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1 概率论与数理统计 四 王柱2013 03 11 2 样本空间 随机试验E 必然事件 基本事件 不可能事件 包含关系 相等关系 随机事件A A 第一章概率论的基本概念 相交关系 互斥关系 对立关系 并 和 事件 交 积 事件 补 对立 事件 差事件 3 运算原理 交换结合分配对偶 4 1 P A 0 非负性 2 P 1 完全性 3 可列可加性 称为概率空间 是指 在随机试验E的样本空间 上 对每个事件A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 如果这个集合函数P 满足下列条件 即可列个Ai i 1 2 则有 概率的定义 A P 5 有性质 1 P 0 2 有穷可加 3 P A 1 4 5 6 加法公式 也可写成 6 S A P 为概率空间 A B为两个事件 且P A 0 则称P B A P AB P A 为 在事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率 条件概率定义 乘法定理 设P AB 0 则有P ABC P C AB P B A P A 设P A1 A n 1 0 则有P A1 An P An A1 A n 1 P A n 1 A1 A n 2 P A2 A1 P A1 设P A 0 则有P AB P B A P A 又设P B 0 还有P AB P A B P B 7 定义 随机试验E的样本空间为 B1 B2 Bn为E的一组事件 若 1 两两不相容且 2 它们的和集为 则称B1 B2 Bn为 的一个划分 也叫完备事件组 定理 随机试验E的样本空间为 B1 B2 Bn为 的一个划分 且P Bi 0 i 1 n A为E的一个事件 则P A P A B1 P B1 P A Bn P Bn 称为全概率公式 8 定理 随机试验E的样本空间为 A P A A为E的一个事件 P A 0 B1 B2 Bn为S的一个划分 且P Bi 0 i 1 n 则P Bi A P A Bi P Bi P A P A Bi P Bi P A B1 P B1 P A Bn P Bn 称为贝叶斯公式 9 例04 1八支枪中 有三支未经试射校正 五支已经试射校正 校正过的枪射击时 中靶的概率为0 8 未校正的枪射击时 中靶的概率为0 3 今从8支枪中任取一支射击中靶 问所用这枪是校正过的概率是多少 解设事件B 射击中靶 A1 任取一枪是校正过的 A2 任取一枪是未校正过的 则故所求概率为 10 独立性 定义 A B为两事件 如果等式P AB P A P B 成立 则称 A B为互相独立 的事件 可以证明 A与B互相独立 则Ac与B A与Bc Ac与Bc互相独立 定理 A B为两事件 且P A 0 则 A与B相互独立 与 P B A P B 等价 11 一般 A1 A2 An为E的一组n个事件 相似的可定义 两两 三三 及 n个相互独立 定义 A B C为三个事件 如果三个等式P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 成立 则称A B C为 两两独立 的事件 若再加一个等式P ABC P A P B P C 成立 则称 A B C为互相独立 的事件 12 例04 2若生产某产品经过5道工序 每道工序的不合格率分别为0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 假定工序之间是相互独立的 求该产品的合格率和不合格率 解设 第i道工序生产合格 则 13 例04 3设某科学工作者每次试验成功的概率是0 01 试问他要做多少次试验才能十拿九稳的做到试验成功 假定试验与试验之间是相互独立的 解设某科学工作者要做N次试验才能十拿九稳的使试验成功 又设F 某科学工作者一次试验失败 C 某科学工作者N次试验失败 由题设知 14 例04 4 如下之 并 联起 串连电路 并串图 设继电器闭合与否相互独立 每个继电器闭合的概率为p 求L至R为通路的概率 1 2 3 4 L R 注意 A A1A2 A3A4P A P A1A2 P A3A4 P A1A2A3A4 P A1 P A2 P A3 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 