函数讲义下.pdf

第 1 页 共 24 页 第十节第十节导数与微积分导数与微积分 一一一一一一 主干知识整合主干知识整合主干知识整合主干知识整合主干知识整合主干知识整合 导数与微积分重要概念及公式总结 导数与微积分重要概念及公式总结 1 平均变化率 平均变化率 x y 12 12 xx xfxf 称为函数 f x 从 x1到 x2的平均变化率 2 导数的概念导数的概念 从函数 y f x 在 x x0处的瞬时变化率是 00 00 limlim xx f xxf xy xx 我们称它为函数 yf x 在 0 xx 出的导数导数 记作 0 fx或 0 x xy 即 00 0 0 lim x f xxf x fx x 3 导数的几何意义导数的几何意义 函数 y f x 在 x x0处的导数等于在该点 00 xf x处的切线的斜率 其中 00 xf x为切点 即即 00 0 0 lim x f xxf x fxk x 切线方程为 切线方程为 000 xxxfxfy 4 常用函数的导数 常用函数的导数 第 2 页 共 24 页 1 yc 则 0y 2 yx 则 1y 3 2 yx 则 2yx 4 1 y x 则 2 1 y x 5 n yf xxnQ 则 1n ynx 6 sinyx 则 cosyx 7 cosyx 则 sinyx 8 x yf xa 则 ln 0 x yaa a 9 x yf xe 则 x ye 10 logaf xx 则 1 0 1 ln fxaa xa 11 lnf xx 则 1 fx x 5 导数的运算法则 导数的运算法则 1 f xg xfxg x 2 f xg xfx g xf x g x 3 2 0 f xfx g xf x g x g x g x g x 4 xf cxcf 6 复合函数的导数复合函数的导数 一般地 对于两个函数 yf u 和 ug x 的导数间的关系 为 xux yyu 即 y 对x的导数等于 y 对u 的导数与u 对x的导数的乘积 若若 yf g x 则 则 yf g xfg xg x 7 函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 在某个区间 a b 内 如果 0fx 那么函数 yf x 在这个区间内单调递增 如果 0fx 那么函数 yf x 在这个区间内单调递减 第 3 页 共 24 页 8 求解函数求解函数 yf x 单调区间的步骤 单调区间的步骤 1 确定函数 yf x 的定义域 2 求导数 yfx 3 解不等式 0fx 解集在定义域内的部分为增区间 4 解不等式 0fx 解集在定义域内的部分为减区间 9 9 求函数求函数 yf x 的极值的方法 的极值的方法 解方程 0 x f 当 0 0 x f 1 如果在 0 x附近的左侧 0fx 右侧 0fx 那么 0 xf是极大值 2 如果在 0 x附近的左侧 0fx 右侧 0fx 那么 0 xf是极小值 10 利用导数求函数的最值步骤利用导数求函数的最值步骤 求 xf在 a b内的极值 将 xf的各极值与端点处的函数值 af bf比较 其中最大的一个是 最大值 最小的一个是最小值 11 定积分的一般研究方法定积分的一般研究方法 lim 1 i n i n b a f n ab dxxf 采用 分割 近似代替 求和 取极值 求曲边梯形的面积 12 定积分的几何意义定积分的几何意义 梯形的面积梯形的面积 所围成的曲边所围成的曲边和曲线和曲线 是直线是直线定积分定积分 0 xfyybabxaxdxxf b a 13 定积分的性质 定积分的性质 1 b a b a dxxfkdxxkf 2 b a b a b a dxxfdxxfdxxfxf 2121 3 bcadxxfdxxfdxxf b c c a b a 其中其中 x y O a b A B C D 1 xfy 2 xfy 12 bb aa Sf x dxfx dx 第 4 页 共 24 页 14 函数的奇偶性与定积分的关系 函数的奇偶性与定积分的关系 xf是区间是区间 0 aaa上的连续函数 上的连续函数 1 当 xf是偶函数时 dxxfdxxf aa a 0 2 2 当 xf是奇函数时 0 dxxf a a 15 定积分与曲边梯形面积的关系 定积分与曲边梯形面积的关系 1 曲边梯形位于 x 轴上方时 定积分取正值 且等于曲边梯形的面积 2 曲边梯形位于 x 轴下方时 定积分取负值 且等于曲边梯形的面积的相反 数 16 微积分基本原理微积分基本原理 aFbFxFdxxf xfxFbaxf b a b a 那么 那么 并且并且上的连续函数上的连续函数是区间是区间如果如果 一般地 一般地 特别的 b a n b a n n x dxx 1 1 二二 常用的数学思想常用的数学思想 1 1 函数与方程思想 函数与方程思想 2 2 导数思想 导数思想 3 3 数形结合思想 数形结合思想 三三 方法方法方法方法方法方法 技巧提炼技巧提炼技巧提炼技巧提炼技巧提炼技巧提炼 