广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

广东省揭阳市登岗中学2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1（5分）已知集合a=1，2，3，集合b=xz|1x4，则ab=（）a2，3b1，4c1，2，3，4d2（5分）i为虚数单位，则复数i（1i）的虚部为（）aibic1d13（5分）若ar，则“a=1”是“|a|=1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件4（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）apq是真命题bpq是假命题cp是真命题dq是真命题5（5分）在数列an中，a1=1，公比q=2，则a4的值为（）a7b8c9d166（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ay=lnxby=x2cy=cosxdy=2|x|7（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）a3b11c38d1238（5分）已知平面向量，的夹角为，且=3，|=3，则|=（）abcd29（5分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）a9+42b36+18c+12d+1810（5分）对实数a与b，定义新运算“”：ab=设函数f（x）=（x22）（x1），xr若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）a（1，1（2，+）b（2，1（1，2c（，2）（1，2d二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）11（5分）在abc中，若b=3，c=1，cosa=，则a=12（5分）已知函数则f（f（2）=13（5分）设x、y满足条件，则z=x+y的最小值是（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知圆c的极坐标方程为=2cos，则圆c上点到直线l：cos2sin+4=0的最短距离为【几何证明选讲选做题】15如图，pab、pcd为o的两条割线，若pa=5，ab=7，cd=11，ac=2，则bd等于三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，周期为2（1）求f（x）的解析式；（2）若 ，求 的值17（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示组别候车时间人数一1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率18（14分）如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abbc，d为ac的中点，a1a=ab=2，bc=3（1）求证：ab1平面bc1d；（2）求四棱锥baa1c1d的体积19（14分）设等差数列an的前n项和为sn，且a1=2，a3=6（1）求数列an的通项公式；（2）若sk=110，求k的值；（3）设数列的前n项和为tn，求t2013的值20（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆c的方程；（）过点p（0，2）的直线交椭圆c于a，b两点，求aob（o为原点）面积的最大值21（14分）已知函数x2+bx+a（a，br），且其导函数f（x）的图象过原点（）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；（）若存在x0，使得f（x）=9，求a的最大值；（）当a0时，求函数f（x）的零点个数广东省揭阳市登岗中学2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1（5分）已知集合a=1，2，3，集合b=xz|1x4，则ab=（）a2，3b1，4c1，2，3，4d考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：b=xz|1x4=2，3，则ab=2，3，故选：a点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）i为虚数单位，则复数i（1i）的虚部为（）aibic1d1考点：复数的基本概念 专题：计算题分析：化简复数i（1i）=1+i，由此求得复数i（1i）的虚部解答：解：复数i（1i）=1+i，故复数i（1i）的虚部为1，故选c点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）若ar，则“a=1”是“|a|=1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件 分析：先判断“a=1”“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立即“a=1”“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立即“|a|=1”时，“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选a点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键4（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）apq是真命题bpq是假命题cp是真命题dq是真命题考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断解答：解：p是真命题，q是假命题，pq是假命题，选项a错误；pq是真命题，选项b错误；p是假命题，选项c错误；q是真命题，选项d正确故选d点评：本题考查复合命题的真假情况5（5分）在数列an中，a1=1，公比q=2，则a4的值为（）a7b8c9d16考点：等比数列的通项公式 专题：计算题分析：由题意代入等比数列的通项公式可得答案解答：解：由等比数列的通项公式可得：a4=a1q3=123=8故选b点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题6（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ay=lnxby=x2cy=cosxdy=2|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：综合题；函数的性质及应用分析：排除法：根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可解答：解：y=lnx不是偶函数，排除a；y=cosx是周期函数，在区间（0，+）上不单调递减，排除c；y=x2在区间（0，+）上单调递增，排除b；故选d点评：本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，定义是解决该类问题的基本方法，属基础题7（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）a3b11c38d123考点：程序框图 专题：图表型分析：通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果解答：解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选b点评：本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律8（5分）已知平面向量，的夹角为，且=3，|=3，则|=（）abcd2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义，代入计算即可得到所求值解答：解：平面向量，的夹角为，且=3，|=3，即有=|cos=3|=3，则有|=故选c点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查运算能力，属于基础题9（5分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）a9+42b36+18c+12d+18考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知：由正视图和俯视图可知该几何体的下部是一个长方体，底面是一个边长为3的正方形，高为2；而长方体的上面是一个直径为3的球，据此可算出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是自上而下由一个球和一个长方体组成，又球的半径为，长方体的长、宽、高分别为3、3、2故该几何体的体积=+332=故选d点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积，通过三视图正确恢复原几何体是计算的关键10（5分）对实数a与b，定义新运算“”：ab=设函数f（x）=（x22）（x1），xr若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）a（1，1（2，+）b（2，1（1，2c（，2）（1，2d考点：函数与方程的综合运用 专题：函数的性质及应用分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x22）（x1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围解答：解：，函数f（x）=（x22）（x1）=，由图可知，当c（2，1（1，2函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，c的取值范围是 （2，1（1，2，故选b点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想属于基础题二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）11（5分）在abc中，若b=3，c=1，cosa=，则a=2考点：余弦定理 专题：解三角形分析：在abc中，若b=3，c=1，cosa=，则由余弦定理可得a2 的值，从而求得a的值解答：解：在abc中，若b=3，c=1，cosa=，则由余弦定理可得a2=b2+c22bccosa=9+16=8，故a=2，故答案为 2点评：本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题12（5分）已知函数则f（f（2）=1考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数，先求f（2）的值，然后再求f（f（2）的值即可解答：解：因函数所以f（2）=1则f（f（2）=f（1）=1故答案为：1点评：本题主要考查了分段函数值的求法，以及考查计算能力，属于基础题13（5分）设x、y满足条件，则z=x+y的最小值是1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：根据题意，先画出满足约束条件 的平面区域，画直线x+y=0，平移直线，观察直线过点a时截距最小，最后将点a坐标代入即可求出所求解答：解：满足约束条件 的平面区域如下图示：由图可知，画直线x+y=0，平移直线过点a（1，0）x+y有最小值1故答案为：1点评：本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=x+y的几何意义是解答好本题的关键（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知圆c的极坐标方程为=2cos，则圆c上点到直线l：cos2sin+4=0的最短距离为1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：直线与圆分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆和直线的直角坐标方程，再在直角坐标系中算出圆心到直线距离，最后所求的最短距离就是圆心到直线的距离减去半径即可解答：解：由=2cos2=2cosx2+y22x=0（x1）2+y2=1，cos2sin+4=0x2y+4=0，圆心到直线距离为：d=则圆c上点到直线l：cos2sin+4=0的最短距离为 1故答案为：1点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化【几何证明选讲选做题】15如图，pab、pcd为o的两条割线，若pa=5，ab=7，cd=11，ac=2，则bd等于6考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：设pc=x，由割线定理得：512=x（x+11），解之得x=4（舍去15），再根据圆内接四边形性质，得到pacpdb，最后由对应边成比例，列式并解之即得bd=6解答：解：设pc=x，则根据割线定理得papb=pcpd，即5（5+7）=x（x+11），解之得x=4（舍去15）pc=4，pd=15四边形abdc是圆内接四边形b=acp，d=cap，可得pacpdb，即，可得bd=6故答案为：6点评：本题给出三角形被圆截得内接四边形，在已知一些线段长的情况下求圆的一条弦长，着重考查了圆中的相似三角形和割线定理等知识，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，周期为2（1）求f（x）的解析式；（2）若 ，求 的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由周期求出，由偶函数的定义结合 的范围求得 的值，从而得到函数的解析式（2）根据条件求得 cos（+）=，再根据+的范围，求得 sin（+） 的值，再利用二倍角公式求得 的值解答：解：（1）由题意可得 =2，解得=1，故函数f（x）=sin（x+）再由此函数为偶函数，可得=k+，kz，结合0可得=，故f（x）=cosx（2），cos（+）=根据+（0，），sin（+）=2sin（+）cos（+）=2=点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，偶函数的定义，二倍角公式的应用，属于中档题17（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示组别候车时间人数一1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表 专题：概率与统计分析：（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例，用60乘以比例，即得所求（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率解答：解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60=32人（4分）（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件a（5分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12（8分）其中事件a包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，（10分）由古典概型可得p（a）= （12分）点评：本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题18（14分）如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abbc，d为ac的中点，a1a=ab=2，bc=3（1）求证：ab1平面bc1d；（2）求四棱锥baa1c1d的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；证明题分析：（1）欲证ab1平面bc1d，根据线面平行的判定定理可知只需证ab1与平面bc1d内一直线平行，连接b1c，设b1c与bc1相交于点o，连接od，根据中位线定理可知odab1，od平面bc1d，ab1平面bc1d，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面abc平面aa1c1c，作beac，垂足为e，则be平面aa1c1c，然后求出棱长，最后根据四棱锥baa1c1d的体积求出四棱锥baa1c1d的体积即可解答：解：（1）证明：连接b1c，设b1c与bc1相交于点o，连接od，四边形bcc1b1是平行四边形，点o为b1c的中点d为ac的中点，od为ab1c的中位线，odab1（3分）od平面bc1d，ab1平面bc1d，ab1平面bc1d（6分）（2）aa1平面abc，aa1平面aa1c1c，平面abc平面aa1c1c，且平面abc平面aa1c1c=ac作beac，垂足为e，则be平面aa1c1c，（8分）ab=bb1=2，bc=3，在rtabc中，（10分）四棱锥baa1c1d的体积（12分）=3四棱锥baa1c1d的体积为3（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题19（14分）设等差数列an的前n项和为sn，且a1=2，a3=6（1）求数列an的通项公式；（2）若sk=110，求k的值；（3）设数列的前n项和为tn，求t2013的值考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设出等差数列的首项，由已知列式求得公差，则等差数列的通项公式可求；（2）直接由等差数列的前n项和求得k的值；（3）利用裂项相消法求得数列的前n项和为tn解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，d=2，数列an的通项公式an=2+2（n1）=2n；（2）解得k=10或k=11（舍去）；（3），=1点评：本题考查了数列的求和，考查了裂项相消法，是中档题20（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆c的方程；（）过点p（0，2）的直线交椭圆c于a，b两点，求aob（o为原点）面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由 ，得 再由椭圆c经过点，能求出椭圆c的方程（）设直线方程为y=kx+2将直线ab的方程与椭圆c的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值解答：（本小题满分14分）（）解：由 ，得 （2分）由椭圆c经过点，得 （3分）联立，解得 b=1， （4分） 所以椭圆c的方程是 （5分）（）解：易知直线ab的斜率存在，设其方程为y=kx+2将直线ab的方程与椭圆c的方程联立，消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0（7分）令=144k236（1+3k2）0，得k21设a（x1，y1），b（x2，y2），则， （9分）所以 （10分）因为 ，设 k21=t（t0），则 （13分）当且仅当，即时等号成立，此时aob面积取得最大值（14分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算考查运算推理能