1证明 实数 域和复数域不存在其它 的数 域.pdf

1 证明实数域和复数域不存在其它的数域 2 设p q是两个整数 令F为由一切形如abpc qdpq 的数作成的集合 其 中a b c d为任意有理数 证明 F作成一个数域 3 试判断下列各数集是否作成数域 1 1 P3 abi a b 为任意有理数 2 2 P abi ab 为任意有理数 为实数 4 设 35 P 2 ab m a bm 为有理数 证明 P作为一个数域 5 设 1 F及 2 F是两个数域 证明 1 12 FFI作成一个数域 2 12 FFU作成一个数域的充分与必要条件是 12 FF 或 21 FF 6 设p q为不同素数 试证明 Qp 其中 QpQq Qq的意义见例 2 7 设F是至少含有两个数的数集 证明 如果F中任两数的差与商 除数不为零 仍属于 F 则F必为数域 8 设F是至少含有两个数的数集 且F对加法与乘法封闭 证明 如果对F中任意数a a 也属于F 而且当0a 时 1 a 也属于F 则F必为一数域 9 下列各数集是否作成数域 1 1 3 Pabi a b 为任意有理数 2 2 Pabi a b 为任意有理数 3 3 Pabi ab 为任意有理数 为任意实数 4 4 Pabi a b 为任意整数 5 3 5 2 Paba b 为任意有理数 6 6 2 21 n Pn n 为任意整数 7 7 5 Paa 为任意有理数 8 8 P 全体非负有理数 10 设m是任意给定的正有理数 证明 1 一切形如 xy m x y 为任意有理数的数构成的集合P作成一个数域 2 P是有理数域的充分与必要条件是 m为一个有理数的完全平方 11 设 35 2 Pab m a bm 为有理数 证明 P作成一个数域 12 令F为包含一切形如236abcd 的数的集合 其中 a b c d为任意有理数 证明 F作成一个数域 13 证明 多项式 5040484725049 1 1 f xxxxxxxxxx LL 的展开式中无奇数次项 14 证明 1 97357 8647 23 xxxx 的展开式中各项系数之和为 1 2 23 9724699 1 65 1 652 2 xxxxxx 的展开式中各项系数之和为2 15 求用 g x去除 f x所得的商 q x及余式 r x 1 322 31 321f xxxxg xxx 2 322 1 32f xxxxg xxx 16 利用综合除法 求用 g x去除 f x所得的商及余式 1 53 258 3f xxxx g xx 2 5 31 2f xxxg xx 17 设 432 2345f xxxxx 求 1 fi 及 1 fi 18 问 m p q满足什么条件时 有 1 23 1 xmxxpxq 2 242 1 xmxxpxq 19 将多项式 f x写成 2 012 kktk t f xgxg xxgxxg xx L 其中 0 1 i g x it L是 0 或者低于k次的多项式 证明 f x被 kk xa 除的余式是 2 012 kktk t F xgxg x agx ag x a L 20 求下列各题中 f x与 g x的最大公因式 1 43232 341 1f xxxxxg xxxx 2 4332 41 31f xxxg xxx 21 对下列各题中的 f x与 g x 求 u x v x使 u x f xv x g xf x g x 1 43232 421659 254f xxxxxg xxxx 2 4322 441 1f xxxxxg xxx 22 证明 如果 1f x g x 则对任意自然数m 都有 1 mm f xg x 23 证明 1f x g x 的充分与必要条件是 1f x g xf xg x 24 证明 若 1 1s n 则多项式 1 1 sns ns f xxxx L 可被 1 1 nn g xxxx L整除 且其商的系数只能是01 或 25 设 p x为数域P上的次数大于零的多项式 证明 如果 p x对任意多项式 f x 或 p xf x或 1p xf x 则 p x为P上的不可约多项式 26 设 P x为数域P上全体多项式的集合 a为一复数 证明 数集 P a作成数域的充分 与必要条件是 a为P上某个不可约多项式的根 27 设 多 项 式 1 0110 0 0 nn nnn f xa xa xaxa aa L的n个 根 是 12 n a aaL 求以下多项式的n个根 1 1 110 nn nn g xa xaxa xa L 2 11 011 nnnn nn h xa xa bxabxa b L 28 如果 432 36f xxxxaxb 能被 2 1x 整除 求 a b 29 判断下列多项式有无重因式 1 5432 57248f xxxxxx 2 42 443f xxxx 3 432 352f xxxxx 4 43 633f xxxx 30 证明 多项式 1 2 1 2 n xx f xx n L 2 12 1 1 3 2 nnn g xxnxn nxn nxn LL 没有重根 31 设 12 n a aaL是n个不同的数 而 12 n F xxaxaxa L 证明 1 1 1 n i ii F x xa F a 2 任意多项式 f x用 F x除所得余式为 1 n i i ii f a F x xa F a 32 已知1 i 是方程 432 