1 1 1 1 1 1 定义法定义法定义法定义法定义法定义法 根据导数的定义 将所求问题转化为可用导数定义来解决 根据导数的定义 将所求问题转化为可用导数定义来解决 根据导数的定义 将所求问题转化为可用导数定义来解决 根据导数的定义 将所求问题转化为可用导数定义来解决 根据导数的定义 将所求问题转化为可用导数定义来解决 根据导数的定义 将所求问题转化为可用导数定义来解决 2 2 2 2 2 2 导数几何意义法 导数几何意义法 导数几何意义法 导数几何意义法 导数几何意义法 导数几何意义法 3 3 3 3 3 3 导数法求函数的单调区间 讨论函数的单调性导数法求函数的单调区间 讨论函数的单调性导数法求函数的单调区间 讨论函数的单调性导数法求函数的单调区间 讨论函数的单调性导数法求函数的单调区间 讨论函数的单调性导数法求函数的单调区间 讨论函数的单调性 4 4 4 4 4 4 导数法证明不等式 导数法证明不等式 导数法证明不等式 导数法证明不等式 导数法证明不等式 导数法证明不等式 5 5 5 5 5 5 导数法求函数的极值 最值 导数法求函数的极值 最值 导数法求函数的极值 最值 导数法求函数的极值 最值 导数法求函数的极值 最值 导数法求函数的极值 最值 6 6 6 6 6 6 导数法解决实际问题导数法解决实际问题导数法解决实际问题导数法解决实际问题导数法解决实际问题导数法解决实际问题 高频考点突破 高频考点突破 第 5 页 共 24 页 考点一考点一 利用导数研究函数的单调性 例 1 2012 临沂模拟 已知函数 f x 2ax a 2 1 x2 1 其中 a R 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在原点处的切线方程 2 求 f x 的单调区间 审题导引 1 直接根据导数的几何意义解决 2 根据函数的结构特点 函数 f x 的导数应是一个分式 但分式的分母符号确定 其分子是一个多项式 所以讨论 函数的单调性等价于讨论这个分子多项式的符号 规范解答 1 当 a 1 时 f x 2x x2 1 f x 2 x 1 x 1 x2 1 2 由 f 0 2 得曲线 y f x 在原点处的切线方程是 2x y 0 2 f x 2 x a ax 1 x2 1 当 a 0 时 f x 2x x2 1 所以 f x 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 当 a 0 f x 2a x a x 1 a x2 1 当 a 0 时 令 f x 0 得 x1 a x2 1 a f x 与 f x 的情况如下 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x f x1 f x2 故 f x 的单调减区间是 a 1 a 单调增区间是 a 1 a 当 a 0 时 f x 与 f x 的情况如下 x x2 x2 x2 x1 x1 x1 第 6 页 共 24 页 f x 0 0 f x f x2 f x1 所以 f x 的单调增区间是 1 a a 单调减区间是 1 a a 综上 a 0 时 f x 在 a 1 a 单调递减 在 a 1 a 单调递 增 a 0 时 f x 在 0 单调递增 在 0 单调递减 a 0 时 f x 在 1 a a 单调递增 在 1 a a单调递减 规律总结 函数的导数在其单调性研究的作用 1 当函数在一个指定的区间内单调时 需要这个函数的导数在这个区间内不改 变符号 即恒大于或者等于零 恒小于或者等于零 当函数在一个区间内不单调 时 这个函数的导数在这个区间内一定变号 如果导数的图象是连续的曲线 这 个导数在这个区间内一定存在变号的零点 可以把问题转化为对函数零点的研 究 2 根据函数的导数研究函数的单调性 在函数解析式中若含有字母参数时要进 行分类讨论 这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行 其次要根据函数的导 数等于零的点在其定义域内的情况进行 如果这样的点不止一个 则要根据字母 参数在不同范围内取值时 导数等于零的根的大小关系进行分类讨论 最后在分 类解决问题后要整合一个一般的结论 易错提示 在利用 若函数 f x 单调递增 则 f x 0 求参数的范围时 注意 不要漏掉 等号 变式训练 1 2012 临川五月模拟 已知函数 f x 1 x ax ln x 1 若函数 f x 在 1 上为增函数 求正实数 a 的取值范围 2 讨论函数 f x 的单调性 解析 1 f x 1 x ax ln x f x ax 1 ax2 a 0 函数 f x 在 1 上为增函数 f x ax 1 ax2 0 对 x 1 恒成立 第 7 页 共 24 页 ax 1 0 对 x 1 恒成立 即 a 1 x对 x 1 恒成立 a 1 2 a 0 f x a x 1 a ax2 x 1 a x2 x 0 当 a 0 时 f x 0 