07第七章 机械振动和机械波.doc

第七章机械振动和机械波知识结构网络第一节简谐振动及图象机械振动机械振动：物体（或物体的一部份）在某一两侧所做的运动。振动的特点：存在某一；运动。这是判断物体的运动是否是机械振动的条件。产生振动的条件：振动物体受到作用；足够小。回复力使物体回到平衡位置的力。它是根据力的命名的，类似于向心力。可以是物体所受外力的合力，也可以是某一个力，还可以是某个力的分力。平衡位置：是振动物体所受回复力等于的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。思考：如果把上图装置带到空间站上，处于完全失重状态，小球还能做机械振动吗？若能，小球的平衡位置改变了吗？如图所示，在表面粗糙的水平桌面上有一轻质弹簧系有一小木块，弹簧原长在O点，现把小木块接到A点后放开，小木块往O方向运动。请问：木块的运动是机械振动吗？根据这两个思考题，你可以得到什么结论？结论：。例1如图所示，表示某小球所受的合力与时间的关系，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动。请问：小球的运动是机械振动吗？二、简谐运动定义：物体在跟位移大小成，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。受力特征：回复力F运动特征：加速度a。方向与位移方向，总指向。简谐运动是一种（选填“变加速”或“匀加速”）运动，在平衡位置时，加速度为，速度；在最大位移处，加速度，速度为。三、描述简谐运动的物理量位移x：由平衡位里指向振动质点所在位置的有向线段，是量。振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是量。表示振动的，某振动物体的总能量与振幅有关，振幅越大，总机械能越大。周期T和频率f：物体完成一次全振动所的时间叫周期，单位时间内完成全振动的次数叫频率。它们是表示振动的物理量，二者互为倒数关系：T1/f。当T和f由振动系统本身的性质决定时（非迫振动），则叫固有周期和频率。一次全振动是指物体的和（包括方向）连续两次完全相同所经历的过程。振动过程中各量的变化（以弹簧振动为例）说明如下：凡离开平衡位置的过程，v、 Ek均减小，x、F、a、EP匀增大；凡向平衡位置移动时，v、 Ek均增大，x、F、a、EP匀减小。振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、 Ek最大；当在最大位移时，F、a、 Ep最大，v、Ek为零。在振动过程中，振子每次经过同一位置时，只有速度方向不同，其他x、F、a、Ek、EP都相同。v相同的位置有两个。平衡位置两侧的对称点上，x、F、a、 v、Ek 、Ep的大小相等。Ek 、Ep相互转化，机械能守恒。四、简谐运动的图象物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律。注意振动图像不是质点的运动轨迹。特点：只有简谐运动的图像才是正弦（或余弦）曲线。作图：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即可。如图所示。应用可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x。可判定任一时刻质点回复力、加速度和速度方向。因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图像上总是指向t轴。速度方向可按顺着时间走，处在上坡上就向上，处在下坡上就向下，“顺着时间走，上坡向上，下坡向下”。可判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。例1如图所示，把水平弹簧振子压缩到图示位置，从此时计时，请画出振子位移（x），回复力（F），加速度（a），速度（v），动量（p），动能（Ek），弹性势能（Ep），总能量（E）随时间t的图象。图中O为平衡位置，A为振幅，弹簧的劲度为K。再画出回复力（F），加速度（a）随位移x的图象，要求严格对应的。小结：简谐运动的位移x、回复力F、加速度a、速度v都随间做正弦（或余弦）式周期性变化，变化周期为T；振子的动能Ek，系统的势能EP，也做周期为T/2的周期性变化。回复力F、加速度a随位移x作线性变化。误区警示例题1如右图所示，一轻质弹簧的劲度系数为k，左端固定在挡板上，右边与小车相连，小车的质为M，置于小车上的物体质量为 m ，在弹簧弹力的作用下，小车在水平面上做简谐运动。已知物体与小车之间的最大静摩擦力为Fm，在振动过程中，为使物体在小车上不发生相对滑动，则小车离开平衡位置的最大位移是多少？误区物体m受到的回复力是静摩擦力，当振动位移等于振幅A时，出现最大静摩擦力Fm，此时对应的弹簧弹力为kA，故有kAFm，则AFm/m。点击确定研究对象的回复力时，出现“张冠李戴”的现象，其中kA为系统的回复力，不是物体m的回复力。