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数学建模案例分析2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。一、灰色预测模型GM（1,1） 建模步骤如下：（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程： （1）式中，是需要通过建模来求得的参数；是原始数据的累加生成（AGO）值。（2）将同一数据列的前项元素累加后生成新数据列的第项元素，这就是数据处理。表示为： （2）不直接采用原始数据建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。（3）对GM（1,1），其数据矩阵为 （3）向量（4）作最小二乘估计，求参数 （4）（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 （5）这就是要建立的灰色预测模型。二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 下面是对Cr-mo-0.25V低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm2）情况下的蠕变断裂时间见下表。数 列序 数 12345载荷应力（kg/mm2）3736353433断裂时间（小时）2.382.804.256.8511.30一次累加数列2.385.189.4316.2827.581、建立GM（1,1）模型 表中一次累加数列是根据断裂时间数列，由公式（2）得到的。例如，。按（3）构造矩阵，代入（4），可得，按（5）可得到模型（1）的解为，取为应力序数时，由 （6）即可得到生成累加数列。2、检验 当时，由（6）式得出，而由表中得出，计算出平均相对误差为0.04，这一精度是相当理想的。3、预测 由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生成数列中的各个数据。特别是估计序数5以后的数据，就更有实际意义了。 轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻1公斤，试验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要了。下面，我们根据（6）式来预测载荷32 kg/mm2的断裂时间。它对应的序数为6，也就是要求出和。由（6）式
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