对 x 0 恒成立 f x 的增区间为 0 当 a 0 时 f x 0 x 1 a f x 0 x 1 a f x 的增区间为 1 a 减区间为 0 1 a 考点二 考点二 利用导数研究函数的极值与最值 例 2 2012 朝阳二模 已知函数 f x aln x 2a 2 x x a 0 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 x 2y 0 垂直 求实数 a 的 值 2 讨论函数 f x 的单调性 3 当 a 0 时 记函数 f x 的最小值为 g a 求证 g a 1 2e 2 审题导引 1 利用导数的几何意义可求 2 讨论函数 f x 的导函数的符号可知 f x 的单调性 3 利用 2 中函数 f x 的单调性求出 f x 的最小值 g a 并求 g a 的最大值可证不 等式 规范解答 1 f x 的定义域为 xx 0 f x a x 2a2 x2 1 x 0 根据题意 有 f 1 2 所以 2a2 a 3 0 解得 a 1 或 a 3 2 2 f x a x 2a2 x2 1 x 2 ax 2a2 x2 x a x 2a x2 x 0 当 a 0 时 因为 x 0 由 f x 0 得 x a x 2a 0 解得 x a 由 f x 0 得 x a x 2a 0 解得 0 x a 第 8 页 共 24 页 所以函数 f x 在 a 上单调递增 在 0 a 上单调递减 当 a 0 时 因为 x 0 由 f x 0 得 x a x 2a 0 解得 x 2a 由 f x 0 得 x a x 2a 0 解得 0 x 2a 所以函数 f x 在 0 2a 上单调递减 在 2a 上单调递增 3 证明由 2 知 当 a 0 时 函数 f x 的最小值为 g a 且 g a f 2a aln 2a 2a2 2a 2a aln 2a 3a g a ln 2a a 2 2a 3 ln 2a 2 令 g a 0 得 a 1 2e 2 当 a 变化时 g a g a 的变化情况如下表 a 1 2e 2 1 2e 2 1 2e 2 0 g a 0 g a 极大值 1 2e 2是 g a 在 0 上的唯一极值点 且是极大值点 从而也是 g a 的 最大值点 所以 g a 最大值 g 1 2e 2 1 2e 2ln 2 1 2e 2 3 1 2e 2 1 2e 2ln e2 3 2e 2 1 2e 2 所以 当 a 0 时 g a 1 2e 2成立 规律总结 1 利用导数研究函数的极值的一般步骤 1 确定定义域 2 求导数 f x 3 若求极值 则先求方程 f x 0 的根 再检验 f x 在方程根左 右值的符号 求出极值 当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内 若已知极值大小或存在的情况 则转化为已知方程 f x 0 根的大小或存在情 况 从而求解 2 求函数 y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 第 9 页 共 24 页 1 求函数 y f x 在 a b 内的极值 2 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个是 最大值 最小的一个是最小值 变式训练 2 2012 济南模拟 某旅游景点预计 2013 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p x 单位 万人 与 x 的关系近似地满足 p x 1 2x x 1 39 2x x N 且 x 12 已知第 x 月的人均消费额 q x 单位 元 与 x 的近似关系是 q x 35 2x x N 且 1 x 6 160 x x N 且 7 x 12 1 写出 2013 年第 x 月的旅游人数 f x 单位 人 与 x 的函数关系式 2 试问 2013 年哪个月旅游消费总额最大 最大月旅游消费总额为多少 元 解析 1 当 x 1 时 f 1 p 1 37 当 2 x 12 且 x N 时 f x p x p x 1 1 2x x 1 39 2x 1 2 x 1 x 41 2x 3x 2 40 x 验证 x 1 符合 f x 3x2 40 x x N 且 1 x 12 2 第 x 月旅游消费总额为 g x 3x2 40 x 35 2x x N 且 1 x 6 3x2 40 x 160 x x N 且 7 x 12 即 g x 6x3 185x2 1 400 x x N 且 1 x 6 480 x 6 400 x N 且 7 x 12 当 1 x 6 且 x N 时 g x 18x2 370 x 1 400 令 g x 0 解得 x 5 x 140 9 舍去 当 1 x 5 时 g x 0 当 5 x 6 时 g x 0 当 x 5 时 g x max g 5 3 125 万元 当 7 x 12 且 x N 时 g x 