广东省广州市高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版.doc

广州市铁一中学2012学年第一学期期中高二数学（理科）试题第i卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知求( )a、 b c、 d、2已知向量a与向量b的夹角为120，若向量c=a+b，且ac，则的值为（ ）abc2d3已知等于（ ）a7bcd74如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的 体积是 （ ）a27b30c33d365有编号分别是1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为（ ）abcd6对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如，定义函数x，则下列命题中正确的是（ ）a函数的最大值为1 b函数有且仅有一个零点c函数是周期函数 d函数是增函数7、已知实数满足，则的最大值是（ ）. . . .8、在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ）.2 .0 .1 .29如图，从双曲线的左焦点f引圆的切线，切点为t，延长ft交双曲线右支于p点，若m为线段fp的中点，o为坐标原点，则的大小关系为（ ）abcd大小关系不确定网10、函数是定义在上的增函数，其中，且，已知无零点，设函数，对于有如下四个说法：定义域是；是偶函数；最小值是0；在定义域内单调递增；其中正确说法的个数有.4个 .3个.2个 .1个第ii卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中的横线上.11、已知向量 向量，若，则 .网12已知一三角形abc用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如图)，则三角形abc中边长与正三角形的边长相等的边上的高为_120.51yabcox13、在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么，的值为 .14已知函数f(x) =的零点有四个x1、x2、x3、x4，则f(x1+x2+ x3+x4)=_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分12分)在abc中，角a、b、c的对边分别为、，且满足 （）求角b的大小；20070316 （）设，求的最小值16. (本小题满分12分) 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中、位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受a考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官a面试的概率？组号分组频数频率第1组50.050第2组0.350第3组30第4组200.200第5组100.100合计1001.0017（本题满分14分）如图5，已知平面，平面，abcdef图5为等边三角形，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；aeyxdcb18、（本题14分）如图，公园有一块边长为2的等边abc的边角地，现修成草坪，图中de把草坪分成面积相等的两部分，d在ab上，e在ac上.（1）设ad，de，求关于的函数关系式；（2）如果de是灌溉水管，我们希望它最短，de的位置应在哪里？请予证明.19、（本题14分）已知数列满足， .（1）求证数列 是等比数列，并求其通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，求证：.20（本小题满分14分）过双曲线2x2-y2=1上一点a(1,1)作两条动弦ab, ac,且直线ab, ac的斜率的乘积为3.(1)问直线bc是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线bc的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.(2)证明直线bc过定点.四、附加题：（一班学生做，满分20分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是时，则称是该函数的“和谐区间”。（1） 判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；（2） 如果是函数的一个“和谐区间”，求的最大值；（3） 有些函数有无数个“和谐区间”，如，请你再举一类（无需证明）广州市铁一中学2012学年高二期中考数学试题（理科）答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）题号12345678910答案dabbdccabc二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11 5 12、 13、 1 ；14、 19 ；三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分12分）解：（i）由正弦定理，有 ， ，代入(2ac)cosb=bcosc，得（2sinasinc）cosb=sinbcosc.4分即2sinacosb=sinbcosc+sinccosb=sin(b+c)a+b+c=，2sinacosb=sina.6分0a,sina0.cosb=.7分0b，b=.8分 （ii）=sina+1 10分由b=得a（0，） 11分所以，当时，取得最小值012分16（本题满分12分）解：（1）由题可知，第2组的频数为人, 1分第3组的频率为, 2分 频率分布直方图如右: 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, 6分第4组:人, 7分第5组:人, 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。（3）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: ，10分其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有: 9中可能, 11分所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为12分17（本题满分14分）证明：(1) 证：取的中点，连结为的中点，且平面，平面， ， 又， 4分 四边形为平行四边形，则 平面，平面， 平面 7分（2）求证：平面平面；证：为等边三角形，为的中点， 平面， 9分平面， 又，故平面 11分，平面 平面， 平面平面 14分18（本题满分14分）解：（1）在ade中，22ae22aecos6022ae2ae,又sade sabc aesin60ae2.代入得22 2（0）, 又2，若， ，矛盾，所以 （12）.（2）如果de是水管 ,当且仅当2，即时“”成立，故de bc，且de.19（本题满分14分）解：（1）， （3），为等比数列 设，则 当4时， （2） 综上：20（本题满分14分）解:令b(x1, y1),c(x2, y2).(1)当bc与x轴垂直时,有x1=x2, y1= -y2,故:3=x1=,与|x1|矛盾.因此ab不与x轴垂直. 3分当bc与y轴垂直时,有x1= -x2, y1= y2,故:3=y1= -.因此ab可与y轴垂直, 此时ab的方程为y= -. 5分(2)当bc不与坐标轴垂直时,kabkac=3,故3(x1-1)(x2-1)=(y1-1)(y2-1). . 6分令bc : y=kx+b,代入双曲线方程有: 2x2-(kx+b)2=1(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.x1,x2是方程的两个实根. 令f(x)= (2-k2)x2-2kbx-b2-1,则(x1-1)(x2-1)= . . 8分直线方程又可写成:x=, 代入2x2-y2=1,有: 2(y-b)2-k2y2=k2, 整理得:(2-k2)y2-4by+2b2-k2=0.y1,y2是方程的两个实根. 令g(y)= (2-k2)y2-4by+2b2-k2.(y1-1)(y2-1)= 10分 ,两式代入式,有: 故31-(k+b)2=2(b-1)2-k2, 从而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k). 因为点a(1,1)不在直线y=kx+b上,故k+b1. 利用,可知: 3 (1+k+b)+ 2(b-1-k)=0,即k+5b+1=0 因此直线ab过定点m.直线y=-也过定点m.综上所述,直线ab恒过定点m. 14分附加题：（一班学生做，满分