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104第三章 新古典增长理论第三章 新古典增长理论1956年，美国经济学家索洛(R. M. Solow)在他的论文“对经济增长理论的贡献”中提出了一种经济增长模型，他认为通过市场机制的作用来调整生产中的资本与劳动组合比例，可以实现充分就业稳定状态的经济增长，长期平衡增长率就是由劳动增长率与技术进步决定的自然增长率。另外，斯旺(T. W. Swan)、米德(J. E. Meade)和萨缪尔逊(P. A. Samuelson)等人也提出了与索洛的观点基本一致的增长模型。由于这些模型都强调“凯恩斯革命”以前的新古典经济学充分就业的必然趋势，因此把它们通称为新古典增长模型，并以索洛模型为代表。索洛增长模型已经成为几乎所有的经济增长理论的起点。传统上，经济学家研究经济增长问题时总是要使用索洛模型。即使建立的经济增长模型已完全偏离了索洛模型，经济学家还是要把它与索洛模型作比较，目的是为了对模型做出更好的解释和理解。因此，理解和掌握索洛增长模型是学习经济增长理论的基础。索洛模型的主要结论是，实物资本积累既不能说明人均总产出的持续增长，也不能说明国家之间出现人均产出巨大差异的原因。特别是，如果资本积累对产出的影响是按照正常渠道通过资本对生产的直接贡献(即得到边际产品报酬)而发生的，那么索洛模型就指出：我们试图搞清的实际收入差异太大，根本不能由资本品投入差异给出解释。索洛模型把造成实际收入差异的其他潜在原因(比如技术进步)视为外在因素，没有给出解释，或者说，索洛模型把这些潜在因素(比如资本外部性)统统给省略了。可见，为了研究经济增长的核心问题，还需要超出索洛模型的范围进行讨论，这正是后面几章的内容。本章主要介绍索洛增长模型。第一节 储蓄、资本积累与产出本节在第二章第一节提出的经济增长基本问题的基础上，来讨论储蓄、资本积累与总产畜之间的关系。我们将在技术水平既定的前提下讨论，即暂先不考虑技术进步对经济增长的影响。为了便于理解期间，本节采用离散时间方式来表示时间变量，即。为了便于理解本节的内容，这里先把问题摆一摆。自1950年以来，美国的储蓄率(即储蓄占GDP的比例)仅为18.7左右，而德国为24.8，日本为33.8。这一事实能否解释美国同大多数OECD国家相比增长率低的原因？储蓄率不断上升能否带来经济的长期持续增长？上一章第一节已经对这两个问题作出了否定的回答，即经济增长不取决于储蓄率，不能期望储蓄率上升能够带来经济的持续增长。但这一结论并不意味着不要去关心储蓄率，事实上，即使储蓄率不能决定经济增长率，储蓄率也还是对总产出和生活水平都有影响。高储蓄率最终将带来高生活水平。因此，储蓄率如何影响人均资本和人均产出，这是一个重要问题。本节的讨论分四步进行：首先讨论产出与资本积累之间的相互作用，其次讨论储蓄率对产出和资本的意义，然后对储蓄率变动的效应进行定量分析，最后讨论一下人力资本问题。一、产出与资本积累的相互作用资本存量决定着经济的产出水平。反过来，产出水平又决定着储蓄与投资水平，进而影响资本积累。产出与资本积累之间的这种相互影响和相互作用，决定着产出与资本的运动。(一) 资本的产出效应我们先来讨论资本对产出的影响。为此，我们需要使用总量生产函数，这里分别表示资本、劳动和总产出，并假定规模报酬不变，即是一阶齐次函数。如果忽略经济波动的影响，我们就可把每一个个体劳动者提供的劳动看成是一个单位的劳动，并认为经济达到充分就业，从而经济中投入的劳动总量就可看是经济中的劳动人口总数。这样，人均产出就可写为，人均资本存量可写为。于是，人均产出函数为：。进一步，假定经济中劳动人口数是固定的，人口的增长率为零。人均产出函数的特点是：(1)人均产出是人均资本的递增函数，即；(2)资本的边际收益递减，即。因此，人均资本的增加对产出的效应将随着人均资本存量的扩大而越来越小。当人均资本达到很高的水平时，人均资本增加对产出就几乎没有什么效果而言了。我们把经济的初始时期叫做时期0。用和分别表示经济在时期的人均产出和人均资本存量，即。这里，我们假定了经济社会的生产技术水平不变，因而各个时期的生产函数都是相同的。注意，已经假定了人口增长率为零，所以各个时期的人口(即劳动数量)都是相同的。总之，资本的产出效应是通过人均产出函数得以反映的。高的人均资本水平带来高的人均产出水平，但同时带来很低的资本增加产出效应。人均产出与人均资本之间的第一个运动关系式就是。(二) 产出的资本效应经济中的资本积累取决于储蓄。假定储蓄率(储蓄占总产出的比例)为常数，即不随总产出的变化而变化。这一假设有两层含义：一方面，储蓄率不会随着国家的富裕而全面上升或全面下降；另一方面，富国并不比穷国具有更高或更低的储蓄率。在这一假设下，经济中的储蓄就是总产出的线性函数：。考虑时间因素后，时期的储蓄就等于，即，这里表示时期的总产出。再假定所考虑的经济是一个封闭经济，并且预算赤字为零。