正解如右图所示，物体m的回复力为静摩攘力F，小车M的回复力为弹力F与静摩擦力F的合力，大小为FF，而物体与车构成的整体回复力为弹力F，若设振动位移达到振幅A时系统加速度为am，则依牛顿第二定律有对m：Fmma对Mm：kA(Mm)a解得：A（Mm）Fm/km例题2下列四个描述做简谐振动物体的运动状态的物理量:a速度；b加速度；c位移；d动能，在物体每次通过同一位置时，四个物理量中保持相同的是（）A. b和c B. a和cC. b和d D. a、b和c误区因物体经同一位置故选BC.点击由于不知道物体振动时，其位移是相对平衡位置而言，以平衡位置为起始点的，错误认为物体每次通过同一位置时位移不相同，所以诵选山若忽略速度是矢量，认为物体每通过同一位时的速度相同，会误选B.正解A、C。例3(1)用简明的语言表述简谐振动的定义。(2)如右图所示，一根劲度系数为K的轻质弹簧上端固定在A点，下端挂一质量为m的金属小球，系统静止时金属小球球心位置为O,现用力向下拉小球到B点，待稳定后由静止释放小球，以后小球在BOC之间上下往复运动过程中弹簧处在弹性限度内，不计空气阻力和摩擦。试论述小球在BCC之间的往复运动属于简谐运动。【解析】（1）物体在跟位移的大小成正比，并且总是指向平衡位里的回复力的作用下的振动叫简谙运动。(2)设小球运动过程中受到竖直向下的力为正，竖直向上的力为负,O是它的平衡位.t Al是小球在O点弹费的伸长全。在0点时,Fe =mg-kAl=0解出mg = kAl例4如图所示，轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，弹簧的下端拴一小球，在外力的作用下小球静止在位置A，此时弹簧的形变量为零。如果使小球在位置A获得大小为v0方向竖直向下的初速度，小球将在竖直方向上做简谐振动，小球运动到B时的瞬时速度为零。位置O在A、B连线的中点，则小球作简谐运动的平衡位置（）A在位置A B在位置OC在A、O之间某位置D在O、B之间某位置解析：小球在A点有初速度v0，方向向下，说明A点不是最大振幅处，且此时弹簧处于自然状态，小球由此处向下运动，受到重为和弹簧向上拉力作用，开始时合力向下，仍为加速，当重力等于弹力时，合力为零，速度达最大，至平衡位置。再减速运动到速度为0达B点。B为最大振幅处，而OA=OB，且A点不是最大振幅处，由几何特征知，故平衡位置应在AO之间某位置。本题设置目的：强化对平衡位置、振幅的分析理解。例6如图所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这个过程中振子的平均速度为（）A0BCD不为零的某值，但由题设条件无法求出例7如图所示是一个质点作简谐振动的图象（）A图中曲线部分是质点的运动轨迹B有向线段OA是质点在t1时间内的位移C有向线段OA在x轴上的投影是质点在t1时间内的位移D有向线段OA的斜率是质点在t1时刻的瞬时速度规律方法技巧一、简谐运动的多解性和对称性例1一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s钟质点第一次经过M点，如下图所示，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点，则该质点第三次经过M点还需要的时间是（）A8s B4s C14s D10/3s4A法则振子在一个周期内，通过的路程是4A，半个周期内通过的路程是2A，但在四分之一个周期内通过的路程不一定是A，只有特殊情况都是，即质点从平衡位置或最大位移处开始计时。例2一个弹簧振子的周期是0.25s，振子从平衡位置开始向右运动，经过4.17s振子的运动情况是（）A正在向右做减速运动B正在向右做加速运动C正在向左做减速运动D。正在向左做加速运动方法：去掉整数部分，留下小数部分，用剩余小数部分除以（即把一个周期分成四个阶段），且最接近t。例3一弹簧振子做简谐振动，周期为T（）A若t时刻和（t+t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍B若t时刻和（t+t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则t一定等于T/2的整数倍C若t等于T，则在t时刻和（t+t）时刻振子运动的加速度一定相等D若t等于T/2，则在t时刻和（t+t）时刻弹簧的长度一定相等设置目的：提高画图分析能力。第二节单摆振动中的能量受迫振动和共振一、单摆结构：要求：对球的要求：只有质量，没有线度；对线的要求：不计质量，不能伸长；对摆角的要求：小于50。单摆的受力分析：如上图所示，摆球一方面绕O1作圆周运动，另一方面以O为平衡位置做简谐振动（a50。作圆周运动所需的向心力由摆线的拉力T和重力沿摆线方向的分力mgcos的合力提供，即，据此可分析摆线的拉力最小时摆球位于A、B两点，此时Tmgcos，拉力最大时摆球位于O点，此时。而摆球作简谐振动的回复力由重力沿切线方向的分力mgsin来提供，（因为，），考虑到方向，其中。对于单摆的运动应该认识到它的双重性：沿切线方向受力提供简谐振动的回复力。沿法线方向受力提供圆周运动的向心力。涉及到速度大小用圆周运动或能量守恒知识。单摆振动的回复力不是摆球所受的合外力，而是重力沿切线方向的分力，更为一般地推广：沿振动方向的合外力。这是我们求解回复力的依据。严格地说，单摆振动不是简谐振动，因为它的轨迹是一段弧而不是一段直线。但在摆角小于50的情况下，这一段弧接近于直线段，所以可以把单摆的振动看作简谐振动。