p2 p2 p4 2p2 p4 15 再看 串 连起 并联电路 串并图 由于 A A1 A3 A2 A4 A1cA3c A2cA4c c 1 2 3 4 L R 设继电器闭合与否相互独立 每个继电器闭合的概率为p 求L至R为通路的概率 P A 1 P Ac 1 P A1cA3c A2cA4c 1 1 p 2 1 p 2 1 p 4 1 2 1 p 2 1 p 4 16 独立试验序列 假若一串试验具备下列三条 1 每一次试验只有两个结果 一个记为 成功 一个记为 失败 2 成功的概率p在每次试验中保持不变 3 试验与试验之间是相互独立的 则这一串试验称为独立试验序列 也称为Bernoulli概型 17 在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率 1 n次试验中恰有k次 成功 的概率 2 第k次试验首次出现 成功 的概率 请读者自行证明第1种事件的概率为 此被称为二项分布 第2种事件的概率为 此被称为几何分布 18 例04 5 将一枚硬币独立的掷两次 引进事件 则 a 相互独立 b 相互独立 c 两两独立 d 两两独立 19 例04 6 设A B为随机事件 且 则必有 A B C D 20 第二章随机变量及其分布 2 1随机变量 定义2 1 1 随机试验E A P 为概率空间 对于每个e 都有一个实数X e 与之对应 这样就得到一个定义在 上的单值实函数X X e 如果对于任意的实数x X x 表示 e X e x 都是属于A中的事件 则称X为随机变量 21 显然 定义域为 X e 所有可能取值的全体 称为值域 R 对于任意的实数集合L X L 表示事件 e X e L 又若 A P 为概率空间 对于任意的实数集合L 令PX L P e X e L 则 R R PX 也为概率空间 在其上令X X x x 也是随机变量 注意X与X 取值的概率情况相同 22 例04 7 E 接连抛三次硬币 正面出现的次数 HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT e1e2e3e4e5e6e7e8 X 32212110 0123 X 0123 PX 1 83 83 81 8 这样就得到一个定义在 S上的单值实函数X X e 叫随机变量 实数集合L 0 1 X L 表示事件 e X e L e4e6e7e8 23 随机变量的特性 1 随试验的结果而取不同的值 2 试验前 能知道它可能的取值范围 却不能预知它确切的取值 4 取值有一定的概率 3 定义域为样本空间 值域 R 注意 与普通函数 概率函数的区别 例 正面数 呼叫次数 寿命 24 再例 E5 纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 E6 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 5 0 1 2 3 6 t t 0 X5 0 1 2 3 X6 t t 0 25 定义2 2 1 一个随机变量 若它全部可能取到的值是有限个或可列无限个 称为离散 型 随机变量 2 2离散随机变量的概率分布 例 正面数 呼叫次数 是 寿命 不是 26 显然 掌握一个离散随机变量X的统计规律 必需且只需知道 X的所有可能取的值 以及取每一个可能值的概率 设 离散随机变量可能取的值为xk k 1 2 显然 1 Pk 0 k 1 2 2 称为离散型随机变量的概率分布或分布律 反之满足这两点的 pk 叫概率函数 它一定是某个离散型随机变量的概率分布或分布律 X取可能值的概率为pk P X xk k 1 2 27 写为 注意 离散型的概率分布是属于随机变量的 概率空间上可以定义多个不同的随机变量的分布 考虑 有4个信号灯 P为显红灯的概率 X首次停时已通过的路口数 01234pqpq2pq3pq4 28 0 0 1 分布 定义 随机变量X只可能取0或1两个值 它的分布律是P X k pkq 1 k k 0 1 0 p 1 称此X为服从 0 1 分布 例如 性别 合格 扔币 标准 29 1 贝努利试验的二项分布 将随机试验E重复进行n次 若每次试验的结果互不影响 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果 则称这n次试验是相互独立的 设试验E只有两个可能结果A和Ac P