则该经济均衡的条件是计划的投资等于计划的储蓄，即均衡时投资与储蓄相等。根据凯恩斯的国民收入决定理论，国民收入就是由均衡时的总产出决定的：，即。考虑时间因素后，应该解释为：经济在时期的投资应等于时期的储蓄：。注意，投资是一定时期内增加到资本存量中的资本流量，而资本存量是经济社会在某一时点上的资本总量。用表示时期的资本存量，表示经济在时期的投资，假定资本折旧率为，并且是常数，不随时间而变化。则经济在时期的资本存量等于本期投资与原有资本经过折旧后的数量之和：，其中就是前一期保留下来的资本经过折旧后的数量，是本期的投资。由此可得到产出对资本的影响公式：。把此式改写一下，便得到产出的资本效应：，即资本增加量等于投资(储蓄)减去资本折旧，这表明投资中一部分用于资本重置，其数量等于资本折旧量。投资中用于资本重置的部分，就叫做重置投资。从投资中扣除重置投资(资本折旧)后所剩余的部分，就是净投资。所以，投资=重置投资+净投资=资本折旧+净投资。从产出的资本效应可见，资本存量的增加量(即新增资本)等于净投资。前面已假定了人口不增长，各个时期的劳动人口都是。因此，人均产出对人均资本之间的影响可表示为：，这就给出了人均产出的资本效应： 即人均资本增加量等于人均储蓄(人均投资)减去人均资本折旧。这个公式也就是人均产出与人均资本之间的第二个运动关系式。二、储蓄率的意义上面得到了产出与资本积累的两个关系式和，表达了产出与资本之间的相互作用和相互影响。现在，我们把这两个式子联立起来，考察储蓄率变动的意义与作用，以说明资本积累对经济增长是否起决定性作用的问题。(一) 资本与产出的运动把代入后，可得到人均资本随时间变动的如下方程： (3.1.1) 消费 产出 净投资 折旧 图3-1 人均资本与人均产出本期的资本存量确定了本期的产出；反过来，在既定的储蓄率下，本期的产出又决定了本期的储蓄，进而决定了下一期的投资。同时，本期的人均资本还决定了下一期的资本折旧。下一期内，如果投资超过资本折旧，资本存量就增加；反之，如果投资小于资本折旧，资本存量就要减少。图3-1描绘了产出与资本之间的关系，图中有三条曲线：一条是人均产出曲线，一条是人均投资(储蓄)曲线，一条是资本折旧直线。假定经济从起始的人均资本水平开始运行：，即储蓄大于折旧。这保证了时期1的净投资大于零，从而时期1的资本存量增加：。根据人均产出函数的递增性，时期1的产出增加，即。如果时期1的储蓄仍然大于折旧，那么时期2的人均资本和人均产出都继续上升：。随着各时期的人均资本不断上升，人均产出不断增加。在资本边际收益递减规律的作用下，人均产出的增加速度越来来越小，人均储蓄增加越来越慢，也越来越小。然而资本折旧始终以不变的速度进行，结果人均储蓄最终要与资本折旧相等，此时人均资本达到图3-1中所示的水平，人均产量相应地达到的水平。假定在时期人均资本达到的水平，储蓄等于折旧，从而下一时期的投资只有重置投资，而没有净投资。这说明时期的人均资本存量既没有增加，也没有减少，保持了时期的人均资本水平。既然时期的人均资本存量等于时期的人均资本存量，而且人口保持不增长，时期的总产出和人均产出就都不增加，也不减少，保持了时期的水平。以后各个时期的情况也是如此，这样我们就有： (3.1.2)以上分析表明，如果一国经济从一个较低的资本水平上启动，那么储蓄和投资水平将不断上升，最终必然达到人均资本不变的阶段，从而使人均产出、总产出和资本存量都保持不变。同样，我们可以看出，如果一国经济从一个较高的资本水平上启动，使得一开始经济中的储蓄水平就低于资本的折旧水平，那么储蓄和投资水平将不断下降，最终也必然达到人均资本不变的阶段，从而使人均产出、总产出和资本存量都保持不变。可见，人均资本水平具有特殊重要意义：它代表资本积累的长期趋势，也代表经济发展的长期趋势。鉴于此，我们把叫做人均资本的长期水平(the level of capital per capita in long-run, or the long-run level of capital per capita)，或者叫作长期趋势。当经济的资本达到长期水平时，人均资本和人均产出都进入不变阶段，从而总产出和资本存量也进入不变阶段，经济运行达到稳定状态。因此，长期水平也就是经济发展的稳态水平(steady state or steady level）。这时，经济中的投资只是为了对资本损耗进行补偿，即投资只有补偿性投资，也即只有重置投资，而没有净投资。如果经济当前不在稳定水平上，那么以后的经济发展将不断趋向于稳定水平。这就是所谓的经济收敛性(economic convergence)。经济中的人均资本长期水平将由下述方程决定： (3.1.3)从经济发展的长期趋势看，如果人口和技术水平都不增长，而只有总储蓄水平的不断提高(这是因为在既定的储蓄率下，随着产出的增加，总储蓄不断增加)，那么长期内经济将保持总产初不变，因而储蓄对经济增长没有作用，资本积累的变化只能影响经济在短期内的产出水平，而不能影响经济发展的长期趋势。