480 x 6 400 是减函数 当 x 7 时 gmax x g 7 3 040 万元 综上 2013 年第 5 月份的旅游消费总额最大 最大消费总额为 3 125 万元 考点三 考点三 利用导数研究不等式 第 10 页 共 24 页 例 3 2012 长治模拟 设函数 f x ax2 xln x 2a 1 x a 1 a R 1 当 a 0 时 求函数 f x 在点 P e f e 处的切线方程 2 对任意的 x 1 函数 f x 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 审题导引 1 利用导数的几何意义 k f x0 求出切线方程 2 讨论 a 的取值求出 f x 在 1 上的最小值 由最小值大于等于 0 恒成立求 a 的范围 规范解答 1 当 a 0 时 f x xln x x 1 由 f x ln x 则 k f e 1 f e 1 函数 f x 在点 P e f e 处的切线方程为 y 1 x e 即 x y 1 e 0 2 f x 2ax 1 ln x 2a 1 2a x 1 ln x 易知 ln x x 1 则 f x 2a x 1 x 1 2a 1 x 1 当 2a 1 0 即 a 1 2时 由 x 1 得 f x 0 恒成立 f x 在 1 上单调递增 f x f 1 0 符合题意 所以 a 1 2 当 a 0 时 由 x 1 得 f x 0 恒成立 f x 在 1 上单调递减 f x f 1 0 显然不成立 a 0 舍去 当 0 a 1 2时 由 ln x x 1 得 ln 1 x 1 x 1 即 ln x 1 1 x 则 f x 2a x 1 1 1 x x 1 x 2ax 1 因为 0 a 1 2 所以 1 2a 1 x 1 1 2a 时 f x 0 恒成立 f x 在 1 上单调递减 f x f 1 0 显然不成立 0 a 1 2舍去 综上可得 a 1 2 规律总结 利用导数解决不等式问题的类型 1 不等式恒成立 基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题 2 比较两个数的大小 一般的解决思路是把两个函数作差后构造一个新函数 通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小 3 证明不等式 对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数 然后利用 第 11 页 共 24 页 函数的单调性和极值解决 变式训练 3 2012 济南模拟 已知函数 f x a 1 a ln x 1 x x a 1 1 试讨论 f x 在区间 0 1 上的单调性 2 当 a 3 时 曲线 y f x 上总存在相异两点 P x1 f x1 Q x2 f x2 使得曲线 y f x 在点 P Q 处的切线互相平行 求证 x1 x2 6 5 解析 1 由已知 x 0 f x a 1 a x 1 x2 1 x2 a 1 a x 1 x2 x a x 1 a x2 由 f x 0 得 x1 1 a x 2 a 因为 a 1 所以 0 1 a 1 且 a 1 a 所以在区间 0 1 a 上 f x 0 在区间 1 a 1上 f x 0 故 f x 在 0 1 a 上单调递减 在 1 a 1上单调递增 2 证明由题意可得 当 a 3 时 f x1 f x2 x1 x2 0 且 x1 x2 即 a 1 a x1 1 x21 1 a 1 a x2 1 x22 1 所以 a 1 a 1 x1 1 x2 x1 x2 x1x2 a 3 因为 x1 x2 0 且 x1 x2 所以 x1x2 x1 x2 2 2恒成立 所以 1 x1x2 4 x1 x2 2 又 x 1 x2 0 所以 a 1 a x1 x2 x1x2 4 x1 x2 整理得 x 1 x2 4 a 1 a 第 12 页 共 24 页 令 g a 4 a 1 a 因为 a 3 所以 g a 在 3 上单调递减 所以 g a 4 a 1 a 在 3 上的最大值为 g 3 6 5 所以 x1 x2 6 5 考点四 考点四 定积分 例 4 2012 丰台二模 由曲线 y 1 x与 y x x 4 以及 x 轴所围成的封闭图形 的面积是 A 31 32 B 23 16 C ln 4 1 2 D ln 4 1 审题导引 作出图形 找到所求面积的区域以及边界坐标 利用定积分求解 规范解答 如图 面积 S 错误错误 xdx 错误错误 1 xdx 1 2x 21 0 ln x41 1 2 ln 4 答案 C 规律总结 定积分的应用及技巧 1 对被积函数 要先化简 再求定积分 2 求被积函数是分段函数的定积分 依据定积分的性质 分段求定积分再求和 3 对含有绝对值符号的被积函数 要去掉绝对值符号才能求定积分 4 应用定积分求曲边梯形的面积 解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分 