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5 双曲面一 单叶双曲面： 例：面上的双曲线绕z轴旋转，所得旋转面为 旋转单叶双曲面 1、定义：在直角系下，由方程 （a,b,c0） （1） 所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。 注：在直角系下，方程 或所表示的图形也是单叶双曲面 2、性质与形状： （i）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。原点称为（1）的中心。 （ii）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面 （iii）与坐标轴的交点与坐标面的交线： 单叶双曲面（1）与x,y轴分别交于（a，0，0），（0，b，0）而与z轴不交，上述四点称为它的顶点。（1）与三坐标面交于 ， ， ，即 （2） （3） （4）（2）（3）均为双曲线， （4）为椭圆，它们的顶点均是单叶双曲面（1）的两对顶点。（iv）与平行于坐标面平面的交线： 为考察（1）的形状，我们先用平行于面的平面去截它，其截线为，即 （5）对k ，（5）均为椭圆，其顶点为（0，b，k）（2），（a，0，k）（3） ，其半轴为b和a ，当k逐渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化。再用一组平行于面的平面去截（1），其截线为 ，即 （6）当ka时，（6）仍为双曲线，但其实轴z轴，虚轴y轴，其顶点（k，0，a）（3）最后，若用一组平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿（如图5.1）。二 双叶双曲面： 例：面上的双曲线绕z轴旋转面为 旋转双叶双曲面 1 定义：在直角系下，由方程 （a,b,c0） （1） 所表示的图形称为双叶双曲面；而（1）称为双叶双曲面的标准方程。 注：在直角系下，方程 或所表示的图形也是双叶双曲面。 2 性质与形状： （i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，其中原点称为其中 心。 （ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。 （iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线： 双叶双曲面（1）与x,y轴不交，而与z轴交于（0，0，C）顶点 又（1）与三坐标面交于 ， ， ，即 （2） （3） （4） （2）（3）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点为（0，0，C） （4）表面（1）与面不交。 （iv）与平行于坐标面平面的交线： 为考察双叶双曲面（1）的形状，先用平行于面的平面去截（1），其截线为 ，即 （5） 当k=C时，（1）与z=k不交， 当k=C时，（1）与z=k交于（0，0，C） 当kC时，（5）为椭圆，其顶点为（0，b，k）（2） （a，0，k）（3），其半轴为b，a 可见，双叶双曲面（1）是由z=C外的一系列“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线（2）和（3）上变化。 yzox （图5.4）若用平行于面的平面去截（1）。其截线为 ，即 （6） 对k，（6）均为
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