45220 xxxx 的一个根 解此方程 33 已知方程 32 254120 xxx 有一个二重根 解此方程 34 证明 若1 是整系数多项式 f x的整数根 则 1 1 f 与 1 1 f 都是整数 35 如果既约分数 q p 是整系数多项式 1 011 nn nn f xa xa xaxa L 的根 证明 对任何整数k pkq 整除 f k 36 求下列有理系数方程的有理根 1 32 615140 xxx 2 5432 6141130 xxxxx 37 先求下列方程的有理根 再求其余各根 1 432 2154045180 xxxx 2 532 42320 xxxx 38 设 12 s p ppL是s个互不相同的素数 1n 证明 12 n s p ppL是无理数 39 证明 下列多项式在有理数域上不可约 1 43 56126xxx 2 63 102xx 3 63 1xx 4 42 101xx 40 利用三次方程解的卡当公式 求下列多项式的根 1 32 32731f yyyy 2 3 69f xxx 3 3 2432f xxx 41 证明 实系数三次多项式 3 f xxpxq 的根都是实数且有二根相等的充分与必要 条件是 23 0 427 qp 42 设 f x是一个复系数多项式 f x为把 f x的相应系数分别换成它们的共轭复数后 所得到的多项式 证明 1 g xf x当且仅当 g xf x 2 若 f xf xd x 则 d x是一个实系数多项式 43 求满足 2 1 0f xf x f x 的一切复系数多项式 f x 44 证明 1 n n x x 可表为 1 yx x 的实系数多项式的充分与必要条件是n为奇数 45 证明 实系数三次多项式 32 123 f xxa xa xa 的根都在左半复平面内 即根的实部为负数 当且仅当 123 a a a均为正数 且 312 aa a 46 证明 若实系数n次多项式 1 011 nn nn f xa xa xaxa L 的一切根都是实的 则 fx的一切根也都是实的 且在 f x的两相邻实根之间 fx有 一个根且是一个单根 47 设 f x为首项系数是1的实系数n次多项式 且根全为实数 证明实数b是 f x的实 根上界 当且仅当 n f bfbfbL都大于零 48 按多元多项式的字典排列法改写以下两多项式 并指出其乘积的首项 633232342 12342412324312324 1 357286 2 f x xx xx xx x xx xxx x xx x 2222 123434341212 g x xx xx xx xx xx x 49 化下面各对称多项式为初等对称多项式的多项式 1 123121323 f x x xxxxxxx 2 222222 123122323313112 f x xxxxxxxxxxxxxx 3 222 123121323 f x xxxxxxxx 4 222222222222 1234121314232434 f x xx xx xx xx xx xx xx x 5 1234123413241423 f x x x xx xx xx xx xx xx x 50 设 12 n x xxL是方程 1 11 0 nn nn xa xaxa L 的根 证明 23 n x xxL的对称多项式可以表成 1 x与 12 n a aaL的多项式 51 设多项式 32 0 f xxpxqxrpqr 的三个根为 123 x xx 证明 22222222 132312 121323 224xxxxxxp qqpr xxxxxxrpq 52 证明 如果多项式 3 f xxpxq 的根为 123 x xx 则以 222 112213323 yxxyxxyxx 为根的多项式为 32232 69427g yypyp ypq 53 根据牛顿公式 用初等对称多项式表示 23456 S S S S S 1 判断以下各向量组是否线性相关 1 123 2 1 1 4 2 3 2 123 2 1 1 1 2 1 2 3 0 3 123 2 1 7 3 1 4 11 2 3 6 3 8 2 把下面各题中的向量 表示成 1234 的线性组合 1 1234 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1234 0 0 0 1 1 1 0 1 2 1 3 1 1 1 0 0 0 1 1 1 3 判断向量 4 4 1 2 能否由下列各向量组线性表示 1 1234 2 1 0 5 4 2 3 0 1 0 1 0 0 1 2 5 2 1234 1 0 0 1 2 3 0 1 4 9 0 5 3 2 1 1 4 讨论向量 是否可以由向量组 123 线性表出 1 123 1111 2 0 1 1 3101 2 123 1121 0 1 1 2 2031 5 已知 123 4123 1021 611 021 a b 问 a b 为何值时 可由 123 线性表出 并写出表达式 6 已知 123 2 0111 1 1 1 111 问 为何值时 可由 123 线性表出 7 试问下列向量组中 哪个向量不能由其余向量线性表示 1234 1012 1513 1200 1101 4 求下列各矩阵的秩 1 1234 1245 11012 2 3315 1212 5153 2234 3 