同济大学的高等数学讲义 (6).pdf

第三单元微分第三单元微分 本单元内容要点本单元内容要点 微分的概念 可微的条件 微分的计算 应用 微分的概念 可微的条件 微分的计算 应用 本单元教学要求本单元教学要求 理解微分的概念 微分的几何意义 从几何上理解微理解微分的概念 微分的几何意义 从几何上理解微 分是函数增量的主要部分 掌握利用微分去近似计算 分是函数增量的主要部分 掌握利用微分去近似计算 一 微分的定义一 微分的定义 1 引例引例 x Dx 2 Ax 2 x Dxx 首先我们来看一个具体的例子 一块正方形的金属薄 片受温度变化的影响 其边长从 变化到 问此薄片的 面积改变了多少 首先我们来看一个具体的例子 一块正方形的金属薄 片受温度变化的影响 其边长从 变化到 问此薄片的 面积改变了多少 xxx 分析 当边长为时 相应的面 积为 分析 当边长为时 相应的面 积为 x 2 S xx 而当边长增加到时 薄片面积的改变量为而当边长增加到时 薄片面积的改变量为xx 22 2 2 Sxxxx xx 从中可以看出由两部分构成 第一部分是 的线性函数 第二部分当是的高阶无 穷小 由此可见 如果边长的改变很微小 则面积的 改变量可以近似地用第一部分来代替 由于第一部分 是的线性函数 而且当 从中可以看出由两部分构成 第一部分是 的线性函数 第二部分当是的高阶无 穷小 由此可见 如果边长的改变很微小 则面积的 改变量可以近似地用第一部分来代替 由于第一部分 是的线性函数 而且当 越小时 近似程度也越 好 这给近似计算带来了很大的方便 越小时 近似程度也越 好 这给近似计算带来了很大的方便 S 2x x x 2 x 0 x x x x 还有其它几多具体问题中的出现的函数都 具有这样的特征 与自变量的增量相对应的函数的 增量可以表达为的线性函 数与的高阶无穷小的两部分和 由此 我 们引入以下概念 还有其它几多具体问题中的出现的函数都 具有这样的特征 与自变量的增量相对应的函数的 增量可以表达为的线性函 数与的高阶无穷小的两部分和 由此 我 们引入以下概念 yf x x yf xxf x x A x x ox 2 微分的定义微分的定义 定义设函数在的某个领域内有定义 当 自变量在处取得增量 定义设函数在的某个领域内有定义 当 自变量在处取得增量 点仍在该领域点仍在该领域 时 如果相应的函数增量可以表 示为 时 如果相应的函数增量可以表 示为 yf x 0 x 0 xx 0 xx 00 yf xxf x yA xox 其中其中A是与有关的而与无关的常数 是的 高阶无穷小 是与有关的而与无关的常数 是的 高阶无穷小 当当 那么称函数在点 是可微的 称为函数在点相应于自变量 那么称函数在点 是可微的 称为函数在点相应于自变量 0 x x ox x 0 x yf x 0 x A x yf x 0 x 的增量微分 记为 即的增量微分 记为 即dyx dyA x 3 可微的条件可微的条件 定理函数在点处可微的充要条件是函数 在点处可导且有 定理函数在点处可微的充要条件是函数 在点处可导且有 0 x yf x 0 x yf x 0 dyfxx 证必要性 设函数在点处可微分 则 由定义 对给定的自变量的增量相应函数的增量为 证必要性 设函数在点处可微分 则 由定义 对给定的自变量的增量相应函数的增量为 yf x 0 x x 00 yf xxf xA xox 即 即 oxy A xx 注意到 注意到 0 00 limlim xx oxy fxAA xx 即有 即有 0 dyfxx 充分性 设函数在处可导 即有充分性 设函数在处可导 即有 yf x 0 x 0 0 lim x y fx x 由极限与无穷小的关系 得由极限与无穷小的关系 得 0 y fx x 其中为无穷小 从而其中为无穷小 从而 00 yfxxxfxxox 即 函数在处可微分 且有即 函数在处可微分 且有 yf x 0 x 0 dyfxx 如果函数在区间内每一点可微 则称 为区间内的可微函数 函数在内的任意一点微 分就称为函数的微分 也记为 由前公式得 如果函数在区间内每一点可微 则称 为区间内的可微函数 函数在内的任意一点微 分就称为函数的微分 也记为 由前公式得 yf x I f x f xI dy dyfxx 通常把自变量的的增量称为自变量的微分 记为 于是函数的微分可记为 通常把自变量的的增量称为自变量的微分 记为 于是函数的微分可记为 xdx dyfx dx 上式两端除以自变量的微分 得 上式两端除以自变量的微分 得 dy fx dx 因此 导数又称为微商 因此 导数又称为微商 二 微分公式与运算法则二 微分公式与运算法则 由前面的可微的充分必要条件 可得下面的基本公由前面的可微的充分必要条件 可得下面的基本公 式 式 1 基本公式基本公式 1 d dxxx d e e d xx x d lnd