区间以及结合图形确定被积函数 求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用 积分区 间内上方曲线减去下方曲线对应的方程 或者直接作差之后求积分的绝对值 否 则就会求出负值 易错提示 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时 要注意根据曲线的交 点判断这个面积是怎样的定积分 既不要弄错积分的上下限 也不要弄错被积函 数 变式训练 4 2012 济南模拟 已知函数 f x 3x2 2x 1 若 1 1 f x dx 2f a a 0 成 第 13 页 共 24 页 立 则 a 解析因为 1 1 f x dx 1 1 3x2 2x 1 dx x3 x2 x 1 1 4 所以 2 3a2 2a 1 4 a 1 或 a 1 3 又 a 0 a 1 3 答案 1 3 名师押题高考 押题 1 若函数 f x x ex 则下列命题正确的是 A a 1 e x R f x a B a 1 e x R f x a C x R a 1 e f x a D x R a 1 e f x a 解析f x ex 1 x 令 f x 0 则 x 1 令 f x 0 则 x 1 f x max f x 极大 f 1 1 e 由图知 a 1 e x R f x a 故选 A 答案A 押题依据 利用函数的导数研究函数的最值问题是高考的重点内容 本题以命 题为载体考查了利用导数求函数的最值 极值 体现了转化了的数学思想方法 考查了能力 故押此题 第 14 页 共 24 页 押题 2 设 f x ex 1 ax2 其中 a 为正实数 1 当 a 4 3时 求 f x 的极值点 2 若 f x 为 R 上的单调函数 求 a 的取值范围 解析对 f x 求导得 f x ex1 ax 2 2ax 1 ax2 2 1 当 a 4 3时 若 f x 0 则 4x 2 8x 3 0 解得 x1 3 2 x 2 1 2 f x f x 随 x 的变化情况如下 x 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以 x1 3 2是 f x 的极小值点 x 2 1 2是 f x 的极大值点 2 若 f x 为 R 上的单调函数 则 f x 在 R 上不变号 结合 与条件 a 0 知 ax2 2ax 1 0 在 R 上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合 a 0 知 0 a 1 押题依据 本题考查了利用导数研究函数的最值与极值 利用导数及函数的单 调性求参数的范围 符合高考的要求 能够考查学生对导数在研究函数中的应用 的掌握情况 难度适中且有一定的区分度 故押此题 四四四四四四 案例案例案例案例案例案例探究探究探究探究探究探究 内化整合内化整合内化整合内化整合内化整合内化整合 例 1 2006 年德州市统考 已知函数 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有 极小值 则实数 a 的取值范围是 思路分析 考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题 解决 问题的能力 解 f x 3x2 6ax 3a 6 令 f x 0 则 x2 2ax a 2 0 又 f x 既有极大值又有极小值 f x 0 必有两解 即 4a2 4a 8 0 解得 a 1 或 a 2 锦囊妙计 本题通过求函数的导数 将函数问题转化为一元二次方程来探究 充分体现 第 15 页 共 24 页 了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略 举一反三 已知 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 试讨论函数 y f x 的单调性 提示 按分 O O O 三种情况分别就 a 的不同取值进行讨论 例 2 设函数 f x ax3 2bx2 cx 4d a b c d R 的图象关于原点对称 且 x 1 时 f x 取极小值 3 2 1 求 a b c d 的值 2 当 x 1 1 时 图象上是否存在两点 使得过此两点的切线互相垂直 试证明你的结论 3 若 x1 x2 1 1 时 求证 f x1 f x2 3 4 考查目的 本题主要考查导数的几何意义 导数的基本性质和应用 绝对值不等式以及综合推理能 力 解 1 函数 f x 图象关于原点对称 对任意实数 x 都有 f x f x ax3 2bx2 cx 4d ax3 2bx2 cx 4d 即 bx2 2d 0 恒成立 b 0 d 0 即 f x ax3 cx f x 3ax2 c x 1 时 f x 取极小值 3 2 f 1 0 且 f 1 3 2 即 