高考数学 常见难题大盘点 解析几何.doc

2013高考数学常见难题大盘点：解析几何1. 设上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线ab过椭圆的焦点f（0，c），（c为半焦距），求直线ab的斜率k的值； （3）试问：aob的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解析：本例（1）通过，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案：（1）椭圆的方程为 （2）设ab的方程为由由已知 2 （3）当a为顶点时，b必为顶点.saob=1 当a，b不为顶点时，设ab的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.2. 在直角坐标平面中，abc的两个顶点为 a（0，1），b（0, 1）平面内两点g、m同时满足 , = = （1）求顶点c的轨迹e的方程（2）设p、q、r、n都在曲线e上 ，定点f的坐标为（, 0） ，已知 , 且= 0.求四边形prqn面积s的最大值和最小值. 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案：（1）设c ( x , y )， ,由知,g为 abc的重心 ， g(,) 由知m是abc的外心，m在x轴上 由知m（，0），由 得 化简整理得：（x0）。 （2）f（，0 ）恰为的右焦点 设pq的斜率为k0且k，则直线pq的方程为y = k ( x )由设p(x1 , y1) ，q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1x2 = 则| pq | = = = rnpq,把k换成得 | rn | = s =| pq | | rn | = =) 2 ， 16 s 2 ， (当 k = 1时取等号)又当k不存在或k = 0时s = 2综上可得 s 2 smax = 2 ， smin = 3. 如图，f为双曲线c：的右焦点 p为双曲线c右支上一点，且位于轴上方，m为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形， （）写出双曲线c的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点f且平行于op的直线交双曲线于a、b点，若，求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。解：四边形是，作双曲线的右准线交pm于h，则，又， （）当时，双曲线为四边形是菱形，所以直线op的斜率为，则直线ab的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求 4. 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b 故椭圆的方程为 （）解法1：由（）得a（2，0），b（2，0） 设m（x0，y0） m点在椭圆上，y0（4x02） 又点m异于顶点a、b，2x00，0，则mbp为锐角，从而mbn为钝角，故点b在以mn为直径的圆内 解法2：由（）得a（2，0），b（2，0） 设m（x1，y1），n（x2，y2），则2x12，2x20），则，f(1,0)。因为m、f、n共线，则有，所以，解得，所以，因而，直线mn的方程是。（3）“逆向问题”一：已知抛物线c：的焦点为f，过点f的直线交抛物线c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点。证明：设过f的直线为y=k(x)，则由得，所以， ， =，所以直线rq必过焦点a。过点的直线交抛物线c于p、q两点，fp与抛物线交于另一点r，则rq垂直于x轴。已知抛物线c：，过点b(m,0 )（m0）的直线交抛物线c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点a(-m,0)。 “逆向问题”二：已知椭圆c：的焦点为f1(-c,0)，f2(c,0)，过f2的直线交椭圆c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点。 “逆向问题”三：已知双曲线c：的焦点为f1(-c,0)，f2(c,0)，过f2的直线交双曲线c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点。6. 椭圆的中心是原点o，它的短轴长为，相应于焦点f（c，0）（c0）的准线l与x轴相交于点a，过点a的直线与椭圆相交于p、q两点。（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 opo q = 0，求直线pq的方程；（3）设 a p = aq（1），过点p且平行与准线l的直线与椭圆相交于另一点m，证明 fm = - fq 。分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点o，它的短轴长为，相应于焦点f（c，0）（c0）的准线l与x轴相交于点a。” 可设椭圆的方程为 （a），从而有；又因可以有，联系以上这两个关于a、c的方程组并解得a=，c=2，所以椭圆的方程为，离心率e=。（2）根据已知条件 “o po q = 0” ，我们可设 p ，q，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 pq 经过 a（3，0），只须求出直线pq的斜率k即可求出直线pq的方程。而p、q两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过直线y=k（x-3）与椭圆，联系方程组消去一个未知数y（或x）得，并利用一元二次方程的根与系数关系结合及不难求出k=，这里应特别注意k的值要保证0成立，否则无法保证直线pq与椭圆有两个交点。（3）要证f m =- f q ，我们容易想到通过式中两个向量fm、fq的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点p且平行为准线l的直线与椭圆相交于另一点m”，求得点m坐标为。又因ap=aq，易知fm、fq的两个纵坐标已经满足，所以现在要考虑的问题是如何证明fm、fq的两个横坐标应该满足，事实上，注意到1，解得 因f（2，0），m，故fm=。 =又fq=，因此fm=-fq。7. 已知，记点p的轨迹为e. （1）求轨迹e的方程； （2）若直线l过点f2且与轨迹e交于p、q两点. （i）无论直线l绕点f2怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值. （ii）过p、q作直线的垂线pa、ob，垂足分别为a、b，记，求的取值范围.解析：答案：解：（1）由知，点p的轨迹e是以f1、f2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹e的方程为 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得， 解得k2 3 （i） ， 故得对任意的 恒成立， 当m =1时，mpmq. 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立， 综上，当m =1时，mpmq. （ii）是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：， 方法一： ， 注意到直线的斜率不存在时， 综上， 方法二：设直线pq的倾斜角为，由于直线pq与双曲线右支有二个交点， ，过q作qcpa，垂足为c，则 由 故： 8如图，p是抛物线c：上一点，直线l过点p且与抛物线c交于另一点q。（）若直线l与过点p的切线垂直，求线段pq中点m的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于s，与y轴交于点t，试求分析：（1）要求线段pq的中点m的轨迹方程，我们常把m的坐标转化为线段pq的两个端点坐标之间的关系。而p、q两点又是直线l与抛物线的交点，容易想到直线l的方程与抛物线c的方程相联立消去y（或x），转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外，求过抛物线p的切线的斜率问题，我们自然会想到求出数的导数。解：（1）事实上，这样过p的斜率为，由于直