(二) 储蓄率与产出既定的储蓄率下，储蓄对经济的长期增长趋势没有影响。那么，储蓄率的变动对经济增长有影响吗？具体来说，储蓄率变动对人均产出有影响吗？现在，我们来分析这个问题，其答案将由三部分构成。第一，长期内，储蓄率对产出的增长率没有任何效应，即效应为零。为了正确理解这一回答的含义，设想一下经济在长期内保持一个不变的正增长率。为了维持这个增长率，我们需要什么条件？显然，人均资本必须保持增长，而且由于资本边际收益递减，人均资本的增长速度还必须比人均产出的增长速度要快。这就意味着经济在每一时期内都要比以前储蓄得更多，特别是储蓄率必须随着时间的推移越来越高。这样下去，必然在经济运行到某一时期时，即使把所有的产出都储蓄起来而不去消费，资本积累也不能达到稳定的增长率所要求的资本水平，结果经济的稳定增长就得不到保证。所以，通过改变储蓄率的办法，是不能保证经济保持一个固定不变的增长率上的。这样，在长期内人均资本必须固定不变，从而人均产出也就固定不变，储蓄率对产出增长的效应为零。第二，长期内，储蓄率影响着产量水平。储蓄率高的国家，人均产出水平也高。 图3-2 储蓄率影响长期产出水平这一结论在图3-2中得到了解释，它比较了具有不同储蓄率的两个国家的情况。这两个国家具有相同的劳动人口、相同的生产技术水平和相同的资本折旧率，但第一个国家的储蓄率高于第二个国家的储蓄率。因此，这两个国家具有相同的人均产出曲线和相同的资本折旧曲线，但两个国家的储蓄曲线不同：第一个国家的储蓄曲线(投资曲线)低于第二个国家的储蓄曲线(投资曲线)。这样，第二个国家的储蓄曲线与资本折旧曲线的交点位于第一个国家的储蓄曲线与资本折旧曲线的交点的右上方，从而第二个国家的人均资本与人均产出的长期水平和均高于第一个国家的人均资本与人均产出的长期水平和。所以，储蓄率高的国家，最终必然要比储蓄率低的国家具有更高的人均产出水平，从而具有更高的生活水平。第三，储蓄率上升只能引起经济的短期增长，但不能使经济长期保持增长。事实上，从上面第一个结论可知，任何既定储蓄率下，经济的长期增长率都为零。再从上面的第二个结论可知，高储蓄率下的人均产出水平高于低储蓄率的人均产出水平。这样，在储蓄率上升后，人均产出水平就要上升，朝着对应于高储蓄率的产出水平不断靠近。一旦达到这个水平，此后的人均产出就保持不变，经济的增长率为零。可见，储蓄率的上升只能引起经济的短期增长，对长期增长没有影响。这一事实也可用图3-2作出解释。假定经济在时期之前储蓄率都为，人均资本水平保持在稳态水平上，相应的人均产出为，经济的增长率为零。在时期，储蓄率上升到了一个更高的水平，结果人均储蓄变成为(而不再是)，比补偿资本损耗所需的储蓄多出，从而时期的人均资本从上升到，人均产出相应地增加，经济出现了正的增长率。只要经济在时期的储蓄在补偿了资本损耗之后仍有剩余，那么人均资本和人均产出都将继续上升。最后直到储蓄达到正好弥补资本损耗的水平时，人均资本就达到了高储蓄率下的稳态水平，相应的人均产出达到更高的水平，设这个时期为。从时期开始，以后各期的人均资本和人均产出都保持在和上不变，从而增长率又变为零。这就说明，储蓄率的上升可以引起从时期到时期的短期经济增长，而且这种短期增长不能持续，经济的长期增长率仍然为零。图3-3(a)画出了无技术进步情况下，储蓄率从上升到时，人均产出随时间变化的曲线。 (a) 无技术进步的情形 (b) 有技术进步的情形图3-3 储蓄率上升的效应以上三个结论都是在没有技术进步的前提下得到的。当我们在下一节的讨论中引入技术进步因素以后，经济将能保持长期增长。在有技术进步的情况下，经济的长期增长中以上三个结论仍然成立，即储蓄率对经济的长期增长率没有影响，但对产出水平有影响，而且储蓄率的上升会引起经济短期内以更快的速度增长，直到经济实现新的稳定状态时，增长率恢复到原来的增长率水平上，但这时经济中的总产出水平却比储蓄上升前的总产出水平高出了许多。图3-3(b)描绘了有技术进步情况下的经济长期增长曲线，其纵轴代表产出的对数。(三) 储蓄率与黄金律在每一种储蓄率下，经济都有相应的一个稳态人均资本水平、稳态人均产出水平和稳态人均消费水平：可见，不同的储蓄率，决定了不同的稳态人均消费水平。所以，尽管储蓄率对经济稳态增长率没有影响，但却对消费水平有影响。我们看一下两种极端的储蓄率：和。当时，经济中的总产出全部用于消费，这似乎让人们的消费达到了最大。其实不然，因为为在没有储蓄的情况，经济中的资本损耗就得不到补偿，这样，由于资本存量在不断减少，总产出就不断减少，直至为零。所以，从长期来看，一个没有储蓄的经济是一个没有产出的经济，也就没有消费。零储蓄率决定了数量为零的稳态消费。当时，经济中的总产出全部用于投资，而没有用于消费，从而稳态消费也为零。根据数学中函数取最大值的罗尔定理所述的道理，必然有某种储蓄率使得在这一储蓄率下稳态人均消费水平达到最大。