3a c 0 且 a c 3 2 解得 a 3 1 c 1 2 证明 当 x 1 1 时 图象上不存在这样的两点使结论成立 假设图象 上存在两点 A x1 y1 B x2 y2 使得过这两点的切线互相垂直 则由 f x x2 1 知两点处的切线斜率分别为 k1 x12 1 k2 x22 1 且 x12 1 x22 1 1 x1 x2 1 1 x12 1 0 x22 1 0 x12 1 x22 1 0 这与 相矛盾 故假设不成立 3 证明 f x x2 1 由 f x 0 得 x 1 当 x 1 或 1 时 f x 0 当 x 1 1 时 f x 0 f x 在 1 1 上是减函数 且 fmax x f 1 3 2 fmin x f 1 3 2 在 1 1 上 f x 3 2 于是 x1 x2 1 1 时 f x1 f x2 f x1 f x2 3 2 3 2 3 4 故 x1 x2 1 1 时 f x1 f x2 3 4 锦囊妙计 若 x0点是 y f x 的极值点 则f x0 0 反之不一定成立 在讨论存在性问题时常用反证法 利用导数得到 y f x 在 1 1 上递减是解第 3 问的关键 例 3 已知平面向量a 3 1 b 2 1 2 3 第 16 页 共 24 页 1 证明a b 2 若存在不同时为零的实数 k 和 t 使 x a t2 3 b y ka tb x y 试求 函数关系式 k f t 3 据 2 的结论 讨论关于 t 的方程 f t k 0 的解的情况 考查目的 本题考查向量的性质与计算 函数的导数与函数的图象 函数的图象与方程 根的个数间的关系以及综合应用能力 解 1 a b 3 2 1 1 2 3 0 a b 2 x y x y 0即 a t2 3 b ka tb 0 整理后得 k 2 a t k t2 3 a b t2 3 2 b 0 a b 0 2 a 4 2 b 1 上式化为 4k t t2 3 0 即 k 4 1 t t2 3 3 讨论方程 4 1 t t2 3 k 0 的解的情况 可以看作曲线 f t 4 1 t t2 3 与直线 y k 的交点个数 于是 f t 4 1 t2 1 4 3 t t 1 t 1 令 f t 0 解得 t1 1 t2 1 当 t 变化时 f t f t 的变化情况如下表 t 1 1 1 1 1 1 f t 0 0 F t 极大值 极小值 当 t 1 时 f t 有极大值 f t 极大值 2 1 当 t 1 时 f t 有极小值 f t 极小值 2 1 函数 f t 4 1 t t2 3 的图象如图 13 2 1 所示 可观察出 1 当 k 2 1 或 k 2 1 时 方程 f t k 0 有且只有一解 2 当 k 2 1 或 k 2 1 时 方程 f t k 0 有两解 3 当 2 1 k 2 1 时 方程 f t k 0 有三解 锦囊妙计 导数的应用为函数的作图提供了新途径 第 17 页 共 24 页 例 4 已知函数 f x ln 1 x x g x xlnx 1 求函数 f x 的最大值 2 设 0 a b 证明 0 g a g b 2g 2 ba b a ln2 考查目的 本题主要考查导数的基本性质和应用 对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理 论证的能力 解 1 函数 f x 的定义域为 1 f x x 1 1 1 令 f x 0 解得 x 0 当 1 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 又 f 0 0 故当且仅当 x 0 时 f x 取得最大值 最大值为 0 2 证法一 g a g b 2g 2 ba alna blnb a b ln 2 ba aln 22 ln ab b abab 由 1 结论知 ln 1 x x 1 且 x 0 由题设 0 a b 得0 10 22 baab ab 因此 2 lnln 1 22 ababa abaa 2 lnln 1 22 babab abbb 22 lnln0 22 abbaab ab abab 又 2 2 aab abb 222 lnlnlnln 2 ababb ababba ababbab 2 ln ln2 b ba ab 综上 0 2 ln2 2 ab g ag bgba 证法二 ln ln1g xxx g xx 设 2 2 ax F xg ag xg 则 2 lnln 22 axax F xg xgx 当 0 xa 时 0F x 因此 F x 在 a 上为增函数 从而 当 x a 时 F x 有极小值 F a 0 F aba 0F b 即0 2 2 ab g ag bg 第 18 页 共 24 页 设 ln2G xF xxa 则 lnlnln2lnln 2 ax G xxxax 当 x 0 时 0G x 因此 G x 在 0 上为减函数 0 0 G abaG b 即 2 ln2 2 ab g ag bgba 