重力沿切线方向的分力mgsin可以认为是沿水平方向的。例5（创新题）将一个动力传感器连接到计算机上，我们就可以测量快速变化的力。如下图所示是用这种方法测得的某小滑块在半球形碗内在竖直平面内来回滑动时，对碗的压力随时间变化的曲线。由此曲线提供的信息做出下列几种判断，其中正确的是（）A滑块在碗中滑动的周期是0.6sB在t0.8s时刻，滑块的速度为零C从t0.5s到t0.8s的过程中，滑块的重力势能减小D滑块滑动过程中机能守恒对本题的思考：在这里计算机测得的力是回复力吗？对应着这个力，请画出小球的位移图象。单摆的周期公式：对周期公式的理解：单摆的周期公式是惠更斯从实验中总结出来的，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度（gsina）越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在有些振动系统中l不一定是绳长，也不一定为9. 8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。（1）等效摆长：在右图中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d， l2、l3与天花板的夹角a300，若摆球在纸面内作小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为，周期。若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期：。（2）等效重力加速度深刻理解单摆周期公式中g的由来，才能对外部环境的改变作出正确的反应。其实，所有的简谐振动的周期都是：其中m是振子的质量，而k是振子作简谐振动时所受回复力中的比例常数k，对于弹簧振子而言，k便是弹簧的劲度系数，而对于只受重力作用的单摆，其回复力，所以。把代入便得。但如果单摆除了受重力作用之外还受到其他力对它作用的话，回复力就有可能不是，而是另外的表达式了。如：例1如图所示，摆球带正电q，摆长为l，放在匀强电场E中，电场方向竖直向下，试求单摆的周期。 解：对小球受力分析如图所示。考虑到方向，有：，代入有：其中，叫等效重力加速度。思考：如果本题中的电场更换成磁场，如图所示，单摆的周期又是多少呢？再例如：例2如图所示，绝缘天花板上固定着带电q的小球A，通过一绝缘细线连接着带电Q的小球B，整个摆长为l，求单摆的周期。解：对小球B受力分析可以发现，A、B球的静电力总是沿着半径，没有切线方向的分量，所以小球B所受回复力：，代入仍为：。即单摆的周期不变。例3一个单摆，摆放在升降机里，升降机正以加速度a加速下降，求单摆的周期。解：先介绍非惯性系。再对小球进行受力分析。所以单摆的周期：小结：无论摆球如何运动还是受别的作用力（即除了重力之外的其他力），都可将摆球所受之外沿半径方向和垂直半径方向分解，垂直半径方向的力即为回复力，再将回复力等效成mg形式，g就是等效重力加速，即F/m。注意：知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9. 8m/s2。这样的题目往往跟万有引力知识联系起来。例5有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h，把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。本例可以进一步扩展：例6利用火箭发射飞船时，舱内有一单摆，已知该单摆在海平面处的周期是T0。当火箭在某一高度时，飞船的加速度为a，测得该单摆周期为T。求飞船此时离海平面的高度h，把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。（TT0）单摆的应用计时器，如摆钟。请问：秒摆的周期是多少秒？测重力加速度：摆钟快慢问题的分析方法摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，若摆钟周期T大于其准确钟的周期Ts，则为慢钟，若摆钟周期T小于其准确钟的周期Ts，则为快钟。分析时应注意：摆钟的机械构造：由摆钟的机械构造所决定，无论准确与否的钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期Ts。因钟面显示的时间总是等于摆动次数乘以准确摆钟的周期Ts，即t显NTs，所以在同一时间t内，钟面指示时间之比等于摆动次数之比。对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而应以准确时间除以其周期，即Nt/T非。例6在某地，摆长为l1的摆钟A在某一段时间内快了ts，而另一摆长为l2的摆钟B在同一段时间内慢了ts，那么，在该地走时准确的摆钟的摆长应为多少？解：设这段时间为ts，则，联立式解得：简谐运动图象的物理意义：用如图所示实验装置直观表现简谐运动的图象。其物理意义是怎样的呢？注意：在拉动下面的平板时，必须是匀速拉动才显示出一条完正弦曲线，如果变速拉动木板，图象就要变形了。思考：根据图示，求出拉平板时的速度大小。