人们把这一规律叫做经济增长的黄金律(golden rule)。这个使稳态人均消费达到最大的储蓄率，也就叫做储蓄的黄金律水平(golden-rule level of saving)，简称为黄金律储蓄率。黄金律储蓄率下的稳态人均资本水平，相应地叫做资本的黄金律水平(golden-rule level of capital)，简称为黄金律(人均)资本。现在，我们来看一下储蓄和资本的黄金律水平如何确定。根据罗尔定理，在储蓄的黄金律水平上，稳态人均消费的导数为零：。注意，在任一储蓄率下的稳态水平上，我们有，从而。这样便有： 图3-4 经济增长的黄金律根据前面的结论可知，储蓄越高，稳态人均资本水平相应地越高。这说明上式中稳态人均资本水平对储蓄率的导数一定大于零：。于是，当且仅当。这就得到了资本的黄金律水平的确定方程：。称这个方程为黄金律方程(golden-rule equation)。当从方程确定出资本的黄金律水平以后，储蓄的黄金律水平就随之确定了：。图3-4描述了资本与储蓄的黄金律水平的几何意义：在人均产出函数曲线的切线平行于资本折旧线的地方，资本达到黄金律水平；通过直线与资本折旧线的交点的储蓄曲线，就是黄金律水平的储蓄曲线，相应的储蓄率就是黄金律储蓄率。可以看出，为了保证黄金律方程对任何都有解，需要人均产出函数满足如下条件：这个条件叫做伊纳达条件(Inada condition)。懂得了经济增长的黄金律，看来储蓄率应该确定在黄金律水平上最好。的确，政府可以通过使用各种政策工具来影响储蓄率，使其达到黄金律水平。比如，政府可以采取预算赤字或预算盈余，可以对储蓄采取减税政策以吸引人们增加储蓄。然而现实中，政府面临着高储蓄与高消费之间的权衡：提高储蓄律意味着减少当前消费，增加未来消费。到底是应该增加当前消费还是应该增加未来消费？这个问题的答案与政府如何权衡当代人的消费和后代人的消费有关。如果政府认为当代人的消费最为重要，那么政府就可能让当前的储蓄更少一些，离黄金律水平更远一些。相反，如果政府提高了后代人消费的重要性，那么政府就可能让当前的储蓄更多一些，离黄金律水平更近一些。有一种观点认为，由于后代人并不能参与当代人的决策和投票选举，政府也就不可能让当代人做出更大的牺牲去为后代谋福利，因此现实中的储蓄率水平往往远低于黄金律水平。三、储蓄率变动效应的定量分析储蓄率变动对产出的效应到底有多大？储蓄率上升多少才能对经济增长产生影响？影响期又有多长？为了对这些问题做出更有意义的回答，让我们对储蓄率变动的效应作一定量分析。为此，假定生产函数是柯布-道格拉斯函数：于是，人均产出函数为。首先，我们从方程(3.1.3)出发，求出既定储蓄率下的稳态资本水平：求解这个方程，可得，相应的稳态人均产出为。由此可知，当储蓄率提高一倍时，稳态人均产出也提高一倍。比如，假设资本的折旧率为10，储蓄率目前也为10，从而人均产出为1，人均资本也为1。现在，储蓄率上升到20。相应地，人均产出上升到2，人均资本上升到4。其次，再来看一下在储蓄率从上升到后，人均产出从上升到需要用多长时间。为此，我们把储蓄率从上升到的那个时期看成是经济的起始时期，并设经济在起始时期处于稳态水平，人均产出和人均资本分别为：，。从资本的运动方程出发，我们有：可以证明： 并且。这说明在储蓄率上升以后，要把经济调整到新的稳态水平，需要经过相当长的时间。所以，尽管储蓄率上升对经济的长期增长趋势没有影响，但却会在相当长的时间内使经济保持增长。最后，我们来看一下资本和储蓄的黄金律水平。从黄金律方程求出资本的黄金律水平：，从而，相应地。这说明把产出的一半拿出来进行消费，另一半进行储蓄和投资，则可得到最大的长期消费。四、人力资本到目前为止，我们考虑的资本只有物质资本(physical capital)，比如机器、工厂、办公楼、仪器设备等等，而没有考虑人力资本(human capital)。经济学所说的人力资本，是指劳动者所掌握的熟练技术。拥有大量的熟练劳动者的经济，很可能要比多数劳动者都是文盲的经济具有高得多的生产率。过去两个世纪以来，随着物质资本的增长，人力资本同样也出现了巨大增长。工业革命开始的那个时候，大约只有30的人识字。而今，发达国家的知识分子比例已经达到95左右。工业革命前，中小学教育还不是义务，而今一个少年在16岁之前的教育一般都是义务性的。尽管世界平均知识水平已经达到相当高的程度，但国与国之间仍然存在着较大差异。富裕国家中，儿童能够100地获得小学教育，95获得中学教育，38能够获得高等教育。而贫穷落后(人均GDP低于400)的国家中，这些相应的数字分别为95、32和4。人力资本对产出有什么效应？引入人力资本因素后，前面得到的结论会受到什么影响？下面，我们来讨论这些问题。(一) 生产函数的扩展为了引入人力资本因素来扩展我们的分析讨论，需要修正上面的生产函数，把人力资本因素引进到生产函数之中。