高等数学学习方法(FIC)系列讲座10级数的核心性质.pdf

哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江长江 高等数学学习方法高等数学学习方法高等数学学习方法高等数学学习方法 FIC FIC 系列讲座系列讲座系列讲座系列讲座1010 级数的核心性质级数的核心性质级数的核心性质级数的核心性质 哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜长江卜长江卜长江卜长江 E E mail buchangjiang mail buchangjiang 哈尔滨工程大学理学院应用数学 系 卜长江 高等数学高等数学FIC学习方法学习方法 F 基础 基础知识 主要内容 问题 I 思想 问题的核心 本质 体系 C 分类解题 将数学问题分为若干类 研究 每一类问题的解法 对每一类问题用较固 定的方法处理 F 基础 基础知识 主要内容 问题 I 思想 问题的核心 本质 体系 C 分类解题 将数学问题分为若干类 研究 每一类问题的解法 对每一类问题用较固 定的方法处理 哈尔滨工程大学理学院应用数学 系 卜长江 第一部分 数项级数第一部分 数项级数 级数为何收敛与发散 级数为何收敛与发散 正项级数正项级数 n a 收敛主要原因 通项收敛主要原因 通项 n a趋于零且速度较快 趋于零且速度较快 任意项级数任意项级数 n a 收敛主要原因 收敛主要原因 0 n n an a 有正的 有负的 即和中有抵消的部分 有正的 有负的 即和中有抵消的部分 例如 例如 1 n 发散 而发散 而 1 n n 收敛 收敛 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 一 基本性质 一 基本性质 1 级数1 级数 n a 收敛的必要条件是收敛的必要条件是lim0 n n a 即 若 即 若 n a 收敛 则收敛 则 lim0 n n a 若 若lim0 n n a 则 则 n a 发散 2 等比级数 发散 2 等比级数 1 1 n n aq 在在1q 时收敛 在时收敛 在1p 时发散 时发散 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 5 比较判别法 设 5 比较判别法 设 n a n b 为正项级数 1 若 为正项级数 1 若 nn ab 且 且 n b 收敛 则收敛 则 n a 收敛 2 若 收敛 2 若 nn ab 且 且 n b 发散 则发散 则 n a 发散 6 极限判别法 设 发散 6 极限判别法 设 n a n b 为正项级数 且为正项级数 且lim0 n n n a l b l为常数 则为常数 则 n a n b 敛散性相同 敛散性相同 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 7 比值 根值 判别法 设 7 比值 根值 判别法 设 n a 为正项级数 且为正项级数 且 1 lim n n n a l a lim n n n al 1 若 1 若1l 则 则 n a 发散 3 若 发散 3 若1l 则此判别法失效 8 积分判别法 设 则此判别法失效 8 积分判别法 设 f x在在 1 非负连续 单调递减 则非负连续 单调递减 则 1 n f n 与与 1 f x dx 敛散性相 同 敛散性相 同 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 9 设设 n u 为任意项级数 若为任意项级数 若 n u 收敛 则收敛 则 n u 收敛 此 时称 收敛 此 时称 n u 绝对收敛 10 莱布尼兹判别法 设 绝对收敛 10 莱布尼兹判别法 设 1 n n u 为交错级数 为交错级数 0 n u 若 若 n u单调递减 趋于零 则 单调递减 趋于零 则 1 n n u 收敛 收敛 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 级数敛散性一般判别方法 级数部分解题程序图 级数敛散性一般判别方法 级数部分解题程序图 0 0 nn n n vv v v 发散 发散 lim0 N nnn n n n n n nn nn nnn nn vSS vv nq v p vv vv vvv vv 比较判别法 是抽象级数 若 易求 考虑 是否有上界 利用的 定义 比较判别法是正项级数 含 或 项 用比值判别法 是具体级数 级数类 用比较判别法 不能用比值判别法 收敛绝对收敛 符合莱布尼茨条件条件收 比较判别法 是抽象级数 若 易求 考虑 是否有上界 