例2一块质量为2kg的涂有炭黑的玻瑞板，在竖直向上的拉力F的作用下，由静止开始向上做匀加速直线运动，一个装有水平振针的固定电动音叉在玻瑞板上画出了如右图所示的曲线，其中振针的振动频率为5Hz，量得，求拉力F的大小。误区设有，则。设板竖直向上的加速度为a，则所以有：由牛顿第二定律，可得点击误解中有三大错误：误以为，实际上，误以为vA0，实际上，因为如果vA0，则AC应等于4AB，而题给数据。误以为F就是F合，实际上本题的F合Fmg。错解中忘记考虑板受到的重力。正解设tABtBCtCDt，则有二、振动中的能量转化振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，在任意时刻动能和势能之和等于振动系统总的机械能。没有损耗时，振动过程中总机械能守恒。振动系统的总机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动能量越大。做简谐运动的物体，振动的能量等于它振动时动能最大值或势能最大值。任意一个时刻的能量满足：，其中。阻尼振动的振幅逐渐减小，因此阻尼振动的机械能不守恒。例1如图所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振子最大速度为，当振子运动到最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，则（1）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少多大？（2）一起振动时，系统的机械能守恒吗？二者过平衡位置时的速度多大？振幅又是多大？例2上题中，若当振子运动到平衡位置时，有一质量为m的橡皮从高处落下粘在M上（可以认为瞬间完成），之后一起运动。问：系统的机械能守恒吗？二者过平衡位置时的速度多大？振幅又是多大？单摆的直线运动与曲线特征当研究单摆运动问题时，其轨迹（近似）为直线。研究其能量转化问题时，其轨迹为曲线。例3如图所示，一个小弹丸水平射入一个原来静止的单摆摆球内并停留在里面，结果单摆按图所示的振动图线做简谐运动，已知摆球的质量为小弹丸的5倍，求小入射时的速度大小。例4一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k，一端固定，另一端与质量为m，带正电荷，电量为q的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上。当施加水平向右的匀强电场E后，如图所示，小球开始做简谐振动，关于小球的运动有下列说法：球的速度为零时，弹簧伸长qE/k球做简谐运动的振幅为qE/k运动过程中，小球的机械能守恒运动过程中，小球动能的改变量，弹性势能改变量，电势能的改变量的代数和为零。上述说法正确的是（）ABCD三、阻尼振动、受迫振动和共振1阻尼振动振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下来也越快阻尼过大时，系统将不能发生振动。2受迫振动物体在周期性变化的外力（驱动力）作用下的振动。物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。共振的条件与特征：当驱动力频率等于振动系统的固有频率时，发生共振，共振时振幅最大。共振曲线（如下图）f驱f固时，AAm，Am取决于驱动力的幅度及阻尼。f驱与f固差别越大，物体做受迫振动的振幅A越小。发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于振动系统克服阻力做功而耗散的能量。声音的共振现象叫共鸣例1一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，对这一现象下列说法正确的是（）正常工作时，洗衣机波轮的运转频率大于洗衣机的固有频率。正常工作时，洗衣机波轮的运转频率小于洗衣机的固有频率。当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率当洗衣机振动最剧烈时，固有频率最大ABCD例2如图所示，一轻质弹簧，一端固定于竖直墙壁的O点，弹簧的自由长度为L。现用手推一木块M压缩弹簧，使木块运动到B点一松手，木块沿粗糙水平面运动了路程S停下来。若将此木块M与弹簧连接在一起，仍用手推木块M压缩弹簧，使木块运动到B点松手后木块能在一段时间内做振动，设木块从振动开始到停下来，所走的路程为S，则以下说法中正确的是（）A若振动后M最终停在A点的左侧，则S一定小于SB若振动后M最终停在A点的右侧，则S一定小于SC若振动后M最终恰好停在A点，则S等于SD若振动后M最终无论停在A点的左侧还是右侧，S均小于S思考：是不是在任何表面上，将物体压缩弹簧后，弹簧都能够将物体弹回？例3如图所示为一单摆的共振曲线，摆球的质量为0.1kg，求：（1）该单摆的摆长为多少？共振时单摆的振幅为多少？（2）共振时摆球的最大回复力多大？最大速度是多大？第三节机械波的基本概念及特征一、机械波1机械振动在介质中的传播过程叫做机械波。2机械波的产生条件（1）振源：做机械振动的物体；（2）传播机械振动的介质。因此：有机械波就一定有机械振动，有机械振动不一定有机械波。