11210 22420 30611 03001 4 01112 02220 01111 11011 5 1412682 610412917 76341 353015205 6 10014 01025 00136 1231432 4563277 7 10100 11000 01100 00110 01011 5 证明矩阵 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa L L LLLL L 的秩为 0 或 1 的充分与必要条件是 有mn 个数 11 mn aabbLL存在 使 1 1 ijij aab im jn LL 6 解下列方程组 1 1234 234 124 234 2344 3 31 733 xxxx xxx xxx xxx 2 1234 1234 1234 1234 34570 23320 41113160 7230 xxxx xxxx xxxx xxxx 3 1234 1234 1234 1234 123 231 321 231 2221 5522 xxxx xxxx xxxx xxxx xxx 4 1234 12345 12345 12345 12345 3541 3221 23 43 21 xxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 5 1245 12345 12345 12345 2321 332 234527 99616225 xxxx xxxxx xxxxx xxxxx 7 讨论 取何值时 下面方程组有解 并求解 1 123 123 123 3 2 1 2 3 1 3 3 xxx xxx xxx 2 2 123 123 123 1 2 21 0 21 22 xxx xxx xxx 8 讨论 a b取什么值时 下面方程组有解 并求解 1 123 123 123 4 3 24 axxx xbxx xbxx 2 12345 12345 2345 12345 1 323 2263 5433 xxxxx xxxxxa xxxx xxxxxb 3 3 2 2 axyza xayz xyaz 4 123 123 123 21 21 31 3 21 axbxx axbxx axbxbxb 9 求下列各齐次线性方程组的一个基础解系 1 234 1234 1234 24530 36420 4817110 xxxx xxxx xxxx 2 12345 12345 2345 12345 0 3230 2260 54330 xxxxx xxxxx xxxx xxxxx 3 1245 1234 12345 12345 30 20 426340 242470 xxxx xxxx xxxxx xxxxx 4 12345 12345 12345 12345 20 230 75550 320 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 5 135 246 1256 235 14 0 0 0 0 0 xxx xxx xxxx xxx xx 10 证明 与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系 11 设 0 是线性方程组的一个解 12 t L是它的导出方程组的一个基础解系 令 1021010 tt L 证明 此线性方程组的任一解 都可表成 1 111 tt uu L 其中 121 1 t uuu L 12 线性方程组 11 11221 21 12222 1 1 11 221 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x axaxax L L LLLLLLLLL L 1 1 的系数矩阵为 1121 21222 1 11 21 n n nnnn aaa aaa A aaa L L LLLL L 设 i M是A中划去第i列剩下的 1 1 nn 子式 证明 1 1 12 1 n n MMM L是 1 1 的一个解 2 如果A的秩为1n 则方程组 1 1 的解全是 1 12 1 n n MMM L的倍数 13 设n阶行列式0 ij Da 证明 当rn 231 131 1231 0 0 0 nn nn n xxxx xxxx xxxx L L M L 是否有非零解 53 问a b c满足什么条件时 线性方程组 222 3 xyzabc axbyczabc bcxzcyabzabc 有唯一解 并求之 54 已知n阶行列式0 j n Dai 证明 线性方程组 11 11221 111 21 12222 112 1122 11 nnn nnn nnn nnnn a xa xaxa a xa xaxa a xa xaxa L L M L 无解 55 证明 线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 1 1 11 221 1 nn nn nnnnnn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb axaxaxb L L M L L 有解的必要条件是行列式 111211 212222 12 1 11 21 1 0 n n nnnnn nnnnn