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文档简介
第二节曲线的概念2 1曲线的概念 2 曲线一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的 双方连续的在上的映射f 拓扑映射或同胚 下的象叫简单曲线段 1 映射给出两个集合E 法则f 如果通过E中每个点 或元素 x 有中唯一的点与之对应 则说f为从E到的映射 为象 x为原象 一一映射 单射 不同元素的象不同 在上映射 满射 中元素都有原象 双方连续的 一个映射以及它的逆映射都连续 例书中的开园和园柱螺线 2 2光滑曲线曲线的正常点 1 光滑曲线如果曲线的参数表示式中的函数是k阶连续可微的函数 则把这曲线称为类曲线 类的曲线又称为光滑曲线 2 正常点曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点 即若t0为曲线的正常点 则由于所以中至少有一个不为零 3 正则曲线若曲线上任一点都是正常点 则此曲线称为正则曲线 由中至少有一个不为零不妨设 则在曲线的正常点的充分小的邻域里 x x t 在t0邻近有连续可微的反函数t t x 代入y y t z z t 即得这是曲线的另一种表示方法 2 3曲线的切线和法面 2 切线的方程 设曲线上的点都有是正常点 设切线上任一点的径矢为则设则 3 例求园柱螺线上一点处的切线 1 切线割线的极限切向量 4 法面经过切点且垂直于切线的平面 5 法面的方程设是法面上任一点 则或 例题求园柱螺线的法面方程 2 4曲线的弧长自然参数 给出类曲线 C 作分点Pi得折线 长为得弧长若用表a到t的弧长 则这里的积分上限大于下限 所得的曲线的弧长总是正值 弧长公式为 即可
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