3机械波的产生机理：4机械波的图象：正弦波非正弦波5机械波的特点机械波的传播过程实际是前一个质点带动后一个质点的振动过程，所以离波源近的质点先于离波源远的质点振动； 例1如图所示是一列简谐横波在某时刻的波动图象，由图可知波源的起始振动方向。沿着波传播方向上的所有质点，起振方向。例2如图所示，振动从质点1开始向右传播，质点1开始运动时的速度方向竖直向上，经过时间t，前13个质点第一次形成如下图所示波的波形，则这列波的周期是。质点3、5、7、9振动的时间分别是。机械波传播过程中，实际传播的是振源的振动能量和振动形式；机械波传播过程中，介质中各质点只是在自己的平衡位置附近来回振动，质点并不随波迁移；例3平静的湖面上有一片树叶，向湖里投一小石块（石块没有击中树叶），激起一圈圈波纹向外传播，下列对树叶运动的情况判断正确的是（）A渐渐飘向湖心B渐渐飘向湖畔C在原点上下振荡D沿着波纹做圆周运动介质中各质点做的都是受迫振动，所以它们的振动频率与振源的频率相同；对于理想的简谐波，各质点的振幅相同；对于一部分质点在某一时刻所形成的波形，在振源振动的一个周期内，该波形重复出现一次。二、机械波的分类1横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直，波形是凸凹相间。如抖动绳子形成的波、光波。只有固体才能传播横波，气、液体都不能传播横波。2纵波：质点振动方向与彼的传播方向平行波形是疏密相间。如声波。气、液、固体都能传播纵波。三、机械波的描述1波长：在波的传播方向上，两个相邻振动情况完全相同的质点平衡位置之间的距离叫做一个波长。波长反映了波在空间的周期性，即沿波的传播方向每通过一个波长，质点的振动形式就重复一次；对于横波，相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长；对于纵波，相邻的两个密部或疏部中央之间的距离等于一个波长。2周期T：波形重复出现一次所需的时间。周期反映了波在时间上的周期性；波的周期等于振源的振动周期；周期和波长的对应关系：波在空间上传了多少个波长，在时间上就经历多少个周期。3波速v：在数值上等于单位时间内波沿传播方向前进的距离，即：。它反映了机械振动在介质中传播的快慢。波速不是质点的振动速度；质点振动的速度是变化的，而波在同一种均匀介质中的传播速度是恒定的。机械波的波速由介质决定，与频率、振幅无关。区别于电磁波（电磁波在真空中的传播速度是相同的，但在同一均匀介质中，不同频率的电磁波，其波速不同）。4波长、波速、周期的关系：。在这个关系式中，v由介质决定，T由振源决定。x是波在t时间内传播的位移。说明：波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率。波速是介质对波的传播速度。介质能传播波因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵敏，则对波的传播速度越快。通常情况下，固体对机械波的传播速度较大，气体对机械波的传播速度较小。对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同。所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关。波长是质点完成一次全振动波传播的距离。所以波长的长度与波速v和周期T有关，即波长由波源和介质共同决定。由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变。振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越后。沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的。反之，相距1/2个波长的两质点振动步调是相反的。所以与波源相距波长的整倍的质点与波源的振动同步（同相振动）；与波相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源的振动调相反（反相振动）。例4细绳的一端在外力作用下从t=0时刻开始做简谐运动，激发出一列简谐横波，在细绳上选取15个点，在图中的图1为t=0时刻所处的位置，图2为t=T/4时刻的波形图（T为波的周期）。在图3中画出t=3T/4时刻的波形图。例5如图所示，水平放置的弹性长绳上有一系列均匀分布的质点1、2、3、，现使质点1沿竖直方向做简谐运动，振动将沿绳向右传播质点1的起始振动方向向上。当振动传播到质点13时，质点恰好完成一次全振动，此时质点9的运动情况是（）A加速度方向向上B加速度正在增大C速度方向向上D速度方向向下例6如图所示在均匀中有振源S，它以50HZ的上下振动，该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻S的速度方向向下，试画出t=0.03s时刻的波形。例4一列简谐横波沿x轴传播，波速v=6m/s。当位于x1=3cm处的a质点在x轴上方最大位移处时，位于x2=6cm处的b质点恰在平衡位置且振动方向竖直向下。求这列波的最大波长。第四节波的图象一、波动图象表示波的传播方向上，介质中的各个质点在同一时刻相对平衡位置的位移。