高三数学复习专题（6）——最值.doc

高三数学复习专题（6）最值前置作业一、最值问题的呈现方式一般有以下几种：1. 函数的最值；2. 几何图形中的最值：如线段长度，面积最值，几何体的体积最值问题等；3. 实际应用问题：实际生活中的最优化问题，如费用最少，时间最短等。二、解决最值问题的一般思路：基础检测：1 函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为 .2. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点是区域D内的任意一点,则的取值范围是 .3 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为 .4.正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，则的最小值为 .5.已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，(1)，R，则的最大值为 .6.设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos = .高三数学复习专题（6）最值一、函数法求最值【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由 【试一试】 如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程 二、几何法求最值【例2】 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求ABP面积的最大值【试一试】已知A(3,2)、B(4,0)，P是椭圆1上一点，求|PA|PB|的最大值课后作业：1. 已知点P是抛物线y24x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x2y100的距离为d2，则d1d2的最小值是 2. 若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_3.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()4.已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为 。5.已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若ASnB对nN*恒成立，则BA的最小值为_6.在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上 .设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值7在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2cos2A.(1)求角A的大小； (2)若BC边上高为1，求ABC面积的最小值8.已知动点C是椭圆：y21(a1)上的任意一点，AB是圆G：x2(y2)2的一条直径(A，B是端点)，的最大值是.求椭圆的方程；前置作业一、最值问题的呈现方式一般有以下几种：4. 函数的最值5. 几何图形中的最值，如线段长度，面积最值，几何体的体积最值问题等6. 实际应用问题：实际生活中的最优化问题，如费用最少，时间最短等。二、解决最值问题的一般思路：求最值或范围常见的解法：(1)几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等基础检测：2 函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为 .解：当0x9时，sin 1， 所以函数的最大值为2，最小值为，其和为2.3. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点是区域D内的任意一点,则的取值范围是 . 解析：由得抛物线在处的切线方程为图3即，即得可行域如图3中阴影，目标函平移目标函数经过点A时最小经过点B时最大，故的取值范围是3已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为 .解析两圆圆心均在第一象限位于x轴的同侧，先求|PC1|PC2|的最小值，作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，所以(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，从而(|PM|PN|)min5(13)54.4.正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，则的最小值为 .解析由a3a22a1，得q2q2，q2(q1舍去)，由aman16a得2m12n116，mn24，mn6，所以.5.已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，(1)，R，则的最大值为 .图8解析如图8，()()(1)()2(1)2(1)(21)cos6012，6.设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.解析:f(x)=sin x-2cos x=(sin x-cos x)=sin(x-),其中sin =,cos =,当x-=2k+(kZ),即x=2k+时函数f(x)取到最大值,即=2k+,所以cos =-sin =-.答案:-高三数学复习专题（6）最值一、函数法求最值【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由满分解答(1)由e ，得ab，椭圆C：1，即x23y23b2.设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ| ，byb.若b1，则b1，当yb时，|PQ|max 3，又b0，得b1(舍去)若b1，则b1，当y1时，|PQ|max 3，得b1.椭圆C的方程为y21.(6分)(2)假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.由题意可得SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时取等号，这时AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mxny1的距离为，则，得m2n22.又n21，解得m2，n2，即存点M的坐标为，满足题意，且AOB的最大面积为.(12分)老师叮咛：当所求的最值问题可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注 【试一试】 如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程 解(1)设椭圆左焦点为F(c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，(1)则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段AB的中点M.因为M在直线OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此时方程(1)为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以|AB|x1x2|.设点P到直线AB距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|d.其中m(2 ，0)(0,2 )令u(m)(12m2)(m4)2，m2 ，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1，u(m)取到最大值故当且仅当m1，S取到最大值综上，所求直线l方程为3x2y2 20.二、几何法求最值【例2】 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求ABP面积的最大值满分解答(1)根据题意可设直线l的方程为ykx2，抛物线方程为x22py(p0)由得x22pkx4p0.(2分)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直线l的方程为y2x2，抛物线方程为x22y.(6分)(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，ABP的面积最大对yx2求导，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此时点P到直线l的距离d.(9分)由得x24x40，则x1x24，x1x24，|AB| 4 .于是，ABP面积的最大值为4 8 .(12分)老师叮咛：当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线间的距离，就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点，这种求最值的方法称为切线法切线法的基本思想是数形结合，其中求曲线的切线方程需要利用导数知识，判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性，通过图形来确定何时取得最大值，何时取得最小值【试一试】已知A(3,2)、B(4,0)，P是椭圆1上一点，求|PA|PB|的最大值满分解答易知A(3,2)在椭圆内，B(4,0)是椭圆的左焦点(如图)，则右焦点为F(4,0)连接PB，PF.由椭圆的定义知：|PB|PF|10，所以|PB|10|PF|，所以|PA|PB|PA|10|PF|10(|PA|PF|)由平面几何知识，|PA|PF|AF|，即(|PA|PB|)max10|AF|.而|AF|，所以(|PA|PB|)max10.故选C.答案C老师叮咛：由PAF成立的条件|PA|PF|AF|，再延伸到特殊情形P，A，F共线，从而得出|PA|PF|AF|这一关键结论根据图形中特殊的点、线与椭圆的位置关系等，形中觅数、数中觅形，数与形的完美解决常能找到解题捷径本题利用椭圆的定义巧妙地求解最值问题课后作业：1.已知点P是抛物线y24x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x2y100的距离为d2，则d1d2的最小值是 解析由抛物线的定义知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，如图，过焦点F作直线x2y100的垂线，此时d1d2最小，因为F(1,0)，所以d1d2，2.若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_解、由椭圆y21，知c2413，c，C，D是该椭圆的两焦点令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案13.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()答案可知过抛物线点的切线与直线4x3y80平行时，所求的距离最小，y2x.令2x，解得x，从而切点坐标为，切线方程为y，即4x3y0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d.4.已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为 。解：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.5.已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若ASnB对nN*恒成立，则BA的最小值为_解、易得Sn1n，而ySn在上单调递增，所以yA，B，因此BA的最小值为.6.在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上 .设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解：mn，(x，y)(m2n,2mn)，两式相减得，mnyx.令yxt，由图7知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.7在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2cos2A.(1)求角A的大小； (2)若BC边上高为1，求ABC面积的最小值解(1)因为ABC，所以sinsincos，所以由已知得4cos2cos2A，变形得2(1cosA)(2cos2A1)，整理得(2cosA1)20，解得cosA.因为