广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文 科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）全集u=a，b，c，d，e，m=a，d，n=a，c，e，则num为（）ac，eba，ccd，eda，e2（5分）命题“xr，|x|+x20”的否定是（）axr，|x|+x20bxr，|x|+x20cx0r，|x0|+x020dx0r，|x0|+x0203（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）ax=1为f（x）的极大值点bx=1为f（x）的极小值点cx=为f（x）的极大值点dx=为f（x）的极小值点4（5分）若tan0，则（）asin0bcos0csin20dcos205（5分）若函数是r上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）a（，2）bc（0，2）d6（5分）已知b0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）ad=acba=cdcc=addd=a+c7（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）a（1，+）b（，1）c（2，+）d（，2）8（5分）在函数y=cos丨2x丨，y=丨cosx丨，y=cos（2x+）y=tan（2x）中，最小正周期为的所有函数为（）abcd9（5分）已知函数f（x）=4x2，g（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，当x0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）g（x）的大致图象为（）abcd10（5分）设函数f（x）=xa+1（aq）的定义域为b，a（a，b，其中0ab，且f（x）在a，b上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在b，a上的最大值与最小值的和是（）a5b9c5或9d以上不对二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11（5分）函数f（x）=的定义域是12（5分）已知f（x）是定义在r上且周期为3的函数，当x0，3）时，f（x）=|x22x+|，若函数y=f（x）a在区间3，4上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是13（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若xr，f（x）f（x1），则正实数a的取值范围为（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，曲线c1与c2的方程分别为2cos2=sin与cos=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线c1与c2交点的直角坐标为（几何证明选讲选做题）15如图，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb=2ae，ac与de交于点f，则=三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2x60，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围17（12分）已知函数f（x）=asin（x+），xr，且f（）=（1）求a的值；（2）若f（）f（）=，（0，），求f（）18（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（）求频率分布直方图中a的值；（）分别求出成绩落在50，60）与60，70）中的学生人数；（）从成绩在50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在60，70）中的概率19（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，求a到平面pbc的距离20（14分）设等差数列an的公差为d，点（an，bn）（nn*）在函数f（x）=2x的图象上（1）证明：数列bn为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2，求数列anbn2（nn*）的前n项和sn21（14分）已知函数f（x）=ex+ex，其中e是自然对数的底数（1）证明：f（x）是r上的偶函数（2）若关于x的不等式mf（x）ex+m1在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围（3）已知正数a满足：存在x01，+），使得f（x0）a（x02+3x0）成立试比较ea1与ae1的大小，并证明你的结论广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）全集u=a，b，c，d，e，m=a，d，n=a，c，e，则num为（）ac，eba，ccd，eda，e考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据全集u及m求出m的补集，找出n与m补集的交集即可解答：解：全集u=a，b，c，d，e，m=a，d，n=a，c，e，um=b，c，e，则num=c，e故选：a点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）命题“xr，|x|+x20”的否定是（）axr，|x|+x20bxr，|x|+x20cx0r，|x0|+x020dx0r，|x0|+x020考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xr，|x|+x20”的否定x0r，|x0|+x020，故选：c点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）ax=1为f（x）的极大值点bx=1为f（x）的极小值点cx=为f（x）的极大值点dx=为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值解答：解：函数的定义域为（0，+）求导函数，可得f（x）=1+lnx令f（x）=1+lnx=0，可得x=0x时，f（x）0，x时，f（x）0x=时，函数取得极小值，故选d点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4（5分）若tan0，则（）asin0bcos0csin20dcos20考点：三角函数值的符号 专题：三角函数的求值分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案解答：解：tan0，则sin2=2sincos0故选：c点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题5（5分）若函数是r上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）a（，2）bc（0，2）d考点：函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点 专题：计算题分析：由函数是单调减函数，则有a20，且注意2（a2）解答：解：函数是r上的单调减函数，故选b点评：本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况6（5分）已知b0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）ad=acba=cdcc=addd=a+c考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出解答：解：由5d=10，可得，cd=lgb=log5b=a故选：b点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题7（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）a（1，+）b（，1）c（2，+）d（，2）考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：构建函数f（x）=f（x）（2x+4），由f（1）=2得出f（1）的值，求出f（x）的导函数，根据f（x）2，得到f（x）在r上为增函数，根据函数的增减性即可得到f（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集解答：解：设f（x）=f（x）（2x+4），则f（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xr，f（x）2，所以f（x）=f（x）20，即f（x）在r上单调递增，则f（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故选：a点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题8（5分）在函数y=cos丨2x丨，y=丨cosx丨，y=cos（2x+）y=tan（2x）中，最小正周期为的所有函数为（）abcd考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论解答：解：函数y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =，y=丨cosx丨的最小正周期为=，y=cos（2x+）的最小正周期为 =，y=tan（2x）的最小正周期为 ，故选：a点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题9（5分）已知函数f（x）=4x2，g（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，当x0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）g（x）的大致图象为（）abcd考点：函数的图象；函数奇偶性的性质 专题：压轴题；数形结合分析：由已知中函数f（x）=4x2，当x0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案解答：解：函数f（x）=4x2，是定义在r上偶函数g（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，故函数y=f（x）g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故a，c不正确又函数f（x）=4x2，当x0时，g（x）=log2x，故当0x1时，y=f（x）g（x）0；当1x2时，y=f（x）g（x）0；当x2时，y=f（x）g（x）0；故d不正确故选b点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法10（5分）设函数f（x）=xa+1（aq）的定义域为b，a（a，b，其中0ab，且f（x）在a，b上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在b，a上的最大值与最小值的和是（）a5b9c5或9d以上不对考点：函数的最值及其几何意义 