综上 原不等式得证 举一反三 1 证明 当 x 0 时 有 3 sin 6 x xxx 2 07 杭州市模拟 已知数列 an 各项均为正数 Sn为其前 n 项和 对于任 意的 n N 都有 4Sn an 1 2 1 求数列 an 的通项公式 2 若 2n tSn对于任意的 n N 成立 求实数 t 的最大值 思路分析 利用 Sn Sn 1 an n 2 易得 an 2n 1 从而 Sn n2则问 2 转化为 t 2 2n n 恒成立 故只需求出数列 2 2n n b n 的最小项 有以下求法 法一 研究数列 bn 的单调性 法二 数列作为一类特殊的函数 欲求 2 2 n n 的最小项可先研究连续函数 2 2 0 x yx x 的单调性 求导得 4 2 ln22 x x x y x 易得 2 ln2 x 为函数 2 2x y x 的极小值也是最小值点 又 222 lnln2lnee 所以 2 3 ln2 而 3 34 2 2 3 bb 故 3 8 9 tb 注 不能直接对 2 2 n ynN n 求导 为什么 锦囊妙计 导数的引进为不等式的证明 甚至为研究数列的性质提供了新途径 充分 地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在 特别提示 例 2 例 3 例 4 充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质 方 程 不等式 数列等问题的方法 这类问题用传统教材无法解决 此外 例 4 还说明了一点 欲用导数 得先构造函数 例 5 已知双曲线 0 m C ym x 与点 M 1 1 如图所示 1 求证 过点 M 可作两条直线 分别与双曲线 C 两支相切 2 设 1 中的两切点分别为 A B 其 MAB 是正三角形 第 19 页 共 24 页 求 m 的值及切点坐标 考查目的 本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用 使代数与几何实现了 和谐的勾通 1 证明 设 m Q tC t 要证命题成立只需要证明关于 t 的方程 x t MQ yk 有两个符号相反的实根 x t MQ yk 2 2 1 20 1 m m t tmtm tt 且 t 0 t 1 设方程 2 20tmtm 的两根分别为 t1与 t2 则由 t1t2 m 0 知 t1 t2是符号 相反的实数 且 t1 t2均不等于 0 与 1 命题获证 2 设 12 12 mm A tB t tt 由 1 知 t1 t2 2m t1t2 m 从而 2 1212 121 2 1 2 2222 ttmmm ttm mm ttt tm 即线段 AB 的中点在直线 yx 上 又 1221 212 121 1 AB mm m tttt k ttt t tt AB 与直线 yx 垂直 故 A 与 B 关于 yx 对称 设 0 m A tt t 则 m Bt t 有 t2 2mt m 0 由 2 2 60 MAMB mm kkAMB tk 及夹角公式知 2 2 2 2 tan60 1 tm mt tm m t 即 2 2 2 3 mt tm 由 得 2 21 t m t 从而 2 2 14 1 21 0 2121 mttt t tmtt 第 20 页 共 24 页 由 知 2 22 2 3 32 mtm tmt 代入 知 31 2 t 因此 131313131 22222 mAB 锦囊妙计 求切线方程的常见方法有 1 数刑结合 2 将直线方程代入曲线方程利 用判别式 3 利用导数的几何意义 小结 深刻理解导函数作为一类特殊函数 其几何意义所在 熟练掌握利用导数求函 数的极值 单调区间 函数在闭区间上的最值等基本方法 导数的应用为研究函数性质 函 数图象开辟了新的途径 成为勾通函数与数列 圆锥曲线等问题的一座桥梁 此外 导数还 具有方法程序化 易掌握的显著特点 五五 突破难点 提升能力突破难点 提升能力 难点难点 1导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则及基本公式应用 例 1 求函数的导数 1 3 sin 2 cos 1 1 1 232 2 xfyxbaxy xx x y 命题意图 本题 3 个小题分别考查了导数的四则运算法则 复合函数求导的方法 以及 抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征 挖掘量的隐含条件 将问题 转化为基本函数的导数 错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清 复合函数的结构分解为基本函数出差 错 技巧与方法 先分析函数式结构 找准复合函数的式子特征 按照求导法则进行求导 xx xxxxxx xx xxxxxxx xx xxxxxxx xx xxxxxx y 222 22 222 22 222 222 222 22 