aaab aaab aaab aaab L L MMOMM L L 试举一例说明这条件不是充分的 56 平面上 4 点 111 Mx y 222 Mxy 333 Mxy 444 Mxy在同一圆周上的充要条 件是什么 57 试求通过平面上点 1 0 0 M 2 1 0 M 3 1 0 M 4 1 1 M 5 1 1 M 的二次曲线方程 58 空间n个平面通过同一条直线的充要条件是什么 59 设a b c均不为零 且互异 试证明平面上 3 条不同直线 1 0laxbyc 2 0lbxcya 3 0lcxayb 相交于一点的充要条件为0abc 1 对下列各题中的矩阵 A B 求 AB BA与ABBA 1 42 510324 245313 15 AB 2 311111 212 210 123101 AB 3 512 350 141 A 5910 336 22126 B 4 111 abc Acba 1 1 1 ac Bbb ca 2 求下列矩阵的乘积 1 421 10 4121125 25 2310113 03 530 ABC 2 1 231 1 1 AB 3 计算下列矩阵 1 2 111 111 111 n nnn n Annn n nnn L L LLLL L 2 5 32 42 A 3 11 01 n A 4 5 10 01 00 A 5 cossin sincos n A 6 1111 1111 1111 1111 n A 7 2 211 310 012 8 2 11 22 11 22 4 设 1 01 mm m faaa L A是一个n阶方阵 定义 1 011 mm mm f Aa Aa AaAa E L 1 2 211 1 312 110 fA 2 2 21 53 33 fA 求 f A 5 求满足下列条件的二阶矩阵A 1 2 AE 2 2 0A 6 设 A B为n阶方阵 且 1 2 ABE 证明 2 AA 当且仅当 2 BE 7 若ABBA 则矩阵A与B可交换 求所有与下列矩阵可交换得矩阵 1 11 01 A 2 100 012 312 A 8 证明 1 设 1 2 00 00 00 n a a A a L L MMOM L 当ij 时 ij aa 1 2 i jn L 证明与A交换的矩 阵只能是对角矩阵 2 如果A与所有N阶矩阵可交换 则A一定是数量矩阵 9 证明 对任意m n 矩阵 A A A及 AA都是对称方阵 而当A为对称方阵时 则对任意 方阵C C AC都是对称方阵 10 证明不可能有n阶方阵A B满足ABBAE 11 如果 AA 称A为对角阵 证明若A实对称 且 2 0A 则0A 12 设A为n阶方阵 1 AA BB 证明 ABAB 当且仅当ABBA 2 2 AE 2 BE 证明 2 ABE 当且仅当ABBA 3 2 AA 2 BB 证明 2 ABAB 当且仅当0ABBA 13 设A是n n 阶矩阵 如果对任一维向量 12 T n xx xx L 都有0Ax 那么0A 14 试证明 T TT ABB A 15 分别求与下列方阵 对乘法 可交换的所有方阵 010 01 0 A L O OM O 16 设A与B为n阶方阵 问 等式 22 ABAB AB 成立的充要条件是什么 试证之 17 设A是m n 实矩阵 证明 0A A 当且仅当A的秩小于m时等号成立 18 设n阶方阵A的秩为r 证明 存在秩为nr 的方阵B使0AB 19 设A是一个三阶方阵 且 2 AE AE 证明 AE 与AE 中有一个的秩为 1 另一个的秩为 2 20 求下列各方阵的逆方阵 1 ab cd 1adbc 2 111 210 110 3 223 110 121 4 312 143 221 5 1234 2312 1111 1026 6 1111 1111 1111 1111 21 求下列各方阵的逆阵 2100 3200 5718 1316 22 求下列各矩阵的逆矩阵 1 111 210 110 A 2 1111 1111 1111 1111 A 3 21000 02100 00210 00021 00002 A 4 2100 1100 0025 0013 A 5 2100 1100 1225 1113 A 23 求解矩阵 X 1 2111121000 0111112100 0011101200 0000100012 X LL LL LL MMMOMMMMMOMM LL 2 111111 022110 110211 X 3 142031 121101 X 24 设E为 单 位 方 阵 A B C是 与E同 阶 的 方 阵 若ABCE 问 BCAE ACBE CABE BCAE CBAE 中哪些成立 哪些却不一定成立 25 分别求满足下列各等式的方阵X 1 2546 1321 X 2 111111 022110 110211 X 26 证明 方阵A为数量方阵的充分与必要条件是 A与一切非奇异方阵可交换 27 设A为非奇异矩阵 证明 1 11 AA 2 11 AA 28 设A为n阶方阵 证明 1 n AA 29 设A为 2 n n 阶方阵 证明 秩 1 1 0 1 nAn AAn An 阶方阵 证明 A 1n A 40 设A为 方 阵 证 明 若0 k A 则EA 是 可 逆 的 而 且 121 k EAEAAA L 41 设 n J为所有元素全为 1 的 1 n n 