当波源作简谐运动时，它在介质中形成简谐波，其波动图象为正弦或余弦曲线。二、由波的图象可获取的信息1该时刻各质点的位移。2质点振动的振幅A。3波长。4若知道波速v的方向，可知各质点的运动方向，如上图中，设波速向右，则1、3质点沿y方向运动；2、4质点沿y方向运动。5若知道该时刻某质点的运动方向，可判断波的传播方向，如上图中，设质点3向上运动，则该波向左传播。6若已知波速v的大小，可求频率f或周期T：7若已知f或，可求v的大小：8若已知波速v的大小和方向，可画出后一时刻的波形图：波在均匀介质中作匀速运动，各质点的运动形式沿波速方向传播，即把原波形图沿波的传播方向平移。比较振动图象：从振动图象可直接获得的信息：1振幅2周期3振子的振动方向。波动图象和振动图象的结合，可以获知的信息：直接获知的信息：振幅；波长；周期（频率）；振动方向；各质点在该时刻的位移。通过分析、计算可得的信息：波的传播方向；波速。例1如上图所示，分别为一列横波在某一时刻的图象和在x=6m处的质点从该时刻开始计时的振动图象，这列波（）A沿x轴的正方向传播B波速为100m/sC在0.2s内，波向x移动了20m，质点也向x移动了20mD在0.8s时间内，在x=4m处的质点通过的路程是2m 例2如图所示一列简谐横波沿x轴负方向传播，图a是t=1s时的波形图，图b是波中某振动质点位移随时间变化的振动图线（两图用同一时间起点），则图b可能是图a中哪个质点的振动图线？例3如下图所示为一向右传播的一列简谐波在某一时刻的图象。已知波速为4. 8m/s，其他相关数据可由图中读出，那么在传播过程中，质点P在1s内通过的路程为m。三、振动图象和波动图象的区别注意波的图象与质点实际运动的区别：波的图象与质点实际运动的轨迹吻合吗？横波的实际情况：即使是横波，波的图象与波的实际情况也不一定吻合。纵波的实际情况： 四、有关波的图像的几种常见问题1横波的传播方法与质点振动方向的判断方法已知质点振动速度方向判断波的传播方向，或与之相反的问题，判断的基本规律是横波的形成与传播的特点，常用方法有：方法一：上下坡法沿坡的传播速度的正方向看，“上坡”的点向下振动，“下坡”的点向上振动，简称“上坡下，下坡上”，（见图甲表示）方法二：同侧法在波形图上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点的振动方向，沿水平方向画出一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧（见图乙表示）方法三：头头（尾尾）相对法在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头总是头头相对，尾尾相对（如图丙所示）。方法四：平移法将原波形（实线）沿波的传播方向平移后（虚线），则从原波形中平衡位置沿y轴指向虚线最大位移处的方向，表示原波形中质点的振动方向（见图丁所示）。2已知波速v和波形，画出再经t时间波形图的方法平移法：先算出经t时间波传播的距离xvt，再把波形沿波的传播方向平移x即可。因为波动图象的重复性，若已知波长，则波形平移n时波形不变，当xn + x时，可采取去整n留零x的方法，只需平移x即可。特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看tnT + t，由于经n波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。3已知振幅A和周期T，求振动质点在t时间内的路程。求振动质点t时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函数较复杂，但t若为半周期T/2的整数倍则很容易。在半周期内质点的路程为2A，若tnT/2，n1，2，3则路程s2nA，其中n=2t/T，当质点的初始位移（相对平衡位置）为x1x0时，经T/2的奇数倍时x2x0，经T/2的偶数倍时x2x0。若从特殊点（最大位移或平衡位置）开始运4波动图象问题中的多解性讨论波动图象问题中的多解性涉及有：（1）波的空间周期性，（2）波的时间周期性；（3）波的双向性，（4）介质中两质点间距离与波长关系未定；（5）介质质点振动方向未定。具体讨论如下：波的空间周期性沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x），如下图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后t时间，且tx/vxT/，在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为x的质点的振动位移相同，其振动速度，加速度也都与坐标为x的质点相同，或者说它们的振“相貌”完全相同，因此在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断地重复出现，这就是空间周期性。波的空间周期性，说明在同一波线上，相距为波长整数倍的多个质点的振动情况完全相同。波的时间周期性在x轴上同一给定质点，在tkT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同，因此在t时刻的波形，与tkT时刻必须多次重复出现，这就是机械波的时间周期性。