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初中数学活动课程讲座梯 形天堂初中数学组（一）知识概要1.梯形的概念及判定方法（1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； 直角梯形：一腰垂直于底边的梯形叫做直角梯形.（2） 梯形的判定方法：定义判定；对角线相等的梯形是等腰梯形；在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.2. 梯形问题的转化解决梯形问题通常要转化为三角形，经常用到的转化方法如下图所示： （二）典例解析例1.（2008成都中考题）在梯形ABCD中，AD/BC,AB =DC,E、F分别是AB和BC上的点. （1）如图1，以EF为对称轴折叠梯形ABCD，使点B与点D重合，且若AD=4,BC=8,求梯形ABCD的面积的值；E （2）如图2，连结EF并延长与DC的延长线交于点G,如果FG=kEF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.GFEDCBAFDCBA图1 图2 分析：对于（1）由题设不难发现所以，DF =BF =6,根据梯形面积计算公式即可求解；对于（2），可以考虑过点E作DC的平行线，利用相似三角形的知识求解. 解答从略. 例2.(“希望杯”赛题）如图3，四边形ABCD中，AB/CD,若AD =a,AB =b,则CD的长是 .DCBA图3分析：平移腰，构造等腰三角形、平行四边形.解：过点D作DE/BC交AB于点E, 则DCBE是平行四边形， 有.E 因此，AE =AD =a,BE =AB -AE =b -a. 所以，CD =BE =b -a.例3.（全国初中数学联赛试题）已知一个梯形的4条边长分别为1，2，3，4.则此梯形的面积等于（ ） 分析：给定4条线段，要构成梯形需要满足一定的条件（符合三角形任两边之和大于第三边），关键是确定可能的上下底.经综合分析与分类讨论，只可能是梯形的上下底分别为1、4，两腰分别为2、3.否则，就会与“三角形任意两边之和大于第三边”矛盾.答案：D.QPDCBA图4例4.（2005湖南湘西中考试题）如图4，已知梯形ABCD中，AD/BC,AB = CD =3cm,（1） 求BC、AD的长度；（2） 若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；（3） 在（2）的前提下，是否存在某一时刻t,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1:5?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.解：（1）在中，因为CD =3cm,所以，BC=2CD=23=6(cm).又 四边形ABCD是等腰梯形，则且故 AD =AB =3cm.（2） 当点P出发t秒后，BP =2tcm,PC =(6-2t)cm,CQ =tcm. 易知中PC边上的高为cm.所以， 显然，梯形的高为于是，由得 即 （3） 略（要分两种情况求解一元二次方程）.由（2）知：（0t3）梯形ABCD的面积为PQ将梯形ABCD分成与五边形ABPQD两部分面积之比为1：5，有以下两种情况：即整理，得，解得（秒）即整理，得，显然，满足此方程的t值不存在.综上可知，当t=1.5秒时，PQ把梯形分成了面积之比为1：5的两部分. 例5.梯形ABCD中，AB/CD,AB=11,BC=5,CD=19,DA=7.的平分线交于点P,的平分线交于点Q，求多边形ABQCDP的面积.（华中师大一附中2008年专县生考试题）解析：如图5，取梯形ABCD的两腰AD、BC的中点M、N,连MP、PQ、QN,及MN，则MN/AB/CD.过点A作AE/BC交DC于点E.QNMPEDCBA图5由条件易知是斜边AD上的中线，因此，MP/AB/CD.点P在梯形ABCD的中位线MN上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）同理，点Q在MN上.于是，点M、P、Q、N四点共线.显然，AECB是平行四边形，则AE =BC =5,DE =DC-AB=8.在中，由海伦公式得设AB、DC之间的距离为d,则 同理， . 又 故 =注：海伦公式是已知三角形三边的长分别为a、b、c时，用于计算该三角形面积的公式，其中，被称为三角形的半周长.请同学们记忆这一公式.至于公式的证明，今后不难得证. (三）课后练习培优竞赛新方法P97例3例5，P98P101第122题.补充题：1.（2009年武汉市中考题）在直角梯形中，为边上一点，且连接交对角线于，连接下列结论：；为等边三角形；DCBEAH； 其中结论正确的是（ ）A只有B只有C只有D关于梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。猜想：梯形的中位线与两底有怎样的位置关系？它与两底之间又有着怎样的数量关系呢？NMFECDBA梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底，且等于两底之和的一半.已知：如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线. 求证：EF/AD/BC；证明：过点F作MN/AB交BC于M，交AD的延长线于点N.易证所以，FN=FM，DN=MC.在平行四边形ABMN中，AB=MN,点E、F分别AB、MN的中点，所以，AE/NF，且AE=NF.所以，AEFN为平行四边形，所以，AD/EF，AN=EF.同理，EF=BM.又AD/BC,所以，EF/AD/BC；EF 6 .（江西省）在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F.AB=4，BC=6，B=600.（1） 求点E到BC的距离；（2） 点P为线段EF上的一个动点，过P作交BC于点M，过M作MN/AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x.当点N在线段AD上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.B图3图2图1NMNMPDCFBAFEDCBAFEDCAPE CFGRHGNMPPDCEBAFEDCAFEDBA图3图1图2 NBM 解：（1）如图1，过点E作于G，是AB的中点，即点E到BC的距离为（2）当点N在线段AD上运动时，的形状不发生改变.又所以，四边形EGMP是矩形.同理可知ABMN为平行四边形，如图2，过点P作于H，从而，NH =MN -MH =在中，所以，即的周长是 当点N在线段DC上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形.当PM =PN时，如图3，作于R，则MR=NR.类似从而MC =MN=3.此时，x =EP =GM = BC-BG -MC =6-1-3=2.GDCMNF(P)BEABMCNFPDGEA图4图5 当MP =MN 时，如图4，这时此时，当NP = NM 时，如图5，则又因此，点P与点F 重合，为直角三角形.易知MC =BG =1.此时，x =EP = GM =6-1-1=4.综上所述，当x =2或4或时，为等腰三角形.DAMBCN 8.（济南市）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，DC=5动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间为t秒. （1）求BC的长； （2）当MN/AB时，求t的值；图1HKCDBA （3）试探究：t为何值时，为等腰三角形.解：（1）如图1，分别过A、D作于K，于H，则四边形ADHK是矩形，在中，由易知在中，由勾股定理得图2NMGDCBA（2） 如图2，过D作DG/AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形， .由题意知，当M、N运动到t秒时，CN =t，C