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本资料来源于七彩教育网线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角:(1)范围:;(2)求法;2、直线和平面所成的角:(1)定义:(2)范围:;(3)求法;3、一些常见模型中的角之间的关系。【典型例题】例1:(1)在正方体中,下列几种说法正确的是 ( )A、 B、 C、与成角 D、与成角答案:D。解析:A1C1与AD成45,D1C1与AB平行,AC1与DC所成角的正切为。(2)在正方体AC1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成300角的平面的个数为 ( )A、2个 B、4个 C、6个 D、8个答案:B。解析:平面A1ACC1,平面BB1D1D,平面ABC1D1,平面A1D1CC1。(3)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面边长是1,侧棱长是,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 ( )A90 B60 C45 D30答案:B。解析将BC1平移到E1F即可。 (4)在空间四边形ABCD中,ABCD,BCDA,那么对角线AC与BD的位置关系是 。 答案:ACBD。解析:过A作AH平面BCD,垂足为H,因为CDAB,BCAD,所以CDBH,BCDH,故H为BCD的垂心,从而BDCH,可得BDAC。(5)点AB到平面距离距离分别为12,20,若斜线AB与成的角,则AB的长等于_ _.答案:16或64。解析:分A、B在平面的同侧和异侧进行讨论。例2:如图:已知直三棱柱ABCA1B1C1,ABAC,F为棱BB1上一点,BFFB121,BFBC2a。(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EFFC1; (II)试问:若AB2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角,为什么?证明你的结论。答案:(I)连结DF,DC 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,CC1平面ABC,平面BB1C1C平面ABCABAC,D为BC的中点,ADBC,AD平面BB1C1C DF为EF在平面BB1C1C上的射影,在DFC1中,DF2BF2BD25a2,DC210a2,B1F25a2,DF2,DFFC1 FC1EF (II)AD平面BB1C1C,DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 在EDF中,若EFD60,则EDDFtg60,ABCDP,E在DA的延长线上,而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60角。 例3: 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC=的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面PAB底面ABCD.()证明:BC侧面PAB;()证明: 侧面PAD侧面PAB;()求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;答案: ()证: 侧面PAB底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中, BCAB,.BC侧面PAB. ()证: 在矩形ABCD中, ADBC, BC侧面PAB, AD侧面PAB. 又AD平面PAD, 侧面PAD侧面PAB.()解: 在侧面PAB内, 过点P做PEAB, 垂足为E, 连结EC, 侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, PEAB, PE底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影. PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在PAB和BEC中, 易求得PE=, EC=.在RtPEC中, PCE=45. 例4:设ABC内接于O,其中AB为O的直径,PA平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.答案:【课内练习】1若平面外的直线与平面所成的角为,则的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D)答案:D。解析:a和平行,a和斜交。2在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD、DC的中点,则直线OM ( )A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MNC 垂直于MN,但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直答案:A 。解析:易证OMAC,OMMN。3设正四棱锥SABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角是( )A30B45C60D90答案:C 。解析:连AC、BD交于O,连OE,则OE/SC.4异面直线a , b所成的角为,过空间一定点P,作直线L,使L与a ,b 所成的角均为,这样的直线L有 条。 答案:三条。解析:如换成50,70呢。5已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且DPA=450,DPB=600,则DPC=_。答案:600 。解析:以PD为对角线构造长方体6正方体AC1中,过点A作截面,使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等,试写出满足条件的一个截面_答案:面AD1C。解析:可得12条棱分成三类:平行、相交、异面,考虑正三棱锥D-AD1C,7如图,四面体ABCS中,SA,SB,SC两两垂直,SBA=45,SBC=60,M为AB的中点,求:(1)BC与平面SAB所成的角;(2)SC与平面ABC所成角的正弦值。解析:(1)SCSB,SCSA,SC平面SAB。于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角,为60。(2)联结SM,CM,在RtSAB中,SBA=45,SMAB,AB平面SCM。作SHCM于H,则ABSH,故SH平面ABC,所以SCH为SC与平面ABC所成的角。设SA=a,则SB=a,SC=,SM=。在RtCSM中,。即SC与平面ABC所成角的正弦值为。