广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——数列复习建议.pdf

广州市第一中学高三数学第二轮复习专题 数列复习建议 数列是高中数学的重点内容之一 是初等数学与高等数学的重要衔接点 由于它既具 有函数特征 又能构成独特的递推关系 使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的 联系 又有自己鲜明的特点 而且具有内容的丰富性 应用的广泛性和思想方法的多样 性 所以数列一直是高考考查的重点和热点 纵观江苏省近几年高考数学试卷 数列都占 有相当重要的地位 一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现 填空题主要考 查等差 等比数列的概念 性质 通项公式 前n项和公式等内容 对基本的计算技能要 求比较高 具有 小 巧 活 新 的特点 解答题属于中高档难度的题目 甚至是压轴 题 具有综合性强 变化多 难度较大特点 重点以等差数列和等比数列内容为主 考查 数列内在的本质的知识和推理能力 运算能力以及分析问题和解决问题的能力 一 考纲解读 1 考纲要求 考 试 内 容考 纲 要 求ABC数列数列的有关概念 等差数列 等比数列 2 考纲 解读 1 考纲中对数列的有关概念要求为A级 也就是说只要了解数列概念的基本含义 并能 解决相关的简单问题 2 等差数列和等比数列要求都为C级 2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求 的知识点 等差数列 等比数列占了其中两个 说明这两个基本数列在高考中的地位相当 重要 具体要求我们对这两个数列的定义 性质 通项公式以及前n项和公式需要有深刻 的认识 能够系统地掌握知识的内在联系 并能解决综合性较强的或较为困难的问题 这 也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现 3 由于数列这一章含有两个C级要求的知识点 可以命制等差数列 等比数列以及它 们之间相互联系的综合题 也可以命制数列与函数 方程 不等式等知识点相融合的综合 题 以及数列应用问题 着重考查思维能力 推理论证能力以及分析问题 解决实际问题 的能力 二 考题启示 1 考题分布 自2004年江苏省单独命题以来 对数列知识的考查一直是命题的重点和热点 比重较 大 具体统计如下 年份 选择 或填空 题解答题分值2004数列的概念等差数列16分2005等比数列等差 数列19分2006等比数列等差数列19分2007等差数列 等比数列16分2008等差数列等差数 列 等比数列21分2009等比数列等差数列21分2 考题启示 1 数列在高考试卷中占的比重较大 分值约为13 左右 呈一大一小趋势 对等差数 列和等比数列都有考查 纵观近几年江苏省高考试题 我们会发现江苏考题与全国卷 其 他省市卷数列题有很大区别 具有十分明显的特色 对数列的考查不与其他知识综合 同 时也回避了递推数列和不等式 主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识 形成 江苏卷的一大特色 因此复习中在递推数列方面 特别是利用递推数列求通项 要大胆取 舍 不要深挖 2 客观题主要考查了等差 等比数列的基本概念和性质 突出了 小 巧 活 新 的特点 属容易题或中档题 主观题年年都考 且以中等和难度较大的综合题出现 常 放在压轴题的位置 回顾江苏省单独命题以来 对数列的考查可以称得上到了极致 如 2007年 2008年在倒数第二题 2005年 2006年在最后一题 2009年数列题前移到第 17题 以中等题形式出现 这一显著地变化似乎一种信号 具有一定的导向作用 3 数列题常考常新 每年命题很有新意 不落浴套 考生看到这样的考题 初看亲 切 熟悉 但顺利解决很须动一番脑筋 需要有扎实的数学功底 极强的推理运算和论证 能力 这类试题对概念和思维的考查力度较大 对学生探索能力 思维能力 运算能力和 推理论证能力要求较高 具有较强的选拔功能 以数列题考查推理论证能力成为江苏考题 的又一大特点 如2007年 20 题 已知 an 是等差数列 bn 是公比为q的等比数列 a1 b1 a2 b2 a1 记Sn为数列 bn 的前n项和 1 若bk am m k是大于2的正整数 求 证 Sk 1 m 1 a1 2 若b3 ai i是某一正整数 求证 q是整数 且数列 bn 中每一项都是数列 an 中的 项 3 是否存在这样的正数q 使等比数列 bn 中有三项成等差数列 若存在 写出一个 q的值 并加以说明 若不存在 请说明理由 如2008年高考试题 19 题 设a1 a2 an是各项均不为零的等差数列 n 4 