利用的 定义 比较判别法是正项级数 含 或 项 用比值判别法 是具体级数 级数类 用比较判别法 不能用比值判别法 收敛绝对收敛 符合莱布尼茨条件条件收敛敛 是任意项级数 考虑是交错级数 发散不符合莱布尼茨条 是任意项级数 考虑是交错级数 发散不符合莱布尼茨条 n nn v vv 件 将拆项 不是交错级数 将拆项 件 将拆项 不是交错级数 将拆项 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 常用的不等式 1 常用的不等式 1 22 1 2 abab 2 设 2 设0 为常数 则存在为常数 则存在0X 使得当 使得当xX 时有时有ln xx 3 3 0 x 时 时 ln 1 xx 1 x ex 常用的等价无穷小 常用的等价无穷小 0 x 时时 sin tan arcsin arctan ln 1 1 x xxxxxex 2 1 1cos 2 xx 1 1 0 xx 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 三 例题三 例题 1 1 11 sin n nn 的敛散性 的敛散性 2 1 4 1 n n n 的敛散性 的敛散性 3 1 2 sin 1 n nn n 的敛散性 的敛散性 4 1 3 n n n n n 的敛散性 的敛散性 5 若级数若级数 n a 收敛收敛 0 n a 则 收敛 则 收敛 A ln n an n B 1 n a n C 1 1 n nn a a D 1 n n a a 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 1 1 11 sin n nn 的敛散性 的敛散性 解 解 33 1 sin 3 xxxo x 3 111 1 sin 3 nnn 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 2 1 4 1 n n n 的敛散性 解 的敛散性 解 1717 1 1 4 1 4 1 n nn nnnn 发散 发散 1 4 1 n n n 不满足莱布尼茨条件 不满足莱布尼茨条件 1717 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 nnn nnn nn n nnn 1717 1 4 1 4 161616 nn nn nn nnn 发散发散 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 3 1 2 sin 1 n nn n 的敛散性 的敛散性 解解 1 22 sinsin 1 n nnnn nn 1 n 1 2222 sin11sin 2 1 2 n n n nnnnn nnnnn 发散 发散 111 22 sinsin1 1 1 1 nnn nnn nnn 条件收敛 条件收敛 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 4 4 1 3 n n n n n 的敛散性 解 的敛散性 解 3 n nn n a n 1 11 1 1 3 1 3 1 1 limlimlim 3 3 1 n nnn n nnn nnn n n n annn nann n 3 3lim3lim 1 1 1 n n n nn nn nne 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 5 若级数5 若级数 n a 收敛收敛 0 n a 则 收敛 则 收敛 A ln n an n B 1 n a n C 1 1 n nn a a D 1 n n a a 解 解 A lnln n n ann a nn 2 1ln 2 n n a n 133 222 1ln111 22 nn n aanN nnn B 11 n a nn C 11 1 1 2 n nnnn a aaa D 1 n n n a a a 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 例例 设设 n u 收敛收敛 则必收敛的级数为则必收敛的级数为 A 1 n n u n B 2 n u C 221 nn uu D 1 nn uu 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 汉光杯 哈工程大学第十六届数学竞赛 数学竞赛 非专业高年级组 汉光杯 哈工程大学第十六届数学竞赛 数学竞赛 非专业高年级组 15 15 1 证明方程 1 证明方程 2 0 1 x t ne