8如图,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,求证:A1C平面BDE;求A1B与平面BDE所成角的正弦值。答案:由三垂线定理可得,A1CBD,A1CBEA1C平面BDE以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立坐标系,则,设A1C平面BDEK,由可知,A1BK为A1B与平面BDE所成角,9A是BCD所在平面外的点,BAC=CAD=DAB=60,AB=3,AC=AD=2. ()求证:ABCD; ()求AB与平面BCD所成角的余弦值.答案:()BAC=CAD=DAB=60, AC=AD=2,AB=3, ABCABD,BC=BD.取CD的中点M,连AM、BM,则CDAM,CDBM. CD平面ABM,于是ABBD. ()由CD平面ABM,则平面ABM平面BCD,这样ABM是AB与平面BCD所成的角.在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=60,. 在ACD中,AC=AD=2,CAD=60,ACD是正三角形,AM=. 在RtBCM中,BC=,CM=1,.10已知等腰DABC中,AC = BC = 2,ACB = 120,DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4,求直线PC与平面ABC所成的角。答案:设点P在底面上的射影为O,连OB、OC,则OC是PC在平面ABC内的射影,PCO是PC与面ABC所成的角。 PA = PB = PC,点P在底面的射影是DABC的外心,注意到DABC为钝角三角形,点O在DABC的外部,AC = BC,O是DABC的外心,OCAB在DOBC中,OC = OB, OCB = 60,DOBC为等边三角形,OC = 2 在RtDPOC中,PCO = 60 。【作业本】A组1垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能答案:D。解析:注意空间和平面中的位置关系的不同。2是平面的斜线,与成角,与在内的射影成角,则与所成角的大小为 。答案:。解析:,即=。3是两两成角的三条射线,则与平面所成角的余弦值是( )A B C D答案:C。解析:可放入正四面中考虑。4直线与平面成角为300,则m与所成角的取值范围是 。答案: 300 , 900。解析:斜线与平面内所有直线的所成角中,线面角最小角。5边长为2的正方形ABCD在平面内的射影是EFCD,如果AB与平面的距离为,则AC与平面所成角的大小是 。答案:。解析:。6如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1DAN,求:(1) ;(2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切;(3) 平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值.解析:(1) 以A为原点,AB、AD、AA1所在直线 为x轴,y轴,z轴.则D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM,又由已知A1DAN,平面AMN,垂足为N.因此AD与平面ANM所成的角即是(3) 平面ABCD,A1N平面AMN,分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为,则PBCA7已知ACB=900,且在平面内,PC与CA、CB所成角PCA=PCB=600,求PC与平面所成角。PBCAEDH答案:解:如图过点P作PH平面ABC于H,过点H作HDAC于D,作HEBC于E,连PD、PE,PDAC,PEBC,PCA=PCB=600,PCDPCE,CD=CE,HCDHCE,HD=HE,CH平分ACB,设PC=aPCH=450,即PC与平面所成角为450。8. 如图,正方形ACC1A1与等腰直角ACB互相垂直,ACB=90,E、F分别是AB、BC的中点, G是AA1上的点.(1)若,试确定点G的位置;(2)在满足条件(1)的情况下,试求cos,的值.解析:(1)以C为原点,为x轴正方向,为y轴正方向,为 z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系。令,则,设,则,由得,G为AA1的中点。(2),。B组1一条直线与一个平面所成的角等于,另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直线的位置关系( )A必定相交 B平行 C必定异面 D不可能平行ABCDP答案:D。解析:若平行则直线与平面的所成角必相等。2如图正四面体D-ABC中, P面DBA, 则在平面DAB内过点P与直线BC成60角的直线共有 ( )A 0条 B 1条 C 2条 D 3条答案:C。解析:过B分别作BD,AB的平行线即可。3正方体ABCD-ABCD中,点P在侧面BCCB及其边界上运动,并且总保持APBD,则动点P的轨迹 ( )A、线段BC B、BB的中点与CC中点连成的线段C、线段BC D、CB中点与BC中点连成的线段答案:A。解析:B1C面BD1C1,P点轨迹为线段B1C。4设为直二面角,BANCAN45,则BAC 。答案:60。解析:。5一个直角三角形的两条直角边长为2和4,沿斜边高线折成直二面角,则两直角边所夹角的余弦值为_。答案:。解析:CD为斜边上的高,设为二面角的平面角,6在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABCD,ADC120,求证:求异面直线AD,PB的所成角;若AB的中点为E,求二面角DPCE的大小。答案:连BD,ADC120,ABCD,DAB60,又,ADBD,又PD面ABCD,PDAD,AD平面PDB,ADPB,即异面直线AD、PB的所成角为90。连DE,由已知可得DEC为正三角形,取DC的中点F,连EF,则EFCD,PD面ABCD,EFPD,EF面PCD,过F作FGPC,连EG,则EGF为二面角DPCE的平面角设CDa,则,在PDC中,则 (注:本题用空间向量做也可)7 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=a,BC=CA=AA1=a,A1在底面ABC上的射影O在AC上. ()求AB与侧面AC1所成的角; ()若O恰是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.答案:()在ABC中,AB=,BC=AC=a,ABC是等腰直角三角形,BCAC,CAB=45,又BCA1O,故BC侧面AC1,AB与侧面AC1所成角就是BAC=45.()由()知四边形B1BCC1为矩形,中点,于E,连结A1E,则ABA1E. 在RtAOE中,在R

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