山东省冠县武训高级中学高二数学 7.2 直线的方程同步辅导教材.doc

7.2 直线的方程 一、本讲进度 7.2 直线的方程 课本第38页至第44页二、本讲主要内容直线普通方程的五种形式三、学习指导1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底又由点斜式确定。同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项： （1）在选用点斜式y-y0=k(x-x0)（将k作为待定参数）时，应讨论直线斜率k不存在的情形，此时直线方程为x=x0。 斜截式y=kx+b作为点斜式的特例，也有类似问题。点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。 （2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线l上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线l上任取一点p(x，y)（异于p1、p2点），由p1、p2、p三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到： 或借助于斜率概念，有（或等），则： 方程及均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x1(x=x2)及直线y=y1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能通过两点式的分式形式表示出来。若将分式形式改写成整式形式，如，由变形为(x-x1)(y1-y2)=(y-y1)(x1-x2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不为零，直线方程形式为x+y=a（a0）；若截距为零，则直线方程形式为y=kx（k0），此时直线必过原点。 （3）直线方程一般式ax+by+c=0（a2+b20），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为ax+by+c=0”简说成“直线ax+by+c=0”。应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解方程确定有关参数。3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。四、典型例题例1、等腰abc的顶点a（-1，2），ac边所在直线斜率为，点b坐标为（-3，2），求ac、bc及a平分线所在直线方程。解题思路分析：首先正确画出示意图，可以发现点c有两种可能，应分情况求解。ac边所在直线方程：y-2= (x+1)，即x-y+2+=0。当点c为点c1时 abx轴 bac2=，bac1=又 |ab|=|ac1| abc1=ac1b= 直线bc方程：y-2=(x+3)即x-3y+6+3=0 a平分线与线段ab夹角为 a平分线与x轴正方向形成的角为 a平分线方程：y-2=-(x+1)即x+y-2+=0当点c为点c2时，abc2为正三角形，bc2倾斜角为，a平分线倾斜角为，可求得bc边所在直线方程为x+y-2+3=0，a平分线方程为x-3y+6+=0。注：若进一步分析图形的平几性质，因|ba|=|c1c2|，故c1bc2是以b为顶点的直角三角形。由abx轴得bac2=。abc2为正三角形，abc1=，即为直线bc1倾斜角。下求有关直线方程亦相当简单。在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由bc1bc2，求出后，立即可以求；两种情况下的角a平分线亦互相垂直，求出第一种情形下a平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角a平分线斜率。例2、过点p（2，1）作直线l分别交x轴、y轴正半轴于a、b两点，求出aob面积最小时直线l的方程。解题思路分析：从条件分析，因涉及到过定点p，故可选用点斜式，将斜率k作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。从结论分析，这是一个最值问题。应将aob面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求该函数的最小值。思路一：直线l的斜率显然存在，设直线l：y-1=k(x-2)，由直线l的几何位置可知k0，b0（实际上，a2，b1） pl 则aob面积s=问题转化为在条件下求二元函数s的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方法。由得b=s=令t=a-2，则t0，s=当且仅当，（舍负）时等号成立，此时a=4，b=2，a（4，0），b（0，2）注1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点p在ab中点。在与本题相仿的条件下，记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。思路三：对于本题中的直线l，在过点p的条件下，实际是无数条直线，称这些直线为放置直线系（束），k为变量。k与倾斜角是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。分析图形特征，当l绕点p绕转时，点p与坐标轴围成矩形面积ompn为常数，l引起的是两rtbnp、rtpma的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。