波的时间周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同。波的双向性双向性是指波沿正、负两方向传播时，若正、负方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则正负两方向传播的那一时刻波形相同。波的对称性波源的振动，要带动它左、右相邻介质点的振动，波要左右两方面传播，对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左右两质点振动情况完全相同。误区警示例1一列简谐波在某一时刻的波形图如下图所示，已知波速大小为1m/s，经过一段时间t，波形图象由图中实线变为虚线，则这段时间可能是。误区由图知4m，故其周期T/v4s，图线由实线变为虚线，经历了1/4个周期，于是。点击误区中没有考虑全振动的次及波传播方向的双向性，故使答案片面不全。在不明确波传播方向时，应考虑两个方向传播；时间有限制时，必须考虑全振动的次数，即周期性。正解由图可知，波长4m，T/v4s。波的传播方向有两个：波向右传播时：波向左传播时：例2一列横波在x轴上传播，在t1=0和t2=0.005s时的波形图如图所示。（1）由图中读出波的振幅和波长。（2）设t2t1T，波的传播速度多大？（3）设t2t1T，且波的传播速度为6000m/s，求波的传播方向。四、波的干涉1波的独立性原理和叠加原理几列波相遇时能够保持各自的状态而不互相干扰，在几列波重叠的区域里，任何一个质点的总移，都等于这几列波分别引起的位移的矢量和。例1A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如图所示，已知波的传播速度为v，图中标尺每格长度为l，在图中画出又经过时的波形。例2有1、2两列完全相同的横波，分别从波源A、B两点沿x轴相向传播，t=0时刻的图象如图所示。如果两列波的波速都是1m/s，则，在点C、E、F、G、D各点中振动加强的点是，振动减弱的点是。在t=0.2s，各点的位移是多少？在t=0.4、0.6s，各点的位移又是多少？2波的干涉的分析在干涉现象中，振动加强是指合振动的振幅增大，振动质点的能量增大；振动减弱是指质点合振动的振幅减小，能量减小。不论是振动加强区域或是减弱区域，各质点的振动周期都与波源的周期相同，各质点振动的位移是周期性变化的。要得到稳定的干涉现象，观察到干涉图样，两个波源必须频率相同。这即为产生波的干涉的条件，这样的波源称为相干波源。例2如上图所示，S1、S2为水波槽中的两个波源，它们分别激起两列水波，图中实线表示波峰，虚线表示波谷。已知两列波的波长分别为1和2，且12，该时刻在P点为两列波的波峰与波峰相遇，则以下叙述中正确的是（）AP点有时在波峰，有时在波谷，振动始终相互加强BP点始终在波峰，不可能在波谷C因为1和2不同，所以P点的振动不遵守波的叠加原理DP点的振动遵守波的叠加原理，但并不始终相互加强误区A点击此解乃典型的定势思维，因为当两列相干（频率或波长相同、相差恒定）水波叠加时，既然图示时刻在P点为两列波的波峰与波峰相遇，经过半个周期，在P点一定为两列波的波谷与波谷相遇周而复始，所以P点的振动始终加强。问题是，这两列水波1和2，不是相干波，当它们相互叠加时，水面上各点的合振动的振幅，有时是两个振动的振幅之和，有时是两个振动的振幅之差，没有振动总是得到加强或总是减弱的区域，不能产生稳定的干涉现象。正解D五、波的反射、折射和衍射1波的反射波遇到障碍物会返回来继续传播，这种现象叫波的反射在波的反射中，反射角等于入射角，反射的波长、频率和波速都跟入射波的相同。2波的折射波从一种介质射入另一种介质时，传播方向会生变化，这种现象叫做波的折射。在波的折射中入射角i，折射角r和波速之间的关系：3波的衍射波绕过障碍物的现象。衍射现象始终存在，但能够发生明显衍射象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小或差不多。注意：干涉和衍射现象是波的特有现象，一切波都能发生干涉和衍射现象；反之能够发生干涉和衍射现象，一定是波。例3如图所示是观察水面波衍射的实验装置。AC和BD是两块挡板，AB是一个孔，O是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线之间距离表示一个波长，则波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是（）A此时能明显观察到波的衍射现象B挡板前后波纹间距离相等C如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象D如果孔的大小，使波源频率增大，能更明显观察到波的衍射现象提醒：2、3倍仍可称为“差不多”六、声波空气中的声波是纵波，能引起人耳听觉的声波的频率范围是20Hz到20000Hz之间，低于20Hz的声波叫次声波，高于20000Hz的声波叫超声波。声波也可发生反射，干涉和衍射现象。能够把回声与原声区别开来的最小时间间隔为0. 1s。声波的共振现象称为共鸣。