阶方阵 证明 n EJ 可逆 且其逆为 1 1 n EJ n 42 设 1110 mmmm f xa xaxa xa L 其 中 0 0a A为n阶 方 阵 1110 mmmm f Aa AaAa Aa E L 若 0f A 求证A可逆 且求其逆 43 设n阶方阵A满足 2 40AAE A 证明 A 及AE 都是可逆矩阵 且写出 1 A 及 1 AE 44 已知A为 3 阶方阵 且A 3 求 1 1 A 2 k A 3 2A 4 1 3 A 5 1 1 4 3 k AA 6 1 k A 45 设A B AB 均为n阶可逆矩阵 证明 11 AB 为可逆矩阵 且写出 1 11 AB 46 设A C可逆 求 0 0 A X C 的逆矩阵 47 A B分别是nm 和mn 矩阵 证明 1 m nm n Eb EABEBA aE 2 当0 时 n m nm EABEBA 48 设 111213 212223 313233 aaa Aaaa aaa 1 100 010 201 P 2 001 010 100 P 求 1 100 12 PAP 2 100999 12 PAP 49 1 把矩阵 1 0 0 a a 表示 1 01 x 及 10 1y 类型的矩阵的乘积 2 设 ab A cd 为一复矩阵 且A 1 50 设A是n阶方阵 且A 1 证明A可表示为第三种初等矩阵的乘积 51 设n阶非奇异矩阵A中每行元素之和都等于常数c 证明0c 且 1 A 中每行元素之和都 等于 1 c 52 设A是二阶方阵 且 2 AE 但AE 证明AE 5AE 的秩都是 1 53 若A B是n阶方阵 且0AB 那么秩 A 秩 B n 54 设A是m n 阶矩阵 B 是nm 阶矩阵 且nm 若 m ABE 证明 r Amr B 55 1 设A为一个n阶方阵 秩1A 则 1 2 12n n a a Abbb a L M 2 AkA 这里k为 常数 2 设A为一个 2 阶方阵 证明如果0 l A 2l 那么 2 0A 56 设A为n阶方阵 证明 1 如果 2 AE r AEr AEn 2 如果 2 AA 则 r Ar AEn 57 设A是 2 n n 阶方阵 证明 2 nAAA 58 设A是n阶方阵 且秩Ar 证明 1 A可表示成r个秩为 1 的方阵的和 2 存在一个n阶方阵可逆方阵P 使 1 PAP 的后nr 个行全为零 59 设 ijsn Aa ijnm Bb 证明秩AB 秩A 秩Bn 60 设mn 矩阵的秩为r 则有秩为r的mr 的矩阵F和秩为r的rn 矩阵G 使 AFG 61 设A B为n阶方阵 且ABAB 证明ABBA 62 设分块矩阵 AB CD 是对角阵 且A可逆 证明存在可逆矩阵P 使得 1 0 0 A P DCA B 63 设A为n阶方阵 证明 r A Ar AAr A 64 设A为n阶方阵 证明 12 nnn r Ar Ar A L 1 按通常几何向量的加法及与数相乘的运算的运算 检验下列各集合是否构成线性空间 1 空间中与一个已知向量 平行的全体向量添上零向量所组成的集合V 2 空间中不平行于一个已知向量 的全体向量所成的集合 3 起点在原点 终点在一条直线上的空间向量全体所成的集合V 2 按通常多项式加法及数乘法运算 下面的集合是否构成数域P上的线性空间 1 数域P上次数低于定数n的多项式全体并添上0所成的集合 nP x 2 已知数域P上多项式 g x g x的所有倍式所成的集合 g x 3 按通常数域P上n维向量的加法及数乘法运算 下面的n维向量集合是否构成数域P上 的线性空间 1 A为数域P上已知mn 矩阵 12 0 n VXx xxAX L 4 按通常数域P上矩阵的加法及数乘的运算 下面数域P上方阵的集合是否构成数域P上 的线性空间 1 全体n阶对称 或反对陈 上三角 矩阵的集合 2 0 r VX T X 这里 r T X是n阶方阵X的迹 即X的主对角线上全体元素之 和 5 检验以下集合关于指定的运算是否构成相应数域上的线性空间 1 平面上的全体向量关于通常向量的加法和如下定义的系数 V 2 复数域关于通常数的加法以及乘法 看成数乘 3 实数域上的二元笛卡尔积 关于下面定义的二元运算 1122121212 a ba baa bba a 2 11111 1 2 a baba 1122 a b a b 4 次数等于 1 n n 的实系数多项式全体 关于多项式的加法和数乘 5 全体实n阶方阵的集合 关于通常与数的运算及加法定义为 ABABBA 6 设V是数域P上的线性空间 假如V至少含有一个非零向量 问V中向量个数是有限多 还是无限多 有没有 2 nn 个向量构成的向量空间 7 设V是数域P上的线性空间 证明 1 P aaaaV 2 P ababa bV 3 P kkkkV 4 Pkk 8 设M N是两个非空集合 且Mm Nn 问 1 从M到N可建立多少个映射 2 从M到N可建立满射 单射 双射的条件分别是怎样的 各能建立多少个 9 M是数域P上全体n阶方阵的集合 定义 AA 问 是从M到P的一个映射吗 其中A为方阵A的行列式 10 令M 所有非负实数 M 0 1 试给出M到M的一个映射 11 试在闭区间 0 1 与 a b ab 间建立两个映射 12 给出整数集到自然数集的两个不同映射 13 1 设 2 3 P 数域 P 上 2 3 的矩阵 试问对应关系 123456 