dtx 有根有根 0 1 n 其中 其中n为正整数 为正整数 2 证明级数 2 证明级数 1 n n n 当当0 时收敛 解 1 令 时收敛 解 1 令 2 0 1 x t f xne dtx 则 则 0 10 f 0 1 n 使得 使得 0 n f 2 2 2 00 1 nn t nn ne dtndtn 所以 所以 1 1 1 n n n 所以 所以 1 1 n nnn 当 当0 时 时 2 1 1 n nn 收敛 所以收敛 所以 1 n n n 收敛 收敛 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 关于举办哈尔滨工程大学第十七届数学竞赛的通知关于举办哈尔滨工程大学第十七届数学竞赛的通知 1 省级精品课 高等数学 网站 网 址 该网站拥有丰富 的学习资源 在线题库 电子教案 教学录像 在线答疑 以及数学竞赛的往届试题及详解 2 理学院网站网址 数学竞赛活动进程及相关报道 可下载报名通 知和报名表 并可进行竞赛成绩查询 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 标题标题 关于举办哈尔滨工程大学第十七届数学竞赛的通知 发布日期 关于举办哈尔滨工程大学第十七届数学竞赛的通知 发布日期 2009 5 22 供稿 团委 供稿 团委各院 系 为紧紧围绕我校确定的 具有坚定信念与创新精神 视野宽 基础厚 能力强 素质优的可靠顶用之才 的人才培养目标 激发学生学习高等数学的积极性 培养学生的创造精神 和分析解决问题的能力 学校决定于2009年6月中旬举办哈尔滨工程大学第十七届数学竞赛 以下简称竞赛 现将有关事项通知如下 一 竞赛内容 赛题主要依据教材 数学分析 高等数学 和 微积分 具体内容详见考纲 参赛者无须预先掌握深入的专门知识 只要学过数学基础课程即可参赛 重点在于考查 参赛者的基本能力和创造力 实际应用能力 二 竞赛事宜 1 竞赛形式 采取集中闭卷考试方式 满分150分 另有附加题 竞赛组委会将提前发给参赛者准考证 入场竞赛时 参赛者应出示准考证和学生证 或身份证 2 竞赛题型 选择题 填空题 计算题 判别题 证明题 应用题 竞赛组委会可根据需要选取其中的某些题型 3 时间安排 报名时间 5月25日 6月5日 准考证发放时间 6月8日 6月10日由各院系教务办公室下发 竞赛时间 6月中旬 具体时间以准考证为准 4 竞赛地点 以准考证为准 5 颁奖典礼 时间及地点待定 6 竞赛对象 我校2005 2006 2007 2008级本科生 7 竞赛类别及年级组 A 类别 专业类 非专业类 1 专业类 理学院2005 2006 2007级数学系及2008级全体 2 非专业类 船舶学院 航建学院 动力学院 自动化学院 水声学院 计算机学院 机电学院 信通学院 材化学院 理学院物理系 核学院 经管学院 外语系 人文学院 国际学院 B 年级组 大一年级组 高年级组 大二 大三 大四 8 竞赛纪律 为保证竞赛的规范性和公正性 参赛者必须在180分钟内独立完成试卷 凡有违反考试规则行为 一经发现 取消参赛资格 所交答卷无效 并通报其所在院 系 9 竞赛赛前讲座 报名结束之后 主办方组织赛前指导及样题选讲 样题将刊登在理学院主页上 赛前举行大学生科创沙龙进行讲座 时间另行通知 请关注 启航网 和 理学院主页 三 评奖办法 1 竞赛组委会将评选出以下奖项 1 参赛个人奖 大一年级组专业类 大一年级组非专业类 高年级组专业类 高年级组非专业类4类分别评出特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 2 集体奖 以院系前10名选手的平均分高低为准 评出 优秀团体奖 一 二 三等奖各1名 这10名选手分别包括大一年级组和高年级组的前5名 且院系两个年级组参 赛人数应各大于或等于5 才有资格参与集体奖的评选 2 每个获奖人员及团体将获得校级证书 3 评卷工作将于竞赛后一周内完成 并将在理学院主页数学专栏上刊登竞赛试题及参考答案 四 报名方式 1 报名方式 时间 1 网上报名 报名表电子版于学校主页办公系统 主页滚动栏 启航网 理学院网站或校省级精品课 高等数学 网站下载 报名电子版于6月5日前发邮件到 shuxuejingsai11 2 常规报名 可在6月5日前至理学院理学院团委办公室11 2065进行报名 3 集中报名 大学生美食城 大学生美食广场门口 报名时间 5月31日 6月1日 2日三天中午 2 注意事项 报名时 应详细填写报名表 附件 参赛组别 姓名 学号 年级 专业及班级 联系电话 手机等 3 咨询电话 理学院团委办公室 电话 82569536 五 