山东省济宁市高考数学一轮复习 第三讲 推理与证明讲练 理 新人教A版.doc

第三讲推理与证明一、合情推理1归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)(2)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理2类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理3合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理2“三段论”是演绎推理的一般模式：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断三、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示四、间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法中的“矛盾”所包含的层面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与定义、公理、定理矛盾；(4)与事实矛盾基础自测1用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()a三个内角都不大于60b三个内角都大于60c三个内角至多有一个大于60d三个内角至多有两个大于60【答案】b2命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()a使用了归纳推理b使用了类比推理c使用了“三段论”，但推理形式错误d使用了“三段论”，但小前提错误【解析】由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误【答案】c3(2013陕西高考)观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_【解析】从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)【答案】(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)4(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()a28b76c123d199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.【答案】c考点一 归纳推理例 (2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为n(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数n(n,3)n2n，正方形数n(n,4)n2，五边形数n(n,5)n2n，六边形数n(n,6)2n2n，可以推测n(n，k)的表达式，由此计算n(10,24)_.【解析】由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，n(n，k)n2n，于是n(n，24)11n210n.故n(10,24)1110210101 000.方法与技巧：1归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠2归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪练习(2013陕西高考)观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_【解析】121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1.【答案】12223242(1)n1n2(1)n1考点二 类比推理例 在平面上，设ha、hb、hc是三角形abc三条边上的高，p为三角形内任一点，p到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_【解】设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥abcd四个面上的高，p为三棱锥abcd内任一点，p到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd.于是我们可以得到结论：1.【答案】11类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论2常见的类比的知识点：(1)平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题通过类比得到的结论不一定正确因此需要对结论加以证明(2)等差数列与等比数列之间的类比等差数列用减法定义性质用加法表述(若m，n，p，qn*，且mnpq，则amanapaq)；等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m，n，p，qn*，且mnpq，则amanapaq)(3)椭圆与圆、椭圆与双曲线的定义与性质间的类比(4)实数运算律与向量的运算律考点三 直接证明与间接证明例(2013陕西高考)设an是公比为q的等比数列设q1，证明数列an1不是等比数列【思路点拨】利用反证法，结合等比数列的性质证明便可【尝试解答】证明：假设an1是等比数列，则对任意的kn，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列规律方法3反证法的适用情况：(1)否定性命题.(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语时.(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的.(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很简单时.(5)问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n1种情况都排除，从而肯定这种情况成立.跟踪练习已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根【解】假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01，ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根考点四 数学归纳法备选：利用放缩法证明不等式例 已知数列an的前n项和为sn，若a13，点(sn，sn1)在直线yxn1(nn*)上(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列bn满足bnan2an，求数列bn的前n项和tn；(3)设cn，求证：c1c2cn.【规范解答】(1)证明点(sn，sn1)在直线yxn1(nn*)上，sn1snn1，2分两边同除以n1，得1.是以3为首项，1为公差的等差数列.4分(2)由(1)可知，3(n1)1n2，即snn22n(nn*)，当n1时，a13，当n2时，ans