TAx x x x x x 123 456 xxx A xxx 2 3 P 是否构成从 2 3 P 到 6 P的一个映射 2 设 f x是数域P上次数为n的多项式 问对应关系 0101 nnn f xaa xa xaaa LL 是否构成从集合 1 nP x 数域P上n次多项式 到P的一个映射 14 设 是集合X到Y的一个映射 而A与B是X的任二非空字集 证明 1 ABAB UU 2 ABAB II 15 设 与 分别是从集合A到B以及从B到C的映射 证明 1 若 都是单射 则 是单射 反之 若 单射 则 是单射 2 若 都是满射 则 是满射 反之 若 单射 则 是单射 16 设A是一个非空集合 P A是A的幂集 即由A的一切子集所作成的集合 证明不存 在 P A到A的双射 17 下列哪些是二元运算 为什么 1 全体整数 令 b a ba a b 2 实数集 令3 a bab a b 3 令 1 1 A 令3a bab 12 A AA 4 P A是A的幂集 令 1212 AAAA I 5 第 4 小题中 如果令 1212 AAAA U呢 18 证明线性空间定义的八个条件中向量加法满足交换律不是独立的 即它可以由其余七个 条件推出 19 证明 若 123 f xfxfx为线性空间 P x中三个互素的多项式 但其中任意两个都 不互素 则它们必线性无关 20 求下列各线性空间的维数与一组基 1 n n P 中全体对陈 反对陈 上三角 矩阵做成的数域P上的空间 2 实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间 其中 2 100 00 00 A 13 2 i 21 设 12 m V VVL是数域P上m个线性空间 令 12 mii VV L V中元素的相等 线性运算如前 证明 1 V作成P上的线性空间 2 当 12 m V VVL的维数分别为 12 m n nnL时 V的维数为 12m nnn L 22 将向量 表示成向量 1234 的线性组合 其中 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 23 判断下列向量是线性相关还是线性无关 1 1 1 0 0 2 1 1 0 3 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 5 1 3 4 3 7 24 设 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 t 1 问t为何值时 向量组 123 线性无关 2 问t为何值时 向量组 123 线性相关 3 当向量组 123 线性相关时 将 3 表示成 12 的线性组合 25 设 112 2 212 312 3 证明 123 线性相关 26 如果向量组 12 s L线性无关 试证明向量组 11212 s LL线性 无关 27 设 12 线性无关 1 12 线性相关 求向量 用 12 线性表示的 表达式 28 设 1 0 1 2 2 3 1 0 3 2 1 0 与 1 1 0 0 2 1 2 0 3 1 2 3 是 3 中的两组向量 证明向量组 123 与 123 等价 29 在线性空间V中 设向量 可经 1 r L线性表示 但不能经 121 r L线性表示 证明 向量组 1 r L与向量组 121 r L等价 30 设 12 r L线性无关 12 r L线性相关 则 或 中之一可经 12 r L线性表示 或 12 r L与 12 r L等价 31 设 为线性空间V中的 3 个向量组 若 可经 线性表示 可经 线性表示 则 可经 线性表示 32 设 12 iiis L是秩为r的向量组 12 t srt L线性无关 14 求下列线性变换在指定基下的矩阵 1 在 nP x中 线性变换A为 1 f xf xf x 基为 0 1 1 1 1 2 1 i x xxi in i L L 2 在 2 2 P 中 定义 abab A XX cdcd 基取作 11122122 EEEE 3 在 3 P中 2 4 3 A a b cbc aba 基 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 0 4 在 2 2 P 中 A XXN B XMX 10 20 M 11 11 N 求AB与 AB 在基 11122122 EEEE下的矩阵 15 设三维线性空间V上的线性变换A在基 123 下的矩阵为 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 求在 1 基 321 下的矩阵 2 基 123 0 kk 下的矩阵 3 基 1223 下的矩阵 16 A是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换 证明如果A在V的任意一组基下矩阵 都相同 那么A是V上的数乘变换 17 在 线 性 空 间 中 取 定 两 组 基 1 1 0 1 T 2 2 1 0 T 3 1 1 1 T 1 2 2 1 T 2 2 2 1 T 3 2 1 1 T 定义线性变换A为 1 2 3 ii Ai 1 写出由基 到基 的过渡矩阵 2 写出A关于基 的矩阵 3 写出A关于基 的矩阵 18 在 线 性 空 