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矢量的外积与麦克斯韦方程组 标签：哲学物理2013-12-29 00:27 星期日（本文偏重理论，且需要一定的空间想象能力，数学基础差者慎入）如图所示，x0、x1与xn分别是无穷维希尔伯特空间（记做H）的一组标准正交基中的某三个单位基矢量，用x0、x1与xn代表H的某三个维度。将x0与x1所确定的二维空间记做X，矢量a与矢量b是平面X中的矢量。矢量的外积也叫矢量的叉积或矢量的叉乘，ab就是矢量a与矢量b的外积，ab的模被定义为|a|b|sin，a、b与ab这三者之间的关系满足右手定则。既然X是H的某两个维度所确定的二维空间，那么X中任意两个矢量的外积究竟还是不是矢量呢？矢量a与矢量b的外积ab显然并不在平面X中，而是正交于平面X的，问题是在H的背景下，ab究竟指向哪个维度？如果令n=2，则x0、x1与x2这三个维度可以形成一个三维欧几里得空间，记做E2；如果令n=3，则x0、x1与x3这三个维度可以形成一个三维欧几里得空间，记做E3；由此得到一系列的E2，E3，都是同一个H的不同的三维完备子空间。单独看E2，因为平面X肯定是E2的一个二维完备子空间，所以在E2中ab的方向确实是x2的正方向，显然ab是E2中的矢量。单独看E3，因为平面X肯定是E3的一个二维完备子空间，所以在E3中ab的方向确实是x3的正方向，显然ab是E3中的矢量。单独看En，因为平面X肯定是En的一个二维完备子空间，所以在En中ab的方向确实是xn的正方向，显然ab是En中的矢量。这说明平面X中的矢量a与b的外积ab可以指向H中的一切与X正交的维度方向。在H的背景下，ab并不是一个传统意义上的矢量，因为ab的方向不是唯一的，但是单独去看E2，E3，中的任意一个三维空间，我们会发现ab确实是一个标准的矢量，因为ab的大小和方向都是唯一确定的。那么ab到底是不是一个矢量呢？实际上我们用现有的矢量外积的概念并不能很好地回答这个问题，需要对这里面的数学进行一些拓展。我们能为矢量a与矢量b的外积ab在H中确定出唯一的维度方向吗？这显然是不可能的，因为ab的维度方向取决于我们对H的三维子空间的选择，所以在H的背景下，ab的方向只能是主观的，除非我们可以使用复维度。回忆一下我们是如何引进复坐标系的。假设x是一个实空间维度，ix是一个复空间维度，在H中，ix究竟指得是哪个维度呢？显然复维度ix并不特指H中的任何维度，但ix却可以代表H中任意一个与x正交的维度。我们在复平面中可以定义二维复矢量，比如a+ib就是一个二维复矢量，其中a与b都是实数，i是虚数单位。在H的背景下，虚数ib被赋予了一个方向集，这个方向集中的任意一个元素都与x这个实空间维度正交。在H的背景下，虽然ib对应着一个具有无穷多元素的方向集，但我们还是可以将a+ib看作由x与ix这两个维度所确定的复平面中的复矢量，这并不会带来任何麻烦，反而解决了很多问题。同理，我们也可以将矢量a与矢量b的外积ab的方向看作复维度方向，就像复平面中ib的方向虽然在本质上对应着一个方向集，但我们却可以认为ib具有唯一的复方向一样，虽然ab的方向也对应着由H中任意一个与x0和x1都正交的方向所组成的集合，但我们同样可以将ab的方向看做唯一的复方向，使得ab成为一个复矢量。可以认为存在一个复三维空间，记做iE，iE是由x0与x1这两个实维度加上ix这个复维度组成的。在iE中，外积ab就是一个复矢量，方向指向复维度ix的正方向。在H的背景下，外积ab的方向只能是复方向。比如在由x0、x1与x2这三个实维度组成的三维实空间E2中，外积ab的方向当然也可以是x2的正方向，但只有认为外积ab的方向是ix这个复方向才是全面的，因为ix这个复维度确实已经在无穷维的层面中包含了E2中的x2这个实维度了，所以外积ab在本质上确实应该是一个复矢量。现在做一下推广。考虑任意三维实空间En，将En中的三个单位基矢量x0、x1与xn进行旋转变换，得到三个新的单位基矢量，记做y0、y1与yn，将坐标变换后的实三维空间记做V，这样矢量a与矢量b就不能看作是由y0与y1这两个维度所确定的平面中的矢量了，它们可以是V中的任意矢量，对V中的任意矢量求外积会如何呢？将V中的任意一对矢量a与b所确定的平面记做M，在V中对a与b求外积，显然会得到一个正交于M的矢量，记做c，c是V中的实矢量。在H的背景下，我们不能因为将En的坐标系稍微做一下旋转变成V，就认为H中除V之外的其它空间中的矢量都消失了。因为V中的任意两个矢量都可以再通过坐标变换成为由H的一组标准正交基中的一对单位基矢量所确定的平面中的两个矢量，所以V中的任意矢量a与b的外积ab的方向并不会因为坐标变换而发生实质性的改变，外积ab的方向仍旧是复方向，记做iz方向，可以认为iz方向是与平面M正交的复维度的正方向。