xx aaax 1 d ln dxx x 1 d log d ln a xx xa d sin cos dxxx d cos sin dxxx 2 d cot cscdxxx 2 d tan secdxxx d csc csc cotdxxxx d sec sec tan dxxxx 2 1 d arcsin d 1 xx x 2 1 d arccos d 1 xx x 2 1 d arctan d 1 xx x 2 1 d arccot d 1 xx x 2 运算法则运算法则 表中 表中 Ruu x vv x 函数的和 积 商的求导法则函数和 积 商的微分法则函数的和 积 商的求导法则函数和 积 商的微分法则 uvuv duvdudv uvu vuv d uvvduudv 2 uu vuv vv 2 uvduudv d vv 3 复合函数的微分法则复合函数的微分法则 设 则复合函数的 导数为 设 则复合函数的 导数为 yf u ux yfx x yfxx 所以复合函数的微分为所以复合函数的微分为 dyfxx dx 由于故上式又可写 成 由于故上式又可写 成 fxfux dxdu dyf u du 比较两式 可以看到无论比较两式 可以看到无论u是中间变量或是直接变量 是中间变量或是直接变量 表达式表达式 dyfu du 总是正确的 这一性质称为微分形式不变性 总是正确的 这一性质称为微分形式不变性 例例1 求函数在处的微分 求函数在处的微分 ln 1yx 1x 解因函数为初等函数 故为可微函数 由计算公式 得 解因函数为初等函数 故为可微函数 由计算公式 得 1 1 1 ln 1 2 x x dyxxx 例例2 求函数在时的微分 求函数在时的微分 sin 0 1yxxx 解解 cos0 1 xx dyxx 例例3 求函数的微分 求函数的微分 2 x ye 解由微分公式解由微分公式 2 2 x dyy dxxe dx 三 微分的几何意义三 微分的几何意义 由微分的定义 当函数在处可微时 有由微分的定义 当函数在处可微时 有 f x 0 x 0 yfxxox 当时 当时 0 0fx 0 yfxxoxdy 并且误差仅是的高阶无穷小 注意到当 时 并且误差仅是的高阶无穷小 注意到当 时 x 0 x 000 0 1 fxxfxfxdy y yyfx x 故故 ydy 此即说明是的主要部分 故称微分是的线 性主部 此即说明是的主要部分 故称微分是的线 性主部 dyy dyy yf x 0 x M N T dy y ox x 0 xx P x y o 0 f x 0 f xx Q 从图中可以看到 对取定的值 当自变量有微 小的增量时 得到曲线上的相应点 从图中可以看到 对取定的值 当自变量有微 小的增量时 得到曲线上的相应点N MT是曲线 在 是曲线 在M处的切线 由此得 处的切线 由此得 f x 0 xx x yf x 0 x M N T dy y ox x 0 xx P x y o 0 f x 0 f xx Q 0 MQx QNy QPfxxdy 当很小时 当很小时 x ydyox 因此 曲线因此 曲线 yf x 在点在点M附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代 替 附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代 替 四 近似计算四 近似计算 由微分公式 得到如下的近似计算公式 由微分公式 得到如下的近似计算公式 00 yfxxoxfxx 或或 000 fxxf xfxx 注意到 若记则有注意到 若记则有 0 xxx 5 5 000 f xf xfxxx 因此因此 5 式的右端就是曲线在点式的右端就是曲线在点 yf x 00 xf x 处的切线表达式处的切线表达式 000 yf xfxxx 因此因此 5 或或 5 通常称为函数的一次近似或线性 近似 其近似误差是的 高阶无穷小 越小 则近似程度就越高 通常称为函数的一次近似或线性 近似 其近似误差是的 高阶无穷小 越小 则近似程度就越高 yf x 0 f xfxxox x x 例例4 在的邻近 求的一次近似 式 在的邻近 求的一次近似 式 0 x ln 1f xx 解在解在 5 中 取 即有中 取 即有 0 0 x 00 f xffx 因由此得因由此得 0 0 01 f f ln 10 xxx 当很小时 还可得到其它函数的一次近似式 我们 把常用的几个函数的一次近似式列于下表 当很小时 还可得到其它函数的一次近似式 我们 把常用的几个函数的一次近似式列于下表 x sin tan 11 ln 1 x ex xx xx xx xx 例例5 近似计算 近似计算 1 01 解由上面的一次近似式 此时因而有解由上面的一次近似式 此时因而有 1 2 1 2 1 1 0110 0110