高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 第五课时 利用导数研究函数零点专题课件 理 新人教版.ppt

第五课时利用导数研究函数零点专题 专题概述 利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一 也是高考考查的热点题型 常作为解答题的一问出现 难度较大 解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题 解题规范夯实 考点专项突破 考点一 利用函数图象研究函数零点 例1 导学号38486072已知函数f x 2x3 3x 若过点p 1 t 存在三条直线与曲线y f x 相切 求t的范围 考点专项突破在讲练中理解知识 过点p 1 t 存在三条直线与曲线y f x 相切等价于直线y t与曲线y h x 的图象有三个交点 如图作出y h x 的图象 从图可以看出 当 3 t 1时 函数y t和y h x 的图象有3个交点 综上 t的取值范围是 3 1 反思归纳含参数的函数零点个数 可转化为方程解的个数 若能分离参数 可将参数分离出来后 用x表示参数的函数 作出该函数图象 根据图象特征求参数的范围 跟踪训练1 2017 成都质检 设函数f x lnx m r 1 当m e e为自然对数的底数 时 求f x 的极小值 2 讨论函数g x f x 零点的个数 考点二 利用函数性质研究函数零点 例2 导学号38486073 2017 江西临川质检 已知函数f x x2 3x 3 ex 1 试确定t的取值范围 使得函数f x 在 2 t t 2 上为单调函数 解 1 f x x2 3x 3 ex 2x 3 ex x x 1 ex 由f x 0得x 1或x 0 由f x 0得0 x 1 所以f x 在 0 1 上单调递增 在 0 1 上单调递减 欲使f x 在 2 t 上为单调函数 需有 2 t 0 即t的取值范围为 2 0 2 若t为自然数 则当t取哪些值时 函数y f x m x r 在 2 t 上有三个零点 并求出相应的实数m的取值范围 反思归纳已知函数 方程 零点的个数求参数范围 1 函数在定义域上单调 满足零点存在性定理 2 若函数不是严格单调函数 则求最小值或最大值结合图象分析 3 分离参数后 数形结合 讨论参数所在直线与函数图象交点的个数 跟踪训练2 2017 衡阳质检 设函数f x alnx bx2 其中实数a b为常数 1 已知曲线y f x 在x 1处取得极值 求a b的值 证明 f x 2 当b 时 若方程f x a 1 x恰有两个不同的解 求实数a的取值范围 考点三 构造函数法研究函数零点问题 1 解 f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 由题设得 2 所以a 1 例3 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 2 证明 由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在r有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 反思归纳含参数两函数y f x 与y g x 图象交点问题 若不能作出两函数图象 常转化为函数h x f x g x 的零点问题 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 与函数零点有关的导数问题求解策略 典例 12分 2017 全国 卷 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 审题指导 满分展示 1 f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 2分 若a 0 则f x 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 5分所以f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 6分 2 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 7分 若a 0 由 1 知 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna 1 lna 当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 8分 当a 1 时 由于