七、多普勒效应某车站单位时间内发出n辆车，车的速度为20m/s，站在站旁的人，单位时间内可以看到多少辆车？一位司机开车朝该车站开去，车的速度为10m/s，则该司机在单位时间内看到多少辆车？若该司机的车也是离开车站，该司机在单位时间内看到的辆车又是多少？由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，叫做多普勒效应。在声源和观察者之间有相对运动时，声源的频率并没有发生变化，而是观察者接收到的频率发生了变化。当波源与观察者之间有相对运动时，如果两者相互接近，观察者接收到的频率增大，如果两者相互远离，观察者接收到的频率减小。多普勒效应的应用公式如上图所示，设声源S，观察者L分别以速度vS、vL在静止介质中沿同一直线同向运动，声源发出声波在介质中的传播速度为v，且vSv、vLv。当声源不动时，声源发出频率为f0、波长为0的声波，在时间t内声波传播的距离为vt，这段距离内分布的波数（完全波的个数）为。当声源以速度vS运动时，这n个完全波分布在距离（vvS）t内，相应的波长为。因为观察者以速度vL做同向运动，所以声波相对于观察者的速度为（vvL），观察者接收到的声波的频率为该式是多普勒效应公式的一般形式。下面讨论几个比较简单的特殊情况。（1）当观察者和波源都不动时，由式得ff0。（2）当观察者不动，声源接近观察者时，观察者接收到的声波频率为显然这时ff0，观察者感到音调变高，这就是鸣笛的火车驶近站在铁路旁的人时，人感到汽笛的音调变高的道理。（3）观察者不动，声源远离观察者，观察者接收到的声波频率为显然这时ff0。观察者感到音调变低，这就是鸣笛的火车远离站在铁路旁的人时，人感到汽笛的音调变低的道理。（4）声源不动，观察者接近声源时，式中的vL应取负值，观察者接收到的声波频率为显然这时ff0，观察者感到音调变高。（5）声源不动，观察者远离声源时，观察者接收到的声波频率为显然这时ff0，观察者感到音调变低。误区警示例1一根张紧的水平弹性绳，绳上的S点在外界驱动力的作用下沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成稳定的横波在S点的左、右两侧分别有A、B、C、D四点，如上图所示。已知AB、BS和SC的距离相等，CD的距离为SC的2倍，下面说法中正确的是（）A若B点的位移与S点的位移始终相同，则A点的位移一定与S点的位移始终相同B若B点的位移与S点的位移始终相反，则A点的位移一定与S点的位移始终相反C若C点的位移与S点的位移始终相同，则D点的位移一定与C点的位移始终相同D若C点的位移与S点的位移始终相反，则D点的位移一定与C点的位移始终相同错解 AB点击上述解答中，选项A是正确的。这是因为题述的B点和S点是同相点，由于ABBS，故A点与S点亦为同相点。但选择B是错误的，这说明解答者对绳上哪些点是同相点，哪些点是反相点没有真正搞清楚。而是根据选项A中若B点与S点的位移始终相同，则A点与S点的位移也始终相同，若B点与S点的位移始终相反，则A点与s点的位移也应始终相反。另外，解答者还漏选了C和D，若C点的位移与S点的位移始终相同，说明了C点与S点是相同点。而CD2 CS，则D点与C点也是同相点，D点的位移一定与C点的位移始终相同；若C点的位移与S点的位移始终相反，说明C点与S点是反相点，而CD2CS，则D点与C点应为同相点，D点的位移一定与C点的位移始终相同。正解ACD实验九 用单摆测定重力加速度【实验目的】1、学会用单摆测定当地的重力加速度；2、能正确熟练地使用秒表。【实验器材】铁架台，铁夹，细线（lm左右），金属小球三个（有穿过球心的小孔），米尺（最小刻度为mm），秒表（或秒钟）。【实验步骤】1用细线穿过金属球上小孔，然后在线端打一个比小孔大一些的线结，抽紧后做成一个单摆。2将铁夹固定在铁架台上端，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，让摆球自由下垂。3用米尺测量摆长：用米尺量出悬线长，精确到毫米；用游标卡尺测量小球的直径d，也精确到毫米。就是单摆的摆长。4用累积法测单摆振动周期：把单摆从平衡位置拉开一个小角度，这个角度应不大于。然后放开摆球，让单摆在竖直平面内摆动用秒表测出单摆完成30或50次全振动的时间，再求出完成一次全振动所用的平均时间，这就是单摆的周期。把数据记人记录表格中。5根据公式，利用实验测得的和的数据，计算出重力加速度。6变更摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度。7求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可看作本地区的重力加速度。【注意事项】1摆线要用细而不易伸长的线，悬点要固定不变，不能把摆线随意缠绕在铁夹上，以免悬点松动，引起摆长变化。悬挂单摆时可用铁夹把细线上端夹紧，也可用烧瓶夹夹紧两块小木板，以此夹紧摆线。2摆长以lm左右为宜，摆长是指从悬点到球心的距离，测摆长应在单摆竖直悬挂的状态下进行。如果只用一把米尺测量摆长，可以让米尺与悬线平行，尺上端的零刻度线与过悬点的水平线重合，尺下端与小球相切，切点处的读数就是摆长。或者用米尺测出摆线的长度、用游标卡尺或两把三角尺测出小球直径，则摆线长加小球半径就是摆长。3