同济大学的高等数学讲义 (16).pdf

第一单元 定积分的几何应用 第一单元 定积分的几何应用 本单元要点本单元要点 本单元通过定积分的元素法本单元通过定积分的元素法 建立定积分在几何应用 上的相应的积分公式 建立定积分在几何应用 上的相应的积分公式 重要内容有重要内容有 1 平面图形的面积平面图形的面积 2 体积体积 3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 二 本单元的教学要求二 本单元的教学要求 1 理解定积分中元素法的基本想法与方法理解定积分中元素法的基本想法与方法 并能用此 方法解决一些实际问题 并能用此 方法解决一些实际问题 2 掌握定积分在几何应用中的基本公式掌握定积分在几何应用中的基本公式 三 本单元教学的重点与难点三 本单元教学的重点与难点 重点重点 掌握几个基本积分公式的建立方法以及能用这 些公式解决一些实际问题 掌握几个基本积分公式的建立方法以及能用这 些公式解决一些实际问题 难点难点 定积分元素法的使用 教学时数 定积分元素法的使用 教学时数 2课时课时 元素法元素法 在定积分的引入问题中 我们看到 为求曲边梯形的 面积 我们将区间分成个小区间 由面积的可 加性 面积为 个小曲边梯形面积之和 即 在定积分的引入问题中 我们看到 为求曲边梯形的 面积 我们将区间分成个小区间 由面积的可 加性 面积为 个小曲边梯形面积之和 即 a bn n 12 n AAAA x y oab i A 而当时很小时 而当时很小时 x iii Afx 即有即有 dAf x dx 由面积的可加性 再由无穷和即为积分 即得由面积的可加性 再由无穷和即为积分 即得 bb aa AdAf x dx 元素法的一般想法 设所考虑问题为变量确定 了区间上的函数 并且关于该区间满足可加性 将区间分成个小区间 在区间上 相应的的部分量的近似量有表达式 元素法的一般想法 设所考虑问题为变量确定 了区间上的函数 并且关于该区间满足可加性 将区间分成个小区间 在区间上 相应的的部分量的近似量有表达式 U U a b a b n x xdx UU dUf x dx 则有 则有 b a Uf x dx 把一个具有可加性的量分割成很小量和 而每一个很 小的量都可以由一个近似表达式 对这些微小量作一个 无穷累计 把一个具有可加性的量分割成很小量和 而每一个很 小的量都可以由一个近似表达式 对这些微小量作一个 无穷累计 定积分的和 得到我们所需要的量 这个 想法就称为元素法 下面就一些具体的几何问题和物理问题 我们用定积 分的元素法去解决这些问题 定积分的和 得到我们所需要的量 这个 想法就称为元素法 下面就一些具体的几何问题和物理问题 我们用定积 分的元素法去解决这些问题 一 平面图形的面积一 平面图形的面积 直角坐标情形 设曲边形由两条曲线 其中 且 及直线 围成 求其面积 直角坐标情形 设曲边形由两条曲线 其中 且 及直线 围成 求其面积 12 yfxyfx 1221 ffC a bfxfxxa b xa xb x y ox x dx dA 2 fx 1 fx 分析 取为积分变量 变化区间 为在小区间上 窄曲边形的面积近似为 分析 取为积分变量 变化区间 为在小区间上 窄曲边形的面积近似为 x x xdx a b 21 dAfxfxdx 所以得到平面图形为 注意到该问题的几何意义也是相当明显的 所以得到平面图形为 注意到该问题的几何意义也是相当明显的 21 b a Afxfxdx 例例1 求由围成的面积 求由围成的面积 2 1xyx xy 解由面积的计算公式得区域的面积为解由面积的计算公式得区域的面积为 x y o12 2 2 2 1 1 113 lnln2 22 Axdxxx x 例例2 求由曲线围成的面积 求由曲线围成的面积 2 2 4yx yx 解 两曲线的交点 解 两曲线的交点 2 2 2 2 4210160 4 yx xxxx yx 以 为积分变量 则以 为积分变量 则y 从而得到交点为从而得到交点为 2 2 8 4 2 4 2 y dAydy 2 2 x y o8 4 2 2xy 4yx 所以区域的面积为所以区域的面积为 4 23 4 2 2 2 1 4418 226 yy Aydyyy 解 以 为积分变量 再利用对称性 则有当 时 在轴上下的两块面积相等 故 解 以 为积分变量 再利用对称性 则有当 时 在轴上下的两块面积相等 故 x2x x 2 0 2 dAxdxx 而当时 而当时 28x 4 dAxxdx 2 2 x y o8 4 2 2xy 4yx 故相应的面积为故相应的面积为 28 02 2 224Axdxxxdx 8 2 33 2 22 0 2 421 224 332 xxxx 16648 3232218 333 在上题的两种解法中可以发现 由于积分变量选择的 不同 会使积分过程产生很大的不同 在上题的两种解法中可以发现 由于积分变量选择的 不同 会使积分过程产生很大的不同 例例3 求由抛物线及其在点处的切线和 轴所围成区域的面积 求由抛物线及其在点处的切线和 轴所围成区域的面积 2 1yx 1 0 