且公差d 0 若将此数列删 去某一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 当n 4时 求a1 d的数值 求n的所有可能值 求证 对于一个给定的正整数n n 4 存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 b2 bn 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 如 17 设 an 是公差不为零的等差数列 Sn为其前n项和 满足a22 a32 a42 a52 S7 7 1 求数列 an 的通项公式及前n项和Sn 2 试求所有的正整数m 使得amam 1 am 2 为数列 an 中的项 2008年考题是典型难题 作为压轴题 对思维能力和推理能力要求较高 2009年是中等 题 主要考查等差数列通项公式和前n项和公式 但在第 2 问中考查学生思维能力和推 理能力 三 复习建议 1 夯实基础知识 1 数列的概念 了解数列的概念及其表示方法 掌握数列前n项和与第n项之间的关系 an Sn Sn 1 n 2 给出与数列的前n项和有关 的问题 我们要能根据这一关系求出数列的通项公式 2 等差数列 掌握等差数列的定义 能够根据定义判定一个数列是否为等差数列 掌握等差数列的通项公式an a1 n 1 d 推广形式为an am n m d 掌握等差数列的前n项和公式Sn n a1 an 2 na1 n n 1 d 2 公式的推导方法为倒序相 加法 等差数列的前n项和可表示为Sn An2 Bn的形式 它是 an 为等差数列的充要条件 掌握等差数列的一些性质 在等差数列 an 中 对于正整数m n p q 若m n p q 则am an ap aq 特别地 2an 1 an an 2 在等差数列 an 中 依次k项的和仍成等差数列 即Sk S2k Sk S3k S2k 成等差数 列 其公差为kd 若等差数列 an 的公差d 0 an 为递增数列 d 0 an 为递减数列 3 等比数列 掌握等比数列的定义 能够根据定义判定一个数列是否为等比数列 掌握等比数列的通项公式an a1qn 1 推广形式为an amqn m 掌握等比数列的前项和公式Sn a1 anq 1 q a1 1 qn 1 q q 1 公式的推导方法 为错位相减法 特别地 当q 1时 Sn na1 掌握等比数列的一些性质 在等比数列 an 中 对于正整数m n p q 若m n p q 则aman apaq 特别地 an 12 anan 2 在等比数列 an 中 若q 1 依次k项的和仍成等比数列 即Sk S2k Sk S3k S2k 成等比数列 其公比为qk 2 掌握基本方法 1 基本量法 由于等差 等比 数列是由首项与公差 比 确定的 故称首项与 公差 比 为等差 比 数列的基本量 因此 大凡涉及等差 等比 数列的数学问题 我们总希望通过等差 等比 数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差 比 或它 们间关系 从而认识数列 达到解决问题的目的 这种方法就是等差 等比 数列特有的 基本量方法 简言之 就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差 比 数列相关问 题的方法 基本量法常涉及 知三求二 题型 所谓 知三求二 就是等差 或等比 数列有五个参 量 项数 通项 前n项和 首项 公差 比 只要已知这五个量中的任意三个 就可 以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个 对于 知三求二 的题型训练要适度 不要 人为做那些太难 太繁题目 这样不仅增加学习负担 而且淡化数学本质 运用基本量法必须与等差 比 数列的性质密切配合 只有这样才能达到灵活应用的程 度 才能发挥无穷的活力 两个重要数列问题都可以运用基本量法解决 有人认为解题过 程较繁 想寻找解题技巧 我们不能对 计算追求表面上少一步 或不容易设想的计算技 巧 而冲淡了对基本数列和基本量法的认识 2 数列通项公式的常见求法 观察归纳法 累加消项法 累积消项法 迭代法等 已知数列的前几项 写出它的一个通项公式时 通常用观察法 然后归纳猜想 我们 有时未必能观察出它的通项公式 这时不妨尝试观察它们任意相邻两项间的相依关系 如 对于数列 1 3 7 13 21 31 若不能直接发现an n n 1 1 则通过观察出递推关系 an an 1 2 n 1 再用迭加或迭代法便可求出通项公式 总之 观察是一切能力的基础 在数列学习中显得尤其重要珍贵 已知数列 an 的前n项和Sn 求an 用公式法 即an Sn Sn 1 n 2 具体解题时需 