在线答疑 登录方法 请登录 此链接为哈尔滨工程大学省级精品课 高等数学 网站 后 点击 在线交流 然后发布新主题 参赛选手可以在此版块提出高等 数学学习的相关问题 也可以与老师共同讨论与研究 任课老师会及时回答同学们提出的问题 六 网络支持 校数学竞赛联合校内网站为广大学生们提供丰富的学习资源 师生交流的平台和畅通的信息发布平台 1 省级精品课 高等数学 网站 网址 该网站拥有丰富的学习资源 在线题库 电子教案 教学录像 在线答疑 以及数学竞赛的往届试题及详解 2 理学院网站网址 此通知 共青团哈尔滨工程大学委员会 哈尔滨工程大学教务处 哈尔滨工程大学理学院 哈尔滨工程大学学生学习技能指导中心 2009年5月22日 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 第二部分 幂级数的和函数及收敛域第二部分 幂级数的和函数及收敛域 一 收敛区间的求法一 收敛区间的求法 标准幂级数 标准幂级数 n n a x 非标准幂级数 非标准幂级数 0 0 kn t kn t n axx k t为整数 为整数 考 虑考 虑 0 0 kn t kn t n axx 绝 对 收 敛 区 间 绝 对 收 敛 区 间 设设 0 kn t nkn t uaxx 令 令 1 0 lim1 n n n u xxR u 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 重 要 性 质重 要 性 质 设有幂级数设有幂级数 n n a x 收敛区间为收敛区间为 R R 则则 1 n n a x 的和函数在收敛域内连续的和函数在收敛域内连续 2 n n a x 在在 R R 内可以逐项求导和积分内可以逐项求导和积分 即即 nn nn a xa x 00 xx nn nn a xdxa x dx 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 二 幂级数求和方法二 幂级数求和方法 1 利用性质将其化为等比级数利用性质将其化为等比级数 然后还原然后还原 2 利用微分方程利用微分方程 3 利用已知的级数展开式利用已知的级数展开式 4 初等方法初等方法 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 三 例题三 例题 1 求求 2 1 1 n n x n n 的收敛域及和函数的收敛域及和函数 解 设解 设 2 1 n n x u n n 令 令 1 lim1 1 n n n u x u 收敛区间 收敛区间 1 1 1x 时时 2 1 1 n n x n n 收敛 收敛域为收敛 收敛域为 1 1 设设 2 1 1 n n x S x n n 1 1 x 则则 212221 33 111 11 222 111 nnn nnn xxx S x nxnxn 22 2 33 21 1 1 22 nn nn xx x xnxn 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 因为因为 1 1 1 ln 1 1 1 n n n xx n 所以所以 1 1 ln 1 1 1 n n xxx n 所以所以 2 222 33 1 1 1 2 2 ln 1 1 1 0 n n x S xxxxxx xnx 22 3 00 1 0 2 ln 1 xx S xS x dxSxxdx x 2 2222 22 00 11 ln 1 ln 1 xx x xxdxxd xx 22 2222 022 0 11 ln 1 ln 1 x x xx xxd xx xx 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 22 2222 22 0 11 ln 1 ln 1 x xx xxd xx xx 22 22 222 0 112 ln 1 2 1 x xxx xxxdx xxx 2 222 2 1 ln 1 x xxx x 1 1 0 xx 2 222 2 1 ln 1 1 1 0 0 0 1 1 x xxxxx x S xx x 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 例例 2 求幂级数求幂级数 21 1 21 n n nx 收敛域及和函数收敛域及和函数 例例 3 求求 242 1 2 4 2 n xxx n 的和函数的和函数 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜 长江 第三部分 函数展开为幂级数第三部分 函数展开为幂级