专题：综合题；函数的性质及应用分析：先根据函数f（x）=x+1得f（x）1=x，由题意知函数y=x，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=x在区间a，b上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=x在区间b，a上的最大值与最小值的情况，从而得出答案解答：解：令g（x）=x，定义域为b，aa，b，则函数f（x）=x+1（q）在区间a，b上的最大值为6，最小值为3，g（x）=x在区间a，b上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=x是偶函数，则g（x）=x在区间b，a上的最大值为5，最小值为2，函数f（x）=x+1（q）在区间b，a上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=x是奇函数，则g（x）=x在区间b，a上的最大值为2，最小值为5，函数f（x）=x+1（q）在区间b，a上的最大值为1，最小值为4，最大值与最小值的和5；f（x）在区间b，a上的最大值与最小值的和为5或9故选：c点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11（5分）函数f（x）=的定义域是（0，3）（3，+）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数成立的条件，建立条件关系即可得到结论解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x0且x3，故函数的定义域为（0，3）（3，+）故答案为：（0，3）（3，+）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件12（5分）已知f（x）是定义在r上且周期为3的函数，当x0，3）时，f（x）=|x22x+|，若函数y=f（x）a在区间3，4上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可解答：解：f（x）是定义在r上且周期为3的函数，当x0，3）时，f（x）=|x22x+|，若函数y=f（x）a在区间3，4上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知故答案为：（0，）点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用13（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若xr，f（x）f（x1），则正实数a的取值范围为（0，）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（4a）=a，若xr，f（x）f（x1），则，解不等式可得正实数a的取值范围解答：解：由已知可得：a0，且f（4a）=a，f（4a）=a，若xr，f（x）f（x1），则，解得a，故正实数a的取值范围为：（0，），故答案为：（0，）点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，曲线c1与c2的方程分别为2cos2=sin与cos=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线c1与c2交点的直角坐标为（1，2）考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：坐标系和参数方程分析：直接由x=cos，y=sin化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案解答：解：由2cos2=sin，得：22cos2=sin，即y=2x2由cos=1，得x=1联立，解得：曲线c1与c2交点的直角坐标为（1，2）故答案为：（1，2）点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题（几何证明选讲选做题）15如图，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb=2ae，ac与de交于点f，则=3考点：三角形的面积公式 专题：解三角形分析：证明cdfaef，可求解答：解：四边形abcd是平行四边形，eb=2ae，abcd，cd=3ae，cdfaef，=3故答案为：3点评：本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2x60，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围解答：解：x24ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a0，则x24ax+3a20的解集为（a，3a），故命题p成立有x（a，3a）；由x2x60得x2，3，故命题q成立有x2，3，若p是q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（a，3a）2，3，解得，2a1又a0，所以0a1，故a的取值范围为：0a1点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用17（12分）已知函数f（x）=asin（x+），xr，且f（）=（1）求a的值；（2）若f（）f（）=，（0，），求f（）考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）通过函数f（x）=asin（x+），xr，且f（）=，直接求a的值；（2）利用函数的解析式，通过f（）f（）=，（0，），求出cos，利用两角差的正弦函数求f（）解答：解：（1）函数f（x）=asin（x+），xr，且f（）=，f（）=asin（+）=asin=，（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），f（）f（）=3sin（+）3sin（+）=3（）（）=32sincos=3sin=，sin=，cos=，f（）=3sin（）=3sin（）=3cos=点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查18（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（）求频率分布直方图中a的值；（）分别求出成绩落在50，60）与60，70）中的学生人数；（）从成绩在50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在60，70）中的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（）根据频率分布直方图求出a的值；（）由图可知，成绩在50，60）和60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求（）分别列出满足50，70）的基本事件，再找到在60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可解答：解：（）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）10=1，解得a=0.005（）成绩落在50，60）中的学生人数为20.0051020=2，成绩落在60，70）中的学生人数为30.0051020=3（）记成绩落在50，60）中的2人为a，b，成绩落在60，70）中的3人为c，d，e，则成绩在50，70）的学生任选2人的基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10个，其中2人的成绩都在60，70）中的基本事件有cd，ce，de共3个，故所求概率为p=点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题19（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，求a到平面pbc的距离考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）设bd与ac 的交点为o，连结eo，通过直线与平面平行的判定定理证明pb平面aec；（）通过ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，求出ab，作ahpb角pb于h，说明ah就是a到平面pbc的距离通过解三角形求解即可解答：解：（）证明：设bd与ac 的交点为o，连结eo，abcd是矩形，o为bd的中点e为pd的中点，eopbeo平面aec，pb平面aecpb平面aec；（）ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，v=，ab=，作ahpb交pb于h，由题意可知bc平面pabbcah，故ah平面pbc又a到平面pbc的距离点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（14分）设等差数列an的公差为d，点（an，bn）（nn*）在函数f（x）=2x的图象上（1）证明：数列bn为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2，求数列anbn2（nn*）的前n项和sn考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）先由（）求得an，bn，再利用错位相减求数列anbn2的前n项和sn解答：（1）证明：由已知得，bn=2an0，当n1时，=2an+1an=2d，数列bn为首项是2a1，公比为2d的等比数列；（2）解：f（x）=2xln2函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y2a2=2a2ln2（xa2），在x轴上的截距为2，a2=2，a2=2，d=a2a1=1，an=n，bn=2n，anbn2=n4n，tn=14+242+343+（n1）4n1+n4n，4tn=142+243+（n1）4n+n4n+1，tn4tn=4+42+4nn4n+1=n4n+1=，tn=点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题21（14分）已知函数f（x）=ex+ex，其中e是自然对数的底数（1）证明：f（x）是r上的偶函数（