解抛物线在点处的切线方程为解抛物线在点处的切线方程为 1 0 21 yx x y o 2 1yx 11 2 1 21yx 故面积为故面积为 1 2 0 221Axx dx 1 23 0 11 33 xxx y 例例4 设为等边双曲线上任意一 点 双曲线与轴的交点为求由直线段 和双曲线弧段所围成区域的面积 设为等边双曲线上任意一 点 双曲线与轴的交点为求由直线段 和双曲线弧段所围成区域的面积 M x y 22 1xy x N OM ON MN 解设点的坐标为平面上动点的坐 标为直线的方程为 解设点的坐标为平面上动点的坐 标为直线的方程为 0 M x yx M X YOM x YX y 11 x y o M N 22 1xy 取 为积分变量 积分区间为 则在上任取一小区间 相应 取 为积分变量 积分区间为 则在上任取一小区间 相应 y 0 y 0 y 的面积元为的面积元为 2 1 x dAYY dY y 若位于双曲线上半部分 即就有若位于双曲线上半部分 即就有M0 y 2 0 1 y x AYY dY y 222 0 1 1ln1 222 y Yx YYYY y 22 1 1ln1 222 yxy yyy 2 1 ln1 2 yy 若位于双曲线下半部分 即就有若位于双曲线下半部分 即就有M0 y 0 2 1 y x AyY dY y 2 1 ln1 2 yy 例例4 求摆线第一拱与求摆线第一拱与 sin 02 1cos xa tt t yat 轴围成的面积 轴围成的面积 x x y o2 a a 2a 解由面积的计算公式 得所求面积为解由面积的计算公式 得所求面积为 22 2 2 00 1cos a Aydxatdt 2 22 0 12coscosatt dt 2 2 0 2 1cos2 12cos 2 3 t atdt a 极坐标情形 设平面区域由曲线与射 线确定 称为曲边扇形 今推导相应的 面积公式 极坐标情形 设平面区域由曲线与射 线确定 称为曲边扇形 今推导相应的 面积公式 D C 取极角为积分 变量 在上任取一个小区 间 对应的窄曲边 扇形的面积的近似等于半径为 取极角为积分 变量 在上任取一个小区 间 对应的窄曲边 扇形的面积的近似等于半径为 d d d 21 2 dAd 中心角为的扇形面积 从而得到曲边扇形的 面积元素为 中心角为的扇形面积 从而得到曲边扇形的 面积元素为 d 以被积表达式 在闭区间上做定 积分 从而得到曲边扇形的面积为 以被积表达式 在闭区间上做定 积分 从而得到曲边扇形的面积为 21 2 d 21 2 Ad 例例5 计算由曲线所围成的 公共部分的面积 计算由曲线所围成的 公共部分的面积 2 2sin cos2 解所围成的图形关于 轴对称 两曲线的交点的极角解所围成的图形关于 轴对称 两曲线的交点的极角 y 2 2sin cos2 得故面积为得故面积为 6 o 2 64 1 0 6 11 222sincos2 22 AAdd 64 0 6 1cos2cos2dd 6 4 0 6 11 sin2sin2 22 1 36 3 6 二 体积二 体积 1 旋转体的体积旋转体的体积 x y o yf x f x xxdx b a 平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成 的立体称为旋转体 见下图 求曲边梯形 其中 绕轴旋转一周所成的旋转体 体积 平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成 的立体称为旋转体 见下图 求曲边梯形 其中 绕轴旋转一周所成的旋转体 体积 0 yf x axb fC a b x x y o yf x f x xxdx b a 取为积分变量 在上任取一小区间 相应的小旋转体体积近似等于以为底半径 为 高的扁圆柱体的体积 从而得到体积元素 取为积分变量 在上任取一小区间 相应的小旋转体体积近似等于以为底半径 为 高的扁圆柱体的体积 从而得到体积元素 x a b x xdx f xdx 2 dVfx dx 在闭区间上做积分 即得 到所求的体积 在闭区间上做积分 即得 到所求的体积 a b 2 b a Vfx dx 例例6 求椭圆所围成的图形绕轴旋转一求椭圆所围成的图形绕轴旋转一 22 22 1 xy ab x 周所得的体积 解由公式 得 周所得的体积 解由公式 得 2 22 a a b Vaxdx a 2 222 2 4 3 a a b ax dxab a 特殊地 当时 有球体体积为特殊地 当时 有球体体积为ab 3 4 3 Va 例例7 求由圆面绕轴旋 转所得的物体的体积 求由圆面绕轴旋 转所得的物体的体积 2 22 0 xybaab 的一拱的长度 解由公式 得 的一拱的长度 解由公式 得 2 22 0 stt dt 22 2 1cos2 sin 2 t ttat dadt 此时此时 所以所求的弧长为所以所求的弧长为 2 2 0 0 2 sin22cos8 22 tt sadtaa 2 极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程