高考数学一轮复习 选考部分 坐标系与参数方程 1 坐标系课件 文.ppt

系列4部分选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系 教材基础回顾 1 伸缩变换 其中点p x y 对应到点p x y 2 极坐标系与点的极坐标在如图极坐标系中 点o是 射线ox是 为 通常取逆时针方向 为 表示极点o与点m的距离 点m的极坐标是 极点 极轴 极角 极径 m 3 直角坐标与极坐标的互化设m是平面内的任意一点 它的直角坐标 极坐标分别为 x y 和 则 cos sin x2 y2 金榜状元笔记 1 明辨两个坐标伸缩变换关系式点 x y 在原曲线上 点 x y 在变换后的曲线上 因此点 x y 的坐标满足原来的曲线方程 点 x y 的坐标满足变换后的曲线方程 2 极坐标方程与直角坐标方程互化 1 公式代入 直角坐标方程化为极坐标方程公式x cos 及y sin 直接代入并化简 2 整体代换 极坐标方程化为直角坐标方程 变形构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 教材母题变式 1 在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后 曲线c变为曲线2x 2 8y 2 1 求曲线c的方程 解析 把代入曲线2x 2 8y 2 1 可得2 5x 2 8 3y 2 1 化为50 x2 72y2 1 即为曲线c的方程 2 已知点m的直角坐标是 1 求点m的极坐标 解析 因为点m的直角坐标是 1 所以所以 所以点m的极坐标为 3 在极坐标系中 求过点 1 0 并且与极轴垂直的直线方程 解析 在直角坐标系中 过点 1 0 并且与极轴垂直的直线方程是x 1 其极坐标方程为 cos 1 4 已知直线l的极坐标方程为2 sin求点到直线l的距离 解析 直线l的极坐标方程为2 sin对应的直角坐标方程为 y x 1 点a的极坐标为它的直角坐标为 2 2 点a到直线l的距离为 母题变式溯源 考向一伸缩变换 典例1 在平面直角坐标系中 求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形 1 5x 2y 0 2 x2 y2 1 解析 伸缩变换 1 若5x 2y 0 则5 2x 2 3y 0 所以5x 2y 0经过伸缩变换后的方程为5x 3y 0 为一条直线 2 若x2 y2 1 则 2x 2 3y 2 1 则x2 y2 1经过伸缩变换后的方程为4x 2 9y 2 1 为椭圆 一题多变 经过伸缩变换后 曲线c变为本例 2 中变换前的曲线 求曲线c的方程 解析 把代入方程x 2 y 2 1 得25x2 9y2 1 所以曲线c的方程为25x2 9y2 1 技法点拨 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y f x 在变换 的作用下的变换方程的求法是将代入y f x 得 整理之后得到y h x 即为所求变换之后的方程 提醒 应用伸缩变换时 要分清变换前的点的坐标 x y 与变换后的坐标 x y 同源异考 金榜原创 1 求曲线x2 y2 1经过 变换后得到的新曲线的方程 解析 曲线x2 y2 1经过 变换后 即将代入圆的方程 可得即所求新曲线方程为 2 在同一坐标系中 求将曲线y sin3x变为曲线y sinx的伸缩变换公式 解析 将曲线y sin3x 经过伸缩变换变为y sinx即y sinx 设伸缩变换公式是 把伸缩变换关系式代入 式得 y sin x与 的系数对应相等得到 变换公式为 考向二极坐标与直角坐标的互化 典例2 在极坐标系下 已知圆o cos sin 和直线l 1 求圆o和直线l的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线l与圆o公共点的一个极坐标 解析 1 圆o cos sin 即 2 cos sin 圆o的直角坐标方程为 x2 y2 x y 即x2 y2 x y 0 直线l 即 sin cos 1 则直线l的直角坐标方程为 y x 1 即x y 1 0 2 由故直线l与圆o公共点的一个极坐标为 误区警示 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式 2 在极坐标系下 点的极坐标不唯一性易忽视 如极坐标 2k k z 2k k z 表示同一点的坐标 技法点拨 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化 1 直角坐标方程化为极坐标方程 将公式x cos 及y sin 直接代入直角坐标方程并化简即可 2 极坐标方程化为直角坐标方程 