间 3 中 已 知 线 性 变 换A在 基 1 8 1 7 T 2 16 7 13 T 3 9 3 7 T 下的矩阵为 11815 12220 12522 A 求A在基 1 1 2 1 T 2 3 1 2 T 3 2 1 2 T 下的矩阵 19 求实数域上线性空间V上的线性变换A的所有特征值与特征向量 并判断能否相似对角 化 若能 写出非退化替换 已知A在某一组基下的矩阵为 1 310 410 482 2 001 010 100 3 1111 1111 1111 1111 20 上题中哪些变换在适当的基下的矩阵为对角阵 可以的话 试写出相应基的过渡矩阵 并验算 1 TAT 21 在 nP x中 求微分变换D的特征多项式 并证明D在任一组基下的矩阵都不可能是对 角矩阵 22 设 142 034 043 A 求 0 k A k 23 设 1234 是四维线性空间V的一组基 V上线性变换A在这组基下的矩阵为 5243 3132 195 3 222 103117 A 1 求在基 11234 2 2123 2 33 44 下的矩阵 2 求A的特征值与特征向量 3 求一个可逆矩阵T 使 1 TAT 成对角形 24 设 A B是线性变换 22 AA BB 证明 1 如果 2 ABAB 那么0AB 2 如果ABBA 那么 2 ABABABAB 25 设A是数域P上n维空间V上的线性变换 试证明 1 不用哈密顿 凯莱定理 证明在P x中有一次数小于等于 2 n的多项式 f x 使得 0f A 2 A可逆的充要条件是有一常数项不为 0 的多项式 f x 使得 0f A 26 设 1 W和 2 W是n维空间上的两个子空间 其维数之和等于n 证明存在V的线性变换 使 1 1 0 AW 2 AVW 27 设A是一个n阶下三角阵 证明 1 若 iijj aaij 则A相似于对角阵 2 若 1122nn aaa L 而至少有一个 00 00 0 i j aij 则A不与对角阵相似 28 设V是复数域上n维空间 A B为V的线性变换 且ABBA 证明 1 如果 0 是A的特征值 则 0 V 是B的子空间 2 A B至少有一个公共特征向量 29 A为数域P上n维线性空间 证明V上的任一线性变换可表为一个可逆变换和一个幂等 变换的乘积 习题习题 1 求下列矩阵在实数域及复数域上所有特征值和特征向量 1 212 533 102 2 123 213 336 3 5311 3111 0010 0022 4 0001 0010 0100 1000 5 021 203 130 6 122 224 242 2 设A为n阶矩阵 证明 T A与A的特征值相同 3 如果n阶方阵A满足 2 AA 则称A是幂等矩阵 试证明幂等矩阵的特征值只是 0 或 1 4 复矩阵A可逆 A的特征值均非零 5 已知n阶矩阵A的特征值为 0 1 求kA的特征值 k为任意实数 2 求IA 的特征向量 6 已知向量 1 1 k 是 211 121 112 A 的逆矩阵的特征向量 试求k的值 7 习题 1 中哪些矩阵在实数域及复数域能与对角阵相似 并求使 1 TAT 为对角阵的可逆阵 T 8 将习题 1 中的 2 4 和 6 的矩阵在实数域上能与对角阵正交相似 并求使 T U AU为对角 阵的正交阵U 9 设 122 212 221 A 1 计算 k A 1 k 2 32 32428AAAE 的所有特征向量 3 求 32 32428AAAE 4 求 32 32428AAAE 10 设n阶方阵A的n个特征值为 1 2 L n 求AE 11 已知三阶矩阵A的特征值为 1 2 3 求 32AAE 12 设 x y为实数 矩阵 124 22 421 Ax 与 5 4 y 相似 求正交阵U 使 T U AU 13 已知 3 阶实对称矩阵A的特征值为 1 1 2 1 3 0 属于 12 的特征向量分 别为 1 1 2 2 2 2 1 2 求A及 1000 A 14 设矩阵 1 53 10 ac Ab ca 1A 又设 0 是A的一个特征值 属于 0 的特征向量 为 1 1 1 求 a b c和 0 的值 15 设A为非零方阵 m为正整数 试证明若0 m A 则A不能与对角阵相似 16 设矩阵 101 020 100 A 矩阵 2 BkEA 其中k 试证明B可对角化 17 设A是数域P上的n阶方阵 试证明 1 不用哈密顿 凯莱定理 在 P x中有一次数小于等于 2 n的多项式 f x 使 0f x 2 A可逆的充要条件是有一常数项不为 0 的多项式 f x 使 0f A 补充题补充题 1 设 12 分别是方阵A的属于 12 的特征向量 若 12 证明 12 不可能是A的特 征向量 进一步 若 12 k k为数 问 1 122 kk 何时不是A的特征向量 2 设 A B是数域P上的两个n阶方阵 且A在P中的n个特征值互异 试证明A的特征向 量恒为B的特征向量的充要条件是ABBA 3 若数域P上n阶方阵A满足 2 AE 则A必相似于形如 1 1 1 1 O O 的矩阵 这里 1 的个数为 nr EA 而 1 的个数为 r EA 4 设n阶复方阵A满足 2 340AAE 试问A是否与某个复对角阵相似 5 设 A B为任意两个n阶方阵 证明 AB与BA有相同的特征多项式 6 设n阶方阵A有n个互异的特征值 B与A有完全相同的特征值 证明存在n阶非奇异矩 