高考数学（理）二轮复习专题能力测评5.doc

专题能力测评(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1体积为4的球的内接正方体的棱长为()a. b2 c. d.解析设球的半径为r，由r34得r，设球的内接正方体的棱长为a，则a2，a2.答案b2下列各图是正方体或正四面体，p，q，r，s分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是()解析在选项a、c中，psqr，故四点共面，在选项b中，rs的延长线与qp的延长线相交于一点，故四点共面，在选项d中，直线ps与qr是异面直线，故四点不共面答案d3(2013重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a180 b200 c220 d240解析由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面梯形的面积为(28)420，梯形腰长为5.则棱柱的四个侧面的面积之和为(2855)10200.所以棱柱的表面积为200220240.答案d4在正四面体pabc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论中不成立的()abc平面pdfbdf平面paec平面pdf平面abcd平面pae平面abc解析若平面pdf平面abc，则顶点p在底面的射影在df上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故选c.答案c5(2013广东高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若，m，n，则mn b若，m，n，则mnc若mn，m，n，则 d若m，mn，n，则解析a中，m与n可垂直、可异面、可平行；b中m与n可平行、可异面；c中若，仍然满足mn，m，n，故c错误；d正确答案d6正方体ac1的棱长为1，过点a作平面a1bd的垂线，垂足为点h，则下列命题中错误的是()a点h是a1bd的垂心bah垂直于平面cb1d1cah的延长线经过点c1d直线ah和bb1所成角为45解析因为三棱锥aa1bd是正三棱锥，故顶点a在底面的射影是底面的中心，a正确；平面a1bd平面cb1d1，而ah垂直于平面a1bd，所以ah垂直于平面cb1d1，b正确；根据对称性知c正确，故选d.答案d7如图所示，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分别是cc1、ad的中点那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于()a. b. c. d.解析建立如图所示的空间直角坐标系，则o(1,1,0)，e(0,2,1)，d1(0,0,2)，f(1,0,0)，(1,1,1)，(1,0,2)，3，|，|，cos，.即oe与fd1所成的角的余弦值为.答案d8(2013济南质检)设m，n是空间两条直线，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()a当n时，“n”是“”成立的充要条件b当m时，“m”是“”的充分不必要条件c当m时，“n”是“mn”必要不充分条件d当m时，“n”是“mn”的充分不必要条件解析当mn，且m时，n或n，故选项c不正确答案c9已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc内的射影为abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值等于()a. b. c. d.解析设a1在面abc内的射影为o，过o作ohbc交ab于点h，以o为坐标原点，oa、oh、oa1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设abc边长为1，则a，b1，.面abc的法向量n(0,0,1)，则ab1与底面abc所成角的正弦值为sin |cos，n|.答案b10如图所示，在正三棱柱abca1b1c1中，ab1.若二面角cabc1的大小为60，则点c到平面c1ab的距离为()a. b. c. d1解析取ab中点d，连接cd，c1d，则cdc1是二面角cabc1的平面角因为ab1，所以cd，所以在rtdcc1中，cc1cdtan 60，c1d.设点c到平面c1ab的距离为h，由vcc1abvc1abc，得1h1，解得h.答案a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为_解析由题意知，此几何体是三棱锥，其高h3，相应底面面积为s639，vsh939.答案912(2013福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_解析由三视图知，该几何体为正方体和球组成的组合体，正方体的对角线为球的直径所以2r2，即r，球的表面积为s4r212.答案1213如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，底面是abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df. 解析法一由已知得b1d平面ac1，又cf平面ac1，b1dcf，故若cf平面b1df，则必有cfdf.设afx(0x3a)，则cf2x24a2，df2a2(3ax)2，又cd2a29a210a2，10a2x24a2a2(3ax)2，解得xa或2a.法二分别以ba、bc、bb1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系bxyz，则b(0,0,0)，b1(0,0,3a)，设f(a,0，m)，d，c(0，a,0)，(a，a，m)，(a,0，m3a)，cf面b1df，cfb1f，即0，0，可得2a2m(m3a)0，解得ma或2a.答案a或2a14(2013青岛调研)在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为_解析如图，建立空间直角坐标系dxyz，则d1(0,0,1)，c1(0,2,1)，a1(1,0,1)，b(1,2,0)，(0,2,0)，设平面a1bc1的一个法向量为n(x，y，z)，由得，令y1，得n(2,1,2)，设d1c1与平面a1bc1所成角为，则sin |cos，n|.答案三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，底面a1b1c1d1是正方形，o是bd的中点，e是棱aa1上任意一点(1)证明：bdec1；(2)如果ab2，ae，oeec1，求aa1的长(1)证明连接ac，a1c1.由底面是正方形知，bdac.因为aa1平面abcd，bd平面abcd，所以aa1bd.又aa1aca，所以bd平面aa1c1c.因为ec1平面aa1c1c知，bdec1.(2)解设aa1的长为h，连结oc1.在rtoae中，ae，ao，故oe2()2()24.在rtea1c1中，a1eh，a1c12，故ec(h)2(2)2.在rtocc1中，oc，cc1h，och2()2.因为oeec1，所以oe2ecoc，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3，所以aa1的长为3.16(本小题满分12分)(2013常州调研)已知一个四棱锥pabcd的三视图(正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如图，e是侧棱pc的中点(1)求四棱锥pabcd的体积；(2)求证：平面apc平面bde.(1)解由三视图可知，abbc1，pc平面abcd，且pc2，又底面abcd是正方形，故s正方形abcd1，所以vpabcd12.(2)证明因为底面abcd是正方形，所以对角线acbd，又pc平面abcd，而bd平面abcd，故bdpc，又pcacc，所以，bd平面apc.又bd平面bde，故平面apc平面bde.17(本小题满分13分)(2013辽宁高考)如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值证明(1)由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.因为bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb、ca、cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故c(，0,0)，c(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为a(0,0,1)，a(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.由题图可判断二面角为锐角，所以二面角cpba的余弦值为.18(本小题满分13分)已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，且ad2，ab1，pa平面abcd，e、f分别是线段ab、bc的中点(1)证明：pffd；(2)判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd；(3)若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值(1)证明因为pa平面abcd，bad90，ab1，ad2，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，0,0)，b(1,0,0)，f(1,1,0)，d(0,2,0)不妨令p(0,0，t)，则(1,1，t)，(1，1,0)所以111(1)(t)00，所以pffd.(2)解设平面pfd的法向量为n(x，y，z)，由(1)知(1,1，t)，(1，1,0)，则由，得，令z1，则xy.故n是平面pfd的一个