假定经济中的人力资本存量可以用某种指标来表示。这个指标的形成，同物质资本存量指标的形成方式是类似的。比如，我们把各种不同物质资本的价值加总起来，得到社会的物质资本存量。同样，我们可把各种不同的人力资本的价值加总起来，得到社会的人力资本存量。例如，假定社会共有100个劳动者，其中有一半工人是熟练劳动者，而另一半是非熟练劳动者，熟练劳动者的工资是非熟练劳动者的两倍。我们把一个非熟练劳动者的工资视为1，则熟练劳动者的工资为2，全社会的人力资本存量为，人均人力资本为。引进人力资本因素以后，原来的生产函数可改写为。依然假定修改后的生产函数具有规模报酬不变性质，即为一阶齐次函数。于是，人均产出函数变成为，其中，。人均产出依赖于人均物质资本和人均人力资本。随着人均物质资本的增加，人均产出增加。同样，随着人均人力资本的增加，人均产出也要增加。这就是说，经济熟练动者越多，生产中就能使用越多的复杂仪器设备和机器，熟练劳动者能够迅速适应新任务，能够在使用新技术中比非熟练劳动者更容易克服意想不到的困难。因此，经济的熟练劳动者比例越大，人均产出就越多。人均产出函数是人均物质资本和人均人力资本的递增函数。物质资本的边际收益递减，人力资本的边际收益同样也是递减的。当一个国家的大多数公民还都是文盲时，一个只有小学程度的文化人在社会上就受到极大的重视，他(她)能读会写，劳动效率高，因而比其他普通人获得了更多的报酬和更好的待遇。然而，随着社会总体文化水平的不断提高，越来越多的人具有了小学文化程度，一个小学毕业者受社会的重视程度就越来越小。比如在中国，新中国刚成立时，小学毕业者已被当时的人们认为了不起。而现在，小学毕业者同文盲差不多。改革开放初期，大学毕业者受到社会的广泛重视和重用，而今由于大学生的大量增加，大学文凭受到重视的程度比改革开放初期小得多了，受重视的则是为数还不多的研究生，特别是博士研究生。这些事实足以说明人力资本的边际收益递减现象。然而，我们还不太清楚，既然小学文凭已经没有什们用处，是否应该让每一个人都获得大学文凭，就能使社会的总产出增加得很多？许多人都不愿追求过高的文凭，他们感到学习是一件很苦恼的事情，追求过高的文凭反倒降低了他们的生产效率。(二) 人力资本、物质资本与产出人力资本因素进入生产函数之后，我们在前面分析得出的结论会受到怎样的影响？容易看出，前面关于物质资本积累的结论现在依然成立：储蓄率的上升将提高人均资本的稳态水平，从而提高人均产出的稳态水平。那么为了人力资本积累而发生的储蓄率的上升，又是怎样提高人力资本的稳态水平的，进而提高人均产出水平的？这里，为了人力资本积累而发生的储蓄主要体现在教育和职业培训上。利用扩展的生产函数，我们可以对这些问题作出回答。用、和分别表示经济在时期的人均产出、人均物质资本和人均人力资本。用表示经济中为了物质资本积累而发生的储蓄率物质资本储蓄率，表示经济中为了人力资本积累而发生的储蓄率人力资本储蓄率，经济的总储蓄率为。用表示经济中的物质资本折旧率，表示经济中的人力资本折旧率，经济中资本的总折旧率为。假定都为常数，不随时间变化而变化。人力资本的折旧实际上是指对劳动者拥有的知识和劳动技术的更新，以对知识老化进行补偿，比如职业培训、新技术培训、知识更新等。经济在各个时期都处于均衡状态：物质资本储蓄等于物质资本投资，人力资本储蓄等于人力资本投资，从而总储蓄等于总投资。考虑时间因素以后，本期的储蓄就只能等于下一期的投资。这样，我们有如下的资本运动方程：当从某时期开始，人均物质资本和人均人力资本都进入不变阶段时，经济达到长期稳态水平，此时的人均物质资本、人均人力资本和人均产出分别叫做稳态人均物质资本、稳态人均人力资本和稳态人均产出。显然，确定经济的长期稳态水平的方程是： (3.1.4)可见，稳态的物质资本水平、人力资本水平和产出水平都依赖于储蓄率(或)和，也即依赖于社会把产出的多少用于储蓄，又把储蓄中的多少用于教育投资。这样，经济的稳态水平可写成：当储蓄率和的选择使得稳态人均消费达到最大时，经济达到黄金律水平。此时的稳态人均物质资本水平叫做物质资本的黄金律水平，记作；此时的稳态人均人力资本水平叫做人力资本的黄金律水平，记作；此时的稳态人均产出水平叫做产出的黄金律水平，记作(显然，)；此时的物质资本储蓄水平叫做物质资本储蓄的黄金律水平，其储蓄率记作；同样，此时的人力资本储蓄水平叫做人力资本储蓄的黄金律水平，其储蓄率记作。当储蓄率的调整达到黄金律水平时，人均消费对各个储蓄率的偏导数都为零。再结合和可知，物资资本和人力资本的黄金律水平的确定方程如下： (3.1.5)例如，当生产函数为时，人均产出函数为。在既定的储蓄率下，从方程(3.1.4)可求出稳态人均物质资本水平和稳态人均人力资本水平：再从方程(3.1.5)可求出物质资本和人力资本的黄金律水平和：在实际操作中，物质资本储蓄率可以视为全社会的固定资产投资占GDP的比例，而人力资本储蓄率可以视为全社会的教育支出(教育经费)占GDP的比例。