看清问题的本质并注意分类讨论 3 数列求和的常见方法 公式法 拆项求和法 转化求和法 裂项求和法 错位 相减法 倒序相加法等 如 求a 2a2 3a3 nan用错位相减法 求等差数列相邻 或间隔 两项倒数和用裂 项求和法 非等差 等比 数列问题可以转化为等差 或 等比数列求和问题 3 把握基本思想 数列中涉及很多数学思想 在复习中需要同学们很好地把握以下几个数学思想 1 函数思想 数列作为一种特殊的函数 是反映自然规律的基本数学模型 复习中 在理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式 弄清等差数列与一次函数的关系 抓 住等差数列的特征 掌握前n项和公式 弄清它与二次函数的关系 理解等比数列的概 念 掌握等比数列的通项公式 弄清等比数列与指数函数的关系 2 方程思想 运用数列基本量法解题就需根据题设条件 结合数列通项公式和求 和公式构建方程或方程组求解 方程思想贯穿于数列学习和解题的始终 3 转化与化归思想 解决等差 比 数列问题都可以归结为研究首项和公差 比 问题 非等差 等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解 求和问题也是常见的题型 一些非等差 等比数列求和可以转化为等差 等比数列求和问 题解决 有些数列应用题转化为等差 等比数列问题解决 通过两个基本数列的学习 在 化归与转化过程中可以认识更多的数列 是数列学习的隐性目标 4 递推思想 递推是数列的本质性的内涵 是数列的一大特色 我们这里讲递推 并不是要深入研究递推数列 教材中没有递推数列的概念和题型 课标和考试说明中都没 有一提到递推数列 因此递推数列已经不是高考涉及的内容 近几年江苏高考一直回避这 一问题 但是递推思想和方法在解决数列问题中的作用是很大的 涉及数列前n和Sn与的 an关系问题 常采用递推思想来解决 一般地涉及数列前n和Sn与的an关系问题 常采用递推思想来解决 如江苏0 年 23 题 设数列 an 的前项和为Sn 已知a1 1 a2 6 a3 11 且 5n 8 Sn 1 5n 2 Sn An B 其中A B为常数 求A与B的值 证明 数列 an 为等差数列 解决此题需要进行两次递推解决 再如 已知数列 an 满足2Sn 3 an 1 证明 数列 an 为等比数列 利用递推思想解 决 5 分类讨论思想 数列中渗透分类讨论的思想 如由Sn求an 要对n 1和n 1讨 论 在运用等比数列求和公式时 若公比q没有明确给出 需要分 和 讨论 在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论 有些数列的通项公式是分段表示 解题过程需 要讨论 在数列解题中有时根据过程需要进行讨论 6 特殊化思想 有些数列问题 在一般情况下解决思维受阻或者解决比较困难繁 杂 这时我们可以把问题退到特殊情形 研究在特殊情况下的问题 从中寻找规律 或探 求问题成立的条件 然后再将结果代到一般问题中去检验或验证 也可以借鉴研究特殊情 形的方法去研究一般性问题 这种 从一般到特殊再到一般 的方法 在研究数列问题中很 有效果 4 关注重点题型 作为高考复习 适当强化题型训练是很有必要的 1 知三求二 题 知三求二 是等差数列和等比数列的重要题型 通常涉及等差数列 或等比数列 的 通项公式 前n项和公式 运用基本量法解决 要注意这两个重要数列之间的相互渗透 融合构成综合题 如子数列型 并列型 类比型 生成型 融合型 这类题型是数列复习 的重点 2 推理论证题 通过数列题考查思维能力 考查推理能力 是江苏高考题的一大特点 近几年江苏高 考数列题都涉及这一问题 如2007年 19 题 2008年 19 题 即使2009年数列题难度 有所降低 但是 14 题需要分析判断哪些项可以为等比数列中的项 17 题第 2 小问也考查了思维和推理能力 3 数列应用题 数列应用题大致有三类 一是有关等差数列的应用题 二是有关等比数列的应用题 三是有关递推数列中可转化为等差 等比数列的问题 通常涉及增长率 银行信贷利率 浓度匹配 养老保险 圆钢对垒等问题 解决数列应用题需要认真理解题意 弄清各项之 间的关系 确定模型的类型 明确是求an还是求Sn 项数n是多少 数列应用题尽管在历 年高考中考查较少 但由于数列在实际生活中有广泛应用 因此需要引起对这类题型的重 视 4 情境创新题 研究全国或其它省市高考试题 可以发现数列试题丰富多彩 有时通过数阵形式给 出 如三角数阵 正方形数阵等 2008年江苏卷第 10 题就是三角形数阵 有些数列问 题是在几何背景给出的 有些是引入新概念定义新数列给出的 如周期数列 等和 积 数列 对称数列 等差比数列等 解决这类问题只要认真理解题意 信息迁移 根据题设 条件解决就可以了 总之 在数