阵Q及另一矩阵R 使 AQR BRQ 7 已知A为 3 阶实对称矩阵 1 2 为已知的特征值 已知 1 2 分别为A的属于 1 2 的线性无关的特征向量 1 求A的属于 3 的特征向量 2 1 122 kk 12 k k为实数 是否为的属于的特征向量 1 设 1212 a ab b 为二维实空间 2 R中的任意两个向量 问 2 R对以下所规定 的内积是否作成欧式空间 1 1 22 1 aba b 2 121122 2 aa baa b 3 1 122 1aba b 4 1 122 aba b 5 1 122 35aba b 2 设 1212 nn x xxy yy LL为实空间 n R中任意两个向量 ij Aa 为n阶 实矩阵 证明 n R对于内积 A 作成欧式空间的充分与必要条件是A为正交矩 阵 3 在欧式空间 4 R中 内积按通常定义 求下列向量 与 之间的夹角 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 3 1 5 1 3 1 1 1 2 3 1 1 0 4 1 证明 在任意非零欧式空间V中一定存在向量 11 使 11 0 也同时存在 向量 22 使 22 0 所作成的集合 而N为包含内 积为负的一切向量偶作成的集合 证明 在P与N之间有一个到上的一一映射 5 证明 对欧式空间中任意向量 下列等式成立 1 2222 22 2 2211 44 6 设 12 n L为n维欧式空间V的一组基 为V中任意两个向量 且 1111 nnnn xxyy LL 证明 这组基为标准正交基的充分与必要条件是 1122 nn x yx yx y L 7 设 15 L是五维欧式空间V的一组标准正交基 1123 VL 其中 11521243123 2 求 1 V的一组标准正交基 8 设 12 m L是n维欧式空间V中的一组向量 而 11121 21222 12 m m mmmm L L LLLL L 证明 当且仅当0 时 12 m L线性无关 9 设 1 V是欧式空间V的子空间 1 V 是 1 V的正交子空间 并且 11 VVV 则 1 V 称为 1 V 的正交补 设 1 V 2 V是欧式空间V的两个子空间 1 V 与 2 V 分别是 1 V与 2 V的正交补 证 明 1 1212 VVVV I 2 11 VV 3 1212 VVVV I 10 设 12 m L与 12 m L为欧式空间V的两组向量 证明 如果 1 ijij i jm L 则子空间 11 m VL L与 21 m VL L 同构 11 设T为n维欧式空间V中的一个线性变换 若T对一组基 12 n L中的向量 有 1 2 iiii TTin L 问 T是否一定是正交变换 12 设T为n维欧式空间V中的一个正交变换 12 n L为V的任意一组基 此基的 格拉姆矩阵为G T在此基下的矩阵为A 证明 A GAG 13 设A是一个三阶正交方阵 且1A 证明 存在实数 13tt 使 32 0AtAtAE 14 证明 第二类正交变换一定有特征值1 15 证明 上三角正交矩阵A必为对角矩阵 且对角线上元素为1 或1 如果A的元素 都是正数 则AE 16 证明 正交矩阵A的任意方子块的特征值的模不大于 1 17 证明 实矩阵A的特征根全为实数的充分与必要条件是 存在正交矩阵Q 使 1 Q AQ 为三角矩阵 18 1 设 是欧式空间V中两个不同的单位向量 证明 存在一镜面反射T 使 T 2 证明 n维欧式空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积 19 设T为n维欧式空间V的一个线性变换 T在基 12 n L下的矩阵为A 证明 T 为对称变换的充分与必要条件是 A GGA 其中G为基 12 n L的格拉姆矩阵 20 设 1 T及 2 T为欧式空间V的两个对称变换 证明 1 22 1 TTT T 也是V的对称变换 21 对下列各对称方阵A 求正交矩阵Q 使 Q AQ成为对角形 1 220 212 020 2 222 254 245 3 0041 0014 4100 1400 4 1333 3133 3313 3331 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 用正交线性变换化下列各二次型为标准型 1 222 1231223 2344fxxxx xx x 2 222 123121 323 22448fxxxx xx xx x 3 1234 22fx xx x 4 2222 1234121 314232434 264462fxxxxx xx xx xx xx xx x 23 设 A B是两个实对称矩阵 证明 存在正交矩阵Q 使 1 Q AQB 的充分与必要条件 是 A B的特征多项式的根完全相同 24 设A为n阶实对称矩阵 且 2 AA 证明 存在正交矩阵Q 使 1 1 1 0 0 Q AQ O O 25 设A为实对称矩阵 证明 对任意奇数m 必有实对称矩阵B 使 m BA 当A为 半正定时 对任意正整数m 有实对称矩阵B 使 m BA 26 设A与B是两个是正定矩阵 证明 ABAB 27 设T为欧式空间V的一个变换 如果对V中任意向量 都有 TT 则T必为反对称变换 对不对 如果对 严格证明 如果不对 举出反例 28 设V为一欧氏