设bao=，（0，）则 (4tan+cot) =4当且仅当4tan=cot，tan=，=arctan时，smin=4，此时直线l方程：x+2y-4=0。例3、对于直线l上任意点（x，y），点（4x+2y，x+3y）仍在直线l上，求直线l方程。解题思路分析：法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。为了保证两点（x，y），（4x+2y，x+3y）同时在直线上，令 解之得 可知直线l过原点，其方程特征为ax+by=0（即常数项为0），下面再确定参数a、b。 点（4x+2y，x+3y）在直线上 a（4x+2y）+b(x+3y)=0 (4x+b)x+(2a+3b)y=0设方程表示的直线其实就是直线ax+by=0 2a2-ab-b2=0 a=b，或b=-2a 直线方程为x+y=0或x-2y=0法二：若用待定系数法，只能选用两个参数设l：y=kx+b则 x+3y=k(4x+2y)+b x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b (2k2+k-1)x+2(k-1)b=0 xr 或 直线l：x-2y=0，或x+y=0例4、已知abc中，a(1，3），ab、ac边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0，y-1=0求abc各边所在直线方程。解题思路分析：尽可能画出准确的示意图。设ab、ac中点分别为e、f显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点又与三角形顶点相关，均考虑求abc的顶点坐标。由已知两点的几何条件求直线方程。 cce，ce方程为x-2y+1=0 可设点c(2y0-1，y0)，则点f(y0，) fbc，bf方程y-1=0 y0=-1 c(-3，-1)同理可求得b（5，1） abc三边所在直线方程为ab：x+2y-7=0bc：x-4y-1=0ac：x-y+2=0五、同步练习 （一）选择题 1、直线l：的倾斜角是a、 b、 c、 d、2、a、bn，则过不同三点（a，0），（0，b），（1，3）的直线条数为a、1 b、2 c、3 d、多于33、点a（3，0），b（0，4），动点p（x，y）在线段ab上运动，则(xy)max为a、3 b、 c、 d、4、已知点a（3，3）、b（-1，5）、直线l：y=kx+1与线段ab有公共点，则k取值范围是a、(，-)(-,+) b、-4，-)(-c、-4， d、（-，-4，+）5、直线l：ax+by+c=0过第一、二、三象限，则a、 b、 c、 d、6、直线l：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线x轴上截距为3，则m等于a、6 b、-6 c、 d、7、直线2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转450所得直线方程是a、x-3y-2=0 b、3x-y+6=0 c、x-y-2=0 d、3x+y-6=08、等腰aob中，ao=ab，点o（0，0），a（1，3），点b在x轴正半轴上，则直线ab方程为a、y-1=3(x-3) b、y-1=-3(x-3) c、y-3=3(x-1) d、y-3=-3(x-1) （二）填空题9、过点（2，1），且倾斜角满足sin=的直线方程是_。10、过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是_。11、已知直线y=kx+b，当x-3，4时，y-8，13，则此直线方程是_。12、直线l与x轴、y轴的正向交于a、b，saob=2，且|ao|-|bo|=3，则直线l方程_。13、直线3x-4y+k=0在两坐标轴上截距之积为2，则实数k=_。14、若直线(a-1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上截距相等，则实数a=_。15、已知直线l过点（1，-1）且倾斜角等于直线y=2x+1的倾斜角的两倍，则直线l方程_。 （三）解答题16、已知直线l过点p（-1，3）且与x轴、y轴分别交于a、b，若线段中点为p，求l方程。17、直线l过p（-2，1），斜率为k（k1），将直线l绕点p逆时针方向旋转450得直线m，若直线l和m分别与y轴交于q、r两点，则当k为何值时，pqr面积最小？求出面积的最小值。18、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点p（2，3），求经过两点q1（a1，b1），q2(a2，b2)的直线方程。19、a是直线l：y=3x上一点，且a在第一象限内，直线ab交x轴正半轴于c，求使aoc面积最小时a点坐标。20、已知3a+4b+5c=0，求直线l：ax+by+c=0必过某定点p，并求点p坐标。六、参考答案 （一）选择题1、c。 ，0，），=+arctan(-)2、b。 ，a、bn，1-a=3，1,当a=2时b=6；当a=4时b=4。3、a。 pab，且x0，y0。，xy3。4、d。 如图，直线l表示过p（0，1）的旋转线系，当l从pa逆时针旋转到y轴时，k；当l从y轴逆时针旋转到pb时，k-4，k-4，或k。5、d。 化一般式为斜截式y=-，当l过第一、二、三象限时，k0且b0，且，0且，ab0且bc0时，f(x)在-3，4上递增，；当k0，b0），则，。13、-24。令x=0，y=，令y=0，x=-，则，k=-24。14、0，或2。显然a1，a3，令x=0，y=；令y=0，x=。令，解之得a=0，或2。15、4x+3y-1=0。设直线y=2x+1倾斜角为，则tan=2，=，直线l方程为y+1=-(x-1)，即4x+3y-1=0。 （三）解答题16、解：设a（a，0），b（0，b），则， 直线l方程，即3x-y+6=0。17、解；设直线l倾斜