通过变形 构造出形如 cos sin 2的形式 再应用公式进行代换 其中方程的两边同乘以 或同除以 及方程两边平方是常用的变形技巧 2 极角的确定由tan 确定角 时 应根据点p所在象限取最小正角 1 当x 0时 角才能由tan 按上述方法确定 2 当x 0时 tan 没有意义 这时可分三种情况处理 当x 0 y 0时 可取任何值 当x 0 y 0时 可取 当x 0 y 0时 可取 同源异考 金榜原创 1 在极坐标系中 直线 cos sin 1 0与圆 2cos 交于a b两点 求 ab 解析 因为x cos y sin 所以直线的直角坐标方程为x y 1 0 因为 2cos 所以 2 sin2 cos2 2 cos 所以x2 y2 2x 所以圆的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 因为圆心 1 0 在直线x y 1 0上 所以ab为圆的直径 所以 ab 2 2 已知若以直角坐标系的原点为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 求线段y 1 x 0 x 1 的极坐标方程 解析 因为y 1 x 0 x 1 所以 sin 1 cos 0 cos 1 所以所求的极坐标方程为 考向三极坐标方程的应用 高频考点 典例3 2017 全国卷 在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c1的极坐标方程为 cos 4 1 m为曲线c1上的动点 点p在线段om上 且满足 om op 16 求点p的轨迹c2的直角坐标方程 2 设点a的极坐标为点b在曲线c2上 求 oab面积的最大值 解析 1 设p的极坐标为 0 m的极坐标为 0 0 0 由题设知 op om 0 由 om op 16得c2的极坐标方程 4cos 0 因此c2的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 2 设点b的极坐标为 b b 0 由题设知 oa 2 b 4cos 于是 oab的面积s b sin aob 4cos 当 时 s取得最大值2 所以 oab面积的最大值为2 技法点拨 判断位置关系和求最值问题的方法 1 已知极坐标方程讨论位置关系时 可以先化为直角坐标方程 化陌生为熟悉再进行解答 2 已知极坐标方程解答最值问题时 通常可转化为三角函数模型求最值问题 比直角坐标系中求最值的运算量小 提醒 在曲线的方程进行互化时 一定要注意变量的范围 注意转化的等价性 同源异考 金榜原创 命题点1位置关系问题1 在极坐标系中 判断直线4 cos 1 0与圆 2sin 的公共点的个数 解析 直线方程可化为2 sin cos 1 0 即x 2y 1 0 圆为x2 y 1 2 1 因为圆心到直线的距离d 1 所以有两个交点 命题点2弦长问题2 在直角坐标系xoy中 圆c的方程为 x 2 y 1 2 9 以o为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求圆c的极坐标方程 2 直线op r 与圆c交于点m n 求线段mn的长 解题指南 1 利用直角坐标方程化极坐标方程的方法 求圆c的极坐标方程 2 利用 mn 1 2 求线段mn的长 解析 1 x 2 y 1 2 9可化为x2 y2 2x 2y 5 0 故其极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 5 0 2 将 代入 2 2 cos 2 sin 5 0 得 2 2 5 0 所以 1 2 2 1 2 5 所以 mn 1 2 命题点3最值问题3 在极坐标系中 点a在圆c 2 2 cos 4 sin 4 0上 点p的坐标为 1 0 求 ap 的最小值 解析 圆c x2 y2 2x 4y 4 0 x 1 2 y 2 2 1 所以 ap min pc r 2 1 1 4 在极坐标系中 已知点点p是曲线 sin2 4cos 上任意一点 设点p到直线 cos 1 0的距离为d 求 pa d的最小值 解析 点化为直角坐标为 0 1 曲线 sin2 4cos 即 2sin2 4 cos 可得直角坐标方程 y2 4x 焦点f 1 0 直线 cos 1 0化为直角坐标方程 x 1 0 由抛物线的定义可得 d pf 所以 pa d pa pf af 则 pa d的最小值为 核心素养系列 六十 数学建模 极坐标方程中的核心素养建立有关曲线的极坐标方程 研究解析几何中位置关系 交点坐标 弦长和最值问题 典例 2015 全国卷 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的