尽管这样，我们在采集人力资本投资数据时仍然存在至少四个方面的困难。第一，国家公布的全社会教育支出实际上包括两个部分，一是消费性教育支出，另一是投资性教育支出，而只有投资性教育支出才能算作人力资本投资。消费性教育支出主要是个人为了充实自己而发生的，比如退休老人上大学，体育明星上(非体育专业的)大学，大款为了体面而花钱上大学等，这些支出都属于消费性教育支出，实在难于统计，因此也就难于具体统计出投资性教育支出。第二，教育支出应该考虑机会成本问题，但国家公布的教育支出没有考虑机会成本问题。第三，企业对职工经济培训，还有一些非正式的教育等，其支出理应算作投资性教育支出，但国家公布的教育支出数据也没有包括这一部分支出。第四，物质资本的折旧与人力资本的折旧有着很不相同的特点，一般情况下，物质资本折旧高于人力资本折旧，并且人力资本的折旧率难于估计。存在的这几个方面的困难，让我们难于对人力资本投资作出可靠的估计来。曼基(G. Mankiw)、罗默(D. Romer)和韦尔(D. Weil)在他们1992年的一篇论文“对经济增长的实证研究”中 参见“A contribution to the empirics of economic growth”, Quarterly Journal of Economics, 1992, 407-437。，得出结论说：在产出的决定中，物质资本和人力资本大致起着相同的作用。这一结论是重要的，它意味着人均产出对物质资本和人力资本的依赖程度大致相同。那些储蓄多，并且在教育上支出也多的国家，基本上都获得了较高的稳态人均产出水平。以上对于人力资本的讨论和分析，指出了凡是储蓄多，教育支出也多的国家，稳定状态的人均产出水平也就越高。但却没有说明高储蓄、高教育支出的这种做法是否能够保证经济长期高增长的问题。对此，以卢卡斯(R. Lucas)和罗默(P. Romer)为首的一批经济学家开展了一系列研究，发现物质资本与人力资本联合起来足以保证经济的持续增长。卢卡斯和罗默是这样看待问题的：人力资本既定时，物质资本的边际收益递减；同样，物质资本既定时，人力资本的边际收益也递减。但是，当物质资本和人力资本联合起来都增加时，情况就大不一样了。他们指出，即使从长期看，经济增长也取决于储蓄率和教育支出。显然，这一结论与我们在上面的分析得出的结论是不一致的。卢卡斯和罗默的模型，被称为内生增长模型(models of endogenous growth)，受到当代经济学界的重视。但是，我们在这里还不能因为卢卡斯和罗默的结论而否定新古典综合派对经济增长作出的上述工作。至少我们可以说，到目前为止，还没有看到哪一个国家仅仅依靠资本积累和劳动技术改进就能保证经济的高速增长。因此，新古典增长理论的上述结论依然有一定的价值和理论意义。第二节 技术进步与经济增长当经济中既有资本积累，又有技术进步时，经济将会按照怎样的速度增长？储蓄率上升能否提高经济增长率？如能提高，那么增长率的提高又能保持多长时间？索洛为了回答这些问题，把上一节的讨论和模型进行了推广。本节从连续时间出发，介绍索洛推广的模型。索洛运用Cobb-Douglas生产函数和边际生产力分配理论，考察了稳定状态平衡增长所需的条件和国民收入在工资和利润之间的分配比例问题，建立了索洛经济增长模型，对现实世界作了简明的描述：经济社会投入三种要素(资本、劳动和知识)来生产一种商品；商品的生产和消费活动只有企业和家庭部门参与，而没有政府部门；就业方面假定为充分就业，就业的波动被忽略而不予以考虑；储蓄率、折旧、人口增长、以及技术进步这些因素也都假定是不变的。当然，这些简化可看成是索洛模型的不足。但是，这样的简化为我们分析现实问题提供了一条简捷、有效的途径，它是对现实的一种模拟，突出了我们关注的问题，并让问题分析起来更加容易。索洛模型是成功的，它为研究经济增长问题提供了很好的基点。一基本假设索洛认为，经济在任何时点上都有一定数量的资本、劳动和知识，他们被组合起来投入到生产中得到社会的总产出。用表示社会的总产出量，表示投入的资本量，表示投入的劳动数量，表示投入的知识量 (或劳动效率)。这样，投入资本和劳动，按劳动效率(或知识)生产出社会总产出的生产过程，可用生产函数形式加以表达：其中表示时间。由此可见，产出、资本、劳动和劳动效率(或知识)是索洛模型集中考虑的四个变量。注意，这里的生产函数具有两个重要特点。首先，时间因素不是以直接的方式，而是以间接的方式通过资本因素、劳动因素和知识因素进入生产函数关系之中的。这就是说，只有当投入要素随时间发生变化时，产出才会随时间发生变化。特别是当头入的资本和劳动数量不变时，只有当投入的知识数量随时间增加时，总产出才会随时间而增加，即才会有技术进步。其次，知识与劳动连带性地进入生产函数关系之中。知识与劳动的乘积表示了有效劳动(effective labor)，同时也表达了技术进步。这种形式的技术进步，就是上一章所说的劳动密集型技术进步，也即是哈罗德中性技术进步。