因为复维度iz的方向具体到三维实空间V中代表的就是矢量c的正方向，所以我们确实可以用iz这个复维度来表示外积ab的方向。我们都知道，在三维电磁场中，电场强度矢量与磁感应强度矢量是正交且满足右手定则的。将电磁场中某点的电场强度矢量记做a，磁感应强度矢量记做b，我们如何通过右手定则在a（或b）已知的条件下，将b（或a）确定出来呢？因为右手定则是三维空间中确定三个矢量之间相互关系的法则，只有在已知两个矢量的条件下才能根据右手定则确定出第三个矢量，所以仅有一个矢量根本就不可能将另外两个矢量中的任何一个确定出来。在只知道a与b中的一个矢量的条件下，我们必须要借助一个与a或b满足特定关系的第三个矢量c，才能通过右手定则确定出我们想要确定的矢量。这里的c类似于坡印亭矢量，但是量纲不同。如果矢量a、b、c两两正交，那么通过右手定则，这三个矢量就可以自然地形成相互之间的外积关系，表现为c=ab，a=bc与b=ca。在这个意义上，除了电场与磁场之外，自然界必存在另一个矢量场，这个矢量场会与电场以及磁场形成相互之间的外积关系，且这个矢量场与电场或磁场的地位是平等的，只有这样，自然法则才会因为对称而表现出内在的优美。为什么我们会经常提到电磁场而几乎不提另外这个场呢？因为根本不需要，就好比我们已知矢量a与b，根据右手定则就必然会得到ab一样，直接去使用ab与先定义c=ab之后再单独提及c，这在本质上根本没有区别。既然外积的方向是复方向，而电场强度矢量a，磁感应强度矢量b与另外一个类似坡印亭矢量的矢量c可以根据右手定则相互之间成为外积关系，即c=ab，a=bc与b=ca，那么对应着复方向的究竟是a、b、c中的哪个呢？答案是矢量a、b、c中的任意一个在本质上都可以对应复方向，但是在具体的三维空间中，我们只要令其中一个具有复方向即可。这就好比由实维度x与复维度ix形成的二维复平面一样，x其实与ix所对应的任意维度相比较并没有任何特别之处，但因为复维度是相对于实维度而言的东西，所以我们必须要先指定一个实维度，之后才能由此指定出复维度。三维复空间也是如此，我们只有先指定了两个实维度之后，才能根据这两个实维度再指定出一个复维度。这并不是因为那两个实维度具有任何特殊性，而是因为数学表达的需要才会产生两个实维度与一个复维度之分。因为在涉及到复数的运算中存在i*i=-1的规则，所以对于相互之间形成外积关系的三个矢量来说，哪个矢量带有虚数单位都没有关系，我们可以根据i*i=-1这条规则进行虚数与实数之间的相互转换。我们应该如何去理解i*i=-1这条规则呢？在二维复平面坐标系中，令a代表实坐标轴x上的一个实数，则ia就是虚坐标轴ix上的一个虚数，如果将实数a看作一个矢量，那么ia就是将a这个矢量向ix轴的正方向旋转/2；已知iia=-a，这是一个将a这个矢量向ix轴的正方向连续旋转两个/2的操作，恰好使得a成为-a，所以虚数单位i对于矢量来说可以看作是一个旋转算子，每个虚数i都代表一个旋转/2的操作。在三维复坐标系中，虚数单位i对于三维矢量来说同样可以成为旋转算子，比如对实平面M中的矢量a进行i操作，相当于将M中的矢量a向正交于M的虚维度正方向旋转/2，使得ia正交于M；已知iia=-a，这是一个将a这个矢量向正交于M的虚维度正方向连续旋转两个/2的操作，恰好使得a成为-a，重新回到平面M中。如果一个二维实坐标系中的两个维度是x与y，一个二维复坐标系中的两个维度是x与ix，那么实际上ix指得就是H中的无穷多与x正交的维度，其中当然也包括了y维度，所以在H的背景下，具体到由x与y组成的二维实坐标系，坐标（0，a）确实可以用二维复坐标系中的矢量ia来表示，此时的ia在具体的二维实坐标系中就是（0，a），但ia又确实比（0，a）的内涵要丰富得多。同样，在三维实坐标系中，对任意矢量a而言，ia都可以代表一系列与a正交的矢量，ia的内涵是超越了三维的，但又不与三维实坐标系有任何矛盾。虽然在已知矢量a的条件下，我们无法在三维实空间V中确定出唯一的ia，但如果确定了ia与a这两个矢量，我们就可以根据ia与a之间的正交关系，在V中找到唯一能够满足右手定则的矢量b，使得ia、a与b这三者之间形成ia*|b|sin=ab的外积关系。具体的做法很简单，只要以ia为轴旋转矢量a就会确定一个平面，在这个平面中可以很容易地通过右手定则得到ia*|b|sin=ab。当=/2时，ia*|b|sin=ab的外积关系可以简化为ia*|b|=ab，我们将ia*|b|=ab的两边乘以-i后就会得到a*|b|=-i*ab。这就是“以精神为逻辑起点的物理公理体系”