cos 1 sin 1 1 cos 12 cos 1 sin 1 cos2 1 cos 1 cos 1 cos1 cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 1 cos 1 1 1 解 2 解 y 3 ax bsin2 x av by v x y sin x y 3 3 2 3 2 av by 3 2 av by 3 2 av by 3 ax bsin2 x 2 a b sin2 x 3 解法一 设 y f v v x2 1 则 y x y v v x f 2 1 v 2 1 2x 第 21 页 共 24 页 f 1 2 x 2 1 1 1 2 x 2x 1 1 2 2 xf x x 解法二 y f 1 2 x f 1 2 x 1 2 x f 1 2 x 2 1 x2 1 2 1 x2 1 f 1 2 x 2 1 x2 1 2 1 2x 1 2 x x f 1 2 x 例 2 利用导数求和 1 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 x 0 n N 2 Sn C 1 n 2C 2 n 3C 3 n nC n n n N 命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力 知识依托 通过对数列的通项进行联想 合理运用逆向思维 由求导公式 xn nxn 1 可 联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构 错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误 受此影响而不善于联想 技巧与方法 第 1 题要分 x 1 和 x 1 讨论 等式两边都求导 解 1 当 x 1 时 Sn 1 2 3 n 2 1 n n 1 当 x 1 时 x x2 x3 xn x xx n 1 1 两边都是关于 x 的函数 求导得 x x2 x3 xn x xx n 1 1 即 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 2 1 1 1 1 x nxxn nn 2 1 x n 1 C 1 nx C 2 nx 2 Cn nx n 两边都是关于 x 的可导函数 求导得 n 1 x n 1 C1 n 2C 2 nx 3C 3 nx 2 nCn nx n 1 令 x 1 得 n 2n 1 C1 n 2C 2 n 3C 3 n nC n n 第 22 页 共 24 页 即 Sn C 1 n 2C 2 n nC n n n 2 n 1 锦囊妙计 1 深刻理解导数的概念 了解用定义求简单的导数 x y 表示函数的平均改变量 它是 x 的函数 而 f x0 表示一个数值 即 f x x y x lim 0 知道导数的等价形式 lim lim 0 0 000 0 0 xf xx xfxf x xfxxf xxx 2 求导其本质是求极限 在求极限的过程中 力求使所求极限的结构形式转化为已知极限 的形式 即导数的定义 这是顺利求导的关键 3 对于函数求导 一般要遵循先化简 再求导的基本原则 求导时 不但要重视求导法 则的应用 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在实施化简时 首先必须注意变换 的等价性 避免不必要的运算失误 4 复合函数求导法则 像链条一样 必须一环一环套下去 而不能丢掉其中的一环 必须 正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的 分清其间的复合关系 难点难点 2导数的应用问题导数的应用问题 利用导数求函数的极大 小 值 求函数在连续区间 a b 上的最大 最小值 或利用求 导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸 这种解决问题的方法使复杂问题变得 简单化 因而已逐渐成为新高考的又一热点 例 1 已知 f x ax3 bx2 cx a 0 在 x 1 时取得极值 且 f 1 1 1 试求常数 a b c 的值 2 试判断 x 1 是函数的极小值还是极大值 并说明理由 命题意图 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的 继续深入 是导数应用的关键知识点 通过对函数极值的判定 可使学生加深对函数单调性 与其导数关系的理解 知识依托 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发 根据题设结 构进行逆向联想 合理地实现了问题的转化 使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光点 错解分析 本题难点是在求导之后 不会应用 f 1 0 的隐含条件