知识以劳动密集型技术进步的方式进入生产函数，再加上其他一些假设条件，便蕴含着资本-产出比率最终要被确定下来。实际上，资本-产出比率也确实没有显示出任何随时间的推移而上升或下降的明显趋势。另外，这种让资本-产出比率最终成为常数的经济增长模型，使分析得以大大简化。因此，假定与相乘，是十分方便的做法。索洛模型的关键假设包括两个方面，一是关于生产函数的假设，另一是关于生产要素(资本、劳动和知识)进化的假设。所谓进化，是指事物随时间发生的逐渐变化。下面，就对这两方面的假设分别进行讨论。(一) 关于生产函数的假设索洛假定生产函数具有规模报酬不变之性质，这是索洛模型的关键假设。所谓规模报酬不变，是说当资本和有效劳动的投入数量都翻一番时，产量随之翻一番。用公式表达，即对任何实数，都有：1规模报酬不变之假设的意义对于这个假设，我们可以从两个方面来理解，或者说它有两层含义，或者可把它看成是两个假设的合并。第一层含义是认为经济已经足够地大，使得专业化和社会分工的好处已经被社会全部得到。在一个小的经济中，进一步的专业化是完全可能发生的，这样一来，加倍投入资本和劳动所得到的好处就不止加倍，产出可能以更大的倍数增加。在经济发展到相当大的程度时，社会得到了专业化的全部好处，如果资本和劳动投入增加一倍，那么新增加的这部分资本和劳动从本质上说就会与原来的资本和劳动投入一样发挥同样大小的作用，因此总产出在原来基础上增加一倍。这就是规模报酬不变之假设所包含的第一个意义。第二层含义是认为除了资本、劳动和知识之外，其他投入要素在生产中相对来讲都不是重要的。特别是，索洛模型忽略了土地和其他自然资源要素。如果说自然资源是重要的生产要素，那么仅仅加倍资本和劳动的投入就可能不能使产出增加达到同样的倍数(因为缺乏自然资源的足够支持)。然而实际经验表明，可以利用的自然资源似乎并不构成经济增长的限制因素，自然资源对经济增长并不很重要(这一点在本章最后一节中将要进一步说明)。因此，假定资本和劳动的规模报酬不变似乎是合理的，是对现实的一种合理的近似表述。2有效人均生产函数规模报酬不变意味着总量生产函数可以采取一种密集形式有效人均生产函数。具体来说，令，然后把资本和劳动投入量同时扩大倍，则产出也扩大倍，从而得到如下的生产函数表达式：这里，表示平均一单位有效劳动的资本存量，表示一单位有效劳动的产出(即)。记及。我们称为单位有效劳动的资本(capital per unit of effective labor)，称为单位有效劳动的产出(output per unit of effective labor)。记，则原来的生产函数可改写成:注意，这个函数同上一节的人均产出函数不同，它是单位有效劳动的产出函数，比人均产出函数描述的生产更加精细。因此，人们这种函数通常称为生产函数的密集形式(intensive form of production functions)，或者叫作有效人均生产函数，以示技术进步的劳动密集型含义。这样，我们便把单位有效劳动的产出表示成为了单位有效劳动的资本存量的函数。生产函数的密集形式背后隐藏着直观的实际背景。设想一下，我们的经济分成了个小经济，每个小经济中投入了一个单位的有效劳动和个单位的资本。由于生产具有规模报酬不变性质，每个小经济的产出就只是未被分割前的原大经济的产出的。因此，单位有效劳动的产出量就只依赖于单位有效劳动下资本的投入量，而不依赖于经济的总体规模。这就是生产函数的密集形式所表达的实际意义。如果希望知道经济的总产出，只需用有效劳动的投入总量乘以单位有效劳动的产出量，即。在单位有效劳动投入不变的情况下，资本投入越大，产出量越大，但每一单位资本投入的产出会随着资本投入总量的不断增大而减少，这就是边际收益递减规律。因此，我们对密集形式的生产函数提出如下假设：其中表示一阶导数，表示二阶导数。其实，是资本的边际产出(即资本的边际生产力)，即。事实上，从可知， 图3-5 生产函数曲线这一事实说明，如上对密集形式生产函数的假设保证了资本的边际产出为正，但这个边际产出随单位有效劳动下的资本数量的增加而减少。除了上述假设外，我们进一步假定密集形式生产函数还满足伊纳达条件：这是经济学家伊纳达(K. Inada)于1964年提出来的 上一节中已经提到了这个条件，具体请参见“Some structural characteristics of turnpike theorems”，Review of Economic Studies 31(January, 1964):43-58。图3-5显示了满足条件、和且满足伊纳达条件的生产函数曲线的形状。伊纳达条件的意义是说，当生产中的资本份额太少时，资本的边际产出将是很大的；而当资本份额很大时，资本的边际产出非常小。伊纳达条件的作用在于保证经济的增长道路不会发散，但这个条件比为了得到索洛模型的中心结论所需要的条件要强。