A p P Ac 1 p q 0 p 1 将该试验E独立的重复进行n次 则称这串重复的独立试验为n重贝努利 Bernoulli 试验 简称贝努利试验 30 若 X为n重贝努利试验中事件A发生的次数 则X为随机变量 它所有可能取的值为0 1 2 n 取这些可能值的概率为pk P X k Cnkpkq n k k 0 1 2 n 这正好是 p q n的二项展开式中出现pk的项 故 称此X为服从参数为n p的二项分布 记为X B n p 31 例2 某电子元件寿命超过1500小时为一级品 已知某一大批元件的一级品率为0 2 从中随机抽取20件 独立 问20件元件中恰有k只 k 0 1 20 为一级品的概率 解 因为 一大批 可视为 放回抽样 误差不大 进一步 可视为 20重贝努利试验 它所有可能取的值为0 1 2 20 取这些可能值的概率为pk P X k Cnk0 2k0 8 n k k 0 1 2 n 例04 8 32 2 几何分布 若随机变量X 它所有可能取的值为1 2 3 取这些可能值的概率为 则称随机变量X服从几何分布 其实 在有放回抽样时 每次取一个产品 观察后即放回 再取下一个 设直至第一次出现不合格品所需抽样产品个数为X X所可能取的值为 表示前次抽取都抽到合格品 而在第次抽取才抽到不合格品 X是服从几何分布的 前已证明 在独立试验序列中 第k次试验首次出现 成功 的概率服从几何分布 33 3 超几何分布 设一堆同类产品共个 其中有个不合格品 现从中任取个 假定 则这个产品中所含的不合格品数是一个离散型随机变量 的概率分布如下 这里 这个概率分布称为超几何分布 34 下面来讨论超几何分布与二项分布的关系 我们来证明 若当时 不变 则 35 证明思路 36 4 泊松分布 若 随机变量X 它所有可能取的值为0 1 2 取这些可能值的概率为pk P X k ke k k 0 1 2 其中 0是常数 则称X为服从参数为 的泊松分布 记为X 例 呼叫次数 印刷错误 遗失信件 急诊人数 交通事故数 粒子计数 37 例2 2 1放射性物质在某一段时间内放射的粒子数是服从泊松分布的 Rutherford和Geiger观察了放射性物质放出的粒子个数的情况 一共做了2608次观察 每次观察的时间是7 5秒 总共观察到10094个粒子 如表所示 从表中 我们看到按算出的跟的频率相当接近 例04 9 38 放射的粒子数为何服从泊松分布 首先把体积为V的某放射性物质设想分割为n份相同体积的小块 并假定 1 对于每个特定的小块而言 在7 5秒内放出两个以上粒子的概率为0 实际上 放射两个以上的概率很小很小 可以忽略 而放出一个粒子的概率为 即只跟体积的大小成正比 而跟那一个小块无关 比例系数为 39 2 各小块是否放出粒子是相互独立的 在这两条假定下 7 5秒内体积为V的某放射性物质放出k个粒子 可近似地看作在V的n个独立的小块中 恰有k块放出粒子 n k块不放出粒子 于是 放出k个粒子的概率 就可按独立试验序列来近似计算 然而 上式只是个近似式 容易理解 把V无限细分 就能得到的精确式 也就是说 下面 我们来求出这个极限值 记 则 40 泊松定理 0是一常数 n是任意正整数 设npn 则对于任意固定的非负整数k 有 41 证明思路 对于固定的k 当n 时 42 从而得到泊松定理 注意 定理的条件npn 意味着当n很大时pn必定很小 因此 当n很大 p很小时 右边 为 左边 的近似式 从以上的分析推导过程看出 某一具体问题 只要它符合类似于 1 2 的条件 那么就会出现服从泊松分布的随机变量 因此 有很多具体问题 它们的性质虽然各不相同 但它们的随机变量都服从泊松分布 演示12 演示13 43 已知一电话总机每分钟收到传呼次数为一随机变量 服从的泊松分布 求 1 每分钟恰有8次传呼的概率 2 每分钟传呼次数大于8的概率 解 例04 10 44 已知某自动机床产品的次品率为0 001 从产品中任取5000个 求这5000个产品中次品超过5的概率 解 设5000个产品中次品数为 则 于是所求概率 如果直接按二项分布公式计算 计算量很大 由于很大 很小 这时不很大 可以利用泊松定理 可得 例04 11 45 例 某人进行射击 设每次射击命中率为0 02 独立射击400次 求至少击中两次的概率 P X 1 1 P X 0 P X 1 1 0 98 400 400 0 02 0 98 399 np 8 P X 1 1 P X 0