高中数学讲义总结.doc

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、 对称性定义（略），请用图形来理解。3、 对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称 也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。 若写成：，函数关于直线 对称 （2）函数关于点对称 或 44常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .45.同角三角函数的基本关系式 ，=，.46.正弦、余弦的诱导公式4、 周期性： （1）函数满足如下关系系，则 A、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立） D、其他情形 （2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” （3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上） （4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.二、 两个函数的图象对称性1、 与关于X轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、 与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3、 与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、 与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、 关于点(a,b)对称。换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。6、 与关于直线对称。7、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条47.和角与差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).48.二倍角公式 .49. 三倍角公式 .50.三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.51.正弦定理.52.余弦定理;.53.面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）.(3).54.三角形内角和定理 在ABC中，有.55. 简单的三角方程的通解 . .特别地,有. .56.最简单的三角不等式及其解集 . . . .57.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60向量平行的坐标表示 设a=,b=，且b0，则ab(b0).53. a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos 61. ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=. (3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则ab=.63.两向量的夹角公式(a=,b=).64.平面两点间的距离公式 =(A，B).第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法【基础练习】向上平移3个单位向右平移1个单位1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：向右平移3个单位作关于y轴对称的图形（1） ；（2） 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）； （2）； （3）解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像图略；（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像图略；Oyx11（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）； （2）； （3）； （4）解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；1Oyx图1（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示1Oyx图21Oyx图41Oyx图314. 函数的图象是（ B ）A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO-1-1-1-11111【范例解析】例1.作出函数及，的图像分析：根据图像变换得到相应函数的图像解：与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称；将的图像向左平移2个单位得到的图像；保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分图略点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种平移变换：左“+”右“”，上“+”下“”；对称变换：与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称；与的图像关于原点对称；保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分例2.设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题解：（1）（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.由于.【反馈演练】Oy11BxOyx11A1函数的图象是（ B ） Oy11DxOyx11C2. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到3已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则=4设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_ 5. 作出下列函数的简图：（1）； （2）； （3）2012高中数学复习讲义 第二章 函数B第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系【基础练习】1. 已知二次函数,则其图像的开口向_上_；对称轴方程为；顶点坐标为 ，与轴的交点坐标为，最小值为2. 二次函数的图像的对称轴为,则_2_，顶点坐标为，递