的方法是什么？（2）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等的三角形？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？师生活动：（1）学生在教师设置的问题串的启发下获得证明思路，即要证明两个底角相等，只需证明这两个角所在的三角形全等即可.由前面的操作可以得到启发，即作出折痕. 而这条折痕既是等腰三角形顶角的角平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高，自然得出三种辅助线的作法.（2）在此基础上，要求小组内以组长负责组员自选的方式，以小组为单位写出3种证明方法. 小组派代表以实物投影的方式全班展示，师生共同分析所展示的解题过程，小组间可交叉点评，教师重点关注证明的规范性，特别是“作底边上的高”这种方法.（3）结合图形，师生共同完成符号语言的转化.图3已知：如图3，ABC中，AB=AC.求证：B=C.证明（方法一）：作底边上的中线AD. AB=AC，BD=CD，AD=AD， ABDACD （SSS） B=C.性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).符号语言：ABC中：AB=AC B=C设计意图：辅助线的添加是证明性质1的难点，也是本节课要重点突破的难点，设置问题串旨在让学生从操作实验中发现辅助线的添加方法，启发学生获得证明思路，让学生逐步实现由实验几何到论证几何的演变. 问题5 你能利用这些结论证明出猜想2吗？师生活动：教师引导学生反思性质1的证明过程，利用已证得的三角形全等的结论，证明出性质2.由于学生添加的辅助线不同，从而生成了三种不同的理解：（1）若“作底边上中线”，则得出它是底边上的高又是顶角的角平分线；（2）若“作底边上的高”，则得出它是底边上的中线又是顶角的角平分线；（3）若“作顶角的平分线”，则得出它是底边上的中线又是底边上的高.图4全班交流后，教师强调性质2的三种理解. 最后，结合图形，学生以填空的形式完成符号语言的转化.性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).如图4，在ABC中，AB=AC.(1) ADBC，_= _，_ = _. (2) AD是中线，_，_ = _.(3) AD是角平分线，_，_ =_.说明：性质2使用时必须注意：“知一线推三线，等腰前提不能忘.”设计意图：引导学生从反思性质1的证明过程出发，证明出性质2的结论.让学生体验辅助线的添加与解决问题思路的相关性，提高添加辅助线的自觉性和能动性.4.运用等腰三角形的性质练习 （1）填空：如图5，ABC中，AB=AC. 图5C=_B=_； B=_C=_； A=_C=_. 图6 (2) 判断：等腰三角形的一个内角为30，则另外两个角的度数分别为30，120. ( ) 如图6：BF=EF (已知)1=2 (等边对等角).( )师生活动：学生回答，相互补充，并说明理由.设计意图：第（1）题用于巩固性质1，同时为他们后续学习两类特殊的等腰三角形（等边三角形和等腰直角三角形）打下基础.第（2）题的第一个判断是要学习分类讨论的思想;进一步研究等腰三角形内角特征：顶角度数+2底角度数=180；0顶角度数180；0底角度数90.第二个判断主要是强调在运用“等边对等角”时必须是在同一个三角形中.图7例 如图7，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.追问：（1）图中有哪几个等腰三角形？（2）有哪些相等的角？（3）这两组角之间还有什么关系？师生活动：（1）教师通过问题引导学生分析解题思路：先利用已知条件根据等腰三角形的定义找出图形中所有的等腰三角形：ABC，ABD，BDC；然后根据“等边对等角”和“等量代换”得出所有相等的角：ABC=ACB=BDC，A=ABD；再根据“三角形内角和定理”找到这两组角之间的关系.（2）为了便于表达，引导学生设未知数解决问题.（3）在此基础上要求学生独立完成解题过程，小组派代表以实物投影的方式全班展示，师生共同分析所展示的解题过程，小组间可交叉点评，教师适当纠正.设计意图：通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中角的度数，让学生进一步加深对等腰三角形性质的认识.5.小结师生一起回顾本节课所学的内容，并请大家回答以下问题： 本节课学习了等腰三角形的哪些性质？使用“三线合一”证明的条件是什么？ 过本节课的学习，你在解题思路和方法上有什么收获？ 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”定理，明确“三线合一”的证明条件，并在解题思路和方法上进行自我归纳.6.布置作业(1)必做题：课本P81.1，P77.3；(2)选做题：课本P83.14；(3)兴趣作业：请你利用等腰三角形的知识设计一个实用的生活工具吧！五、目标检测设计1如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，BD=CD.那么B=_，C= ，BDA= _，CAD= .第2题第1题 设计意图：考查学生对性质1的掌握.2. 如图