例1. Cobb-Douglas生产函数的密集形式Cobb-Douglas生产函数(为常数，)显然满足规模报酬不变假设，并且它的密集形式为：其一阶导数为，二阶导数为。易见，该函数满足伊纳达条件。Cobb-Douglas生产函数的另一个特点是，不论是劳动密集型，还是资本密集型，或者是同等密集型(希克斯中性)技术进步，其Cobb-Douglas生产函数的形式基本上都是相同的，也就是说，不论哪一种技术进步，Cobb-Douglas生产函数都可写成如下形式：，其中都为常数，并且是一个与技术进步有关的系数，称为技术进步系数。比如，对于劳动密集型技术进步，；对于资本密集型技术进步，；对于哈罗德中性技术进步，。(二) 关于生产要素进化的假设要素进化(evolution of inputs)是指要素数量随着时间的推移而逐渐发生变化。索洛增长模型的第二类假设是关于要素进化的假设，即对资本、劳动和知识这三类生产要素的投入量如何随时间推移而变动作出假定。这里，所考虑的时间因素用连续时间来表示，即模型中的变量都是定义在各个时点上的变量。用表示时间变量，、和分别表示时刻的资本、劳动和知识量。假定经济在起始时刻(即)的资本、劳动和知识的数量既定，即用、和分别表示、和关于时间的导数，则、和分别标表达了资本、劳动和知识的增长率。1关于劳动和知识进化的假设索洛认为，劳动和知识这两种要素的进化是由经济的外部环境决定的，不能由经济本身所确定。因此，他假定劳动和知识的增长率都是常数。用表示劳动增长率，表示知识增长率，则劳动与知识的进化规律是：， (3.2.1)这意味着劳动和知识投入量以指数形式增长：，事实上，只要在等式两边取不定积分，就可得到。再应用初始条件，便可知。于是，。同理可证，。劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增长，其增长率为：即有效劳动增长率是知识增长率与劳动增长率之和。同样可以证明：2关于资本进化的假设为了对资本的进化作出假定，索洛认为影响资本进化的因素有两个，一个是总产出用于投资的比例，另一个是现有资本的折旧率。第一个因素的含义是说，总产出可以在消费与投资之间加以分配。将一单位产出用于投资，意味着资本增加一个单位。索洛认为，究竟要从总产出中拿出多少来用于投资，其比例要由储蓄来决定，是一个外生因素，而不能由经济本身决定。因此，索洛假定：总产出用于投资的比例是一个外生的常量。实际上，这个比例就是储蓄率。第二个因素的含义是说，当期的生产耗损了一定的现有资本，使现有资本的实际存量减少。通过折旧率，可以具体计算出现有资本的减少量。索洛假定：现有资本的折旧率也是一个常数。于是，当前时刻资本存量的增加量(按单位时间计算)应该为： (3.2.2)对于以上出现的各个常数，索洛假定：，。除此之外，再无其他限制。到此，索洛增长模型的基本假设叙述完毕。二、整体经济的运行我们来分析索洛经济的运行规律。在这个经济的三种生产要要素中，有两种要素(劳动和知识)的进化要由外部因素决定，是外生变量，其变化不能由经济本身决定。因此，要研究索洛经济的行为规律，只有把着眼点放在第三个要素资本上去，分析资本的进化规律。(一) 单位有效劳动的资本进化规律索洛模型描述的经济会随着时间的推移而不断增长，这样，如果我们把注意力集中在单位有效劳动的资本额上，就要比分析未经调整的资本额方便得多。从并应用导数的连锁法则，可得到： (3.2.3)注意，及关于要素进化的假定(3.2.1)和(3.2.2)，上式可改写成：再注意，我们得到： (3.2.4)方程(3.2.4)称为索洛方程，是索洛模型的关键方程。它表明，单位有效劳动的资本额的变化率(即增长率)是两项之差。下面，我们对这两项的经济含义作一具体解释。第一项叫做单位有效劳动的实际投资(actual investment)，它表示单位有效劳动的产出中储蓄起来用于投资的数量。这是因为是总产出用于投资的比例，而是单位有效劳动的产出。第二项叫做持平投资(break-even investment)，它表示为了让单位有效劳动的资本数量保持在现有水平上而必须进行的投资。为了防止单位有效劳动的资本数量减少，追加一定数量的投资是必须的，其理由主要由两条。首先，现有资本在耗损，通过折旧，资本数量就减少了。这部分耗费掉的资本必须得到补偿，才能使资本存量不下降。其需要补偿的资本数量，正是单位有效劳动的现有资本的折旧量。其次，有效劳动数量以增长率在增长。这样，追加足够的投资以使资本总额保持不变，并不能保证单位有效劳动的资本数量不变。相反，由于有效劳动以增长率增长，资本总额也就必须以同样的增长率增长，才可保证单位有效劳动的资本数量保持不变。换句话说，有效劳动的增长，使得单位有效劳动的资本数量减少了。总而言之，资本折旧以及有效劳动的增长，给单位有效劳动的资本总共造成了个单位的损失。只要这个损失得到弥补，那么单位有效劳动的资本数量就保持不变。这就是持平投资的经济含义。进一步，从等式(