牧羊人的希望模型.doc

牧羊人的希望班级：12数学（1）班 学号：1207021028 姓名：许菁菁摘要：本文主要针对在满足资源利用率最大化的条件下获得最大的利益，是最优规划模型，利用lingo软件得到最优解。问题（1）建立线性规划模型，目标函数为母羊和羊羔数，约束条件为羊的吃草量小于草的生长量，且羊在夏季和冬季的吃草量小于夏季草的生长量。根据母羊在每个年龄阶段的生产率得出母羊与羊羔的关系。在牧场面积为1000时利用lingo软件求解出母羊和羊羔的数目。问题（2）根据问题（1）得出夏季应该储存用作冬季草料的重量。此时，发现草料仍有剩余，因此，我们考虑用来饲养公羊。问题（3）在上述模型基础上，通过约束条件，利用lingo软件求解出结果 。再次考虑到牧场面积变化时，饲养的羊数肯定会发生变化，但是，通过类比求解发现母羊的比例没有变化，仍为原来的比例。关键词：生长率 食草量 繁殖 最优规划1 问题重述 一个牧羊人拥有xm2的牧场，牧场中长着多年生黑麦草。他期望今后几年通过养羊获得满意的收益。他要考虑以下几个问题：(1)他应该饲养多少只羊？(2)夏季应储备多少干草用作冬季饲料？(3)为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？表1 黑麦草的平均生长率季节冬季春季夏季秋季日生长率（%）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养5年就出售。表2 一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数年龄（年）0112233445产羊羔（头）01.82.42.01.8表3 每头羊日平均所需饲料（单位：kg）羔羊母羊冬季02.10 春季1.00 2.40 夏季1.65 1.15 秋季01.35 2 问题分析针对问题（1），我们需要在自然利用率最大的情况下，求解养羊的最大数目，为此，我们建立目标函数，约束条件为四个季度母羊和羊羔所需的饲料（黑麦草）重量必须小于或者等于黑麦草的生长量，还必须满足夏季和冬季羊需要的黑麦草数量必须小于等于夏季黑麦草的生长量。为此，我们建立规划模型，并利用lingo软件得出最优解。问题（2）可以根据问题（1）得出的结论进行简单的计算求解。问题（3）在问题（1）建立模型的基础上根据各个阶段需要母羊的数量和母羊与羊羔之间的一些关系添加一些约束条件，建立规划模型，并且利用lingo软件求解。3 模型假设3.1结社母羊生产羊羔公母比例为1:13.2假设饲养过程中没有意外死亡3.3假设牧场生长的草都能吃并且不影响其生长3.4假设母羊在春天繁殖，并且一年繁殖一次3.5假设母羊需要配种时，不考虑配种时的成本3.6假设一个季度为90天3.7假设只考虑数量，不考虑其他的3.8假设只在春季繁殖过后出售4 符号系统表4 符号N饲养母羊数y母羊所产羊羔数N112年的母羊数N223年的母羊数N334年的母羊数N445年的母羊数5 模型建立与求解5.1模型一 由于牧场的面积是一定的xm2，要求能饲养多少只羊，则应该在资源利用率最大的情况下求解养羊的最大数目，此时可以利用线性规划模型求解在资源的利用率最大的情况下养羊的最大数目，具体模型建立与求解过程如下：目标函数：max z=N+y约束条件：xm2的土地黑麦草的日生长率为g/dm2，将其换算成kg/m2，则黑麦草春季、夏季、秋季、冬季的日生长量分别为0.3x、0.7x、0.4x、0。而母羊以及羊羔日平均所需饲料与黑麦草日生长量关系为：春季：2.4N+1y0.3x秋季：1.35N+0y0.4x夏季和冬季：（1.15+2.10）N+（1.65+0）y0.7x一只母羊每年平均所产羊羔数为：（1.8+2.4+2.0+1.8）/4=2则每年所产羊羔数为：y=2N综上有如下线性规划模型：由于牧场面积未定，现在假设面积为1000m2，于是有线性规划模型： 下面利用lingo软件求解，得出结果为：每年春季要饲养68只母羊，这些母羊产生的羊羔数为136头。5.2模型二 根据问题（1）我们可以得出夏季应存储用作冬季的饲料为：2.106890=12852（kg） 根据问题（1）得出牧场一年的生长的黑麦草的重量为：1000（0.3+0.7+0.4）90=126000（kg） 母羊和羊羔每个季度的食草量为：春季：（2.468+1.0136）90=26928（kg）夏季：（1.1568+1.65136）90=27234（kg）秋季：1.356890=8262（kg）冬季：2.106890=12852（kg）还剩余黑麦草量为：126000-26928-27234-8262-12852=50724（kg）由于黑麦草资源利用率没有达到最大，所以将剩余的黑麦草用来喂养公羊，则可以可以饲养公羊的数量为（假设公羊每个季度每日平均比母羊多吃1kg的草）：50724/（3.4+2.15+2.35+3.1）/90=51.2363636(只)取整数后为51只。5.3模型三 在问题（1）建立的模型的基础上还需要考虑到在饲养的母羊数不变的情况下每个年龄阶段饲养的母羊数不变，也即是需要买掉一些饲养了5年的母羊。为此，我们设各个阶段的母羊数为：12 N1只，23 N2只，34 N3只，45 N4只。总的母羊数为：N=N1+N2+N3+N4每年产生的羊羔数为：y=1.8N1+2.4N2+2.0N3+1.8N4由于羊群存更替现象，即01年龄阶段的长成12年龄阶段的，12年龄阶段的长成23年龄阶段的，以此类推。由此可以得出，为了保证每个年龄阶段的母羊数量不变，则需要保证N1N2N3N4。又因为总共的母羊数为68只，羊羔数为136只，所以可以得出：4N168,4N468，由此可以得出N117，N417。而N=N1+N2+N3+N4=68 y=1.8N1+2.4N2+2.0N3+1.8N4=136 由可以得出3N2+N3=68 由N3=68-3N2N2 得出17N223,N317又要考虑到出生的母羊数需要N1才能保证各个年龄阶段的母羊数不变，又因为出生的母羊和公羊的概率相同，那么母羊数应该满足综上，我们可以得出如下规划模型： 下面利用lingo软件，求得各个年龄阶段的母羊数为N1=23，N2=23，N3=17，N4=4，饲养的羊羔数约为138只。这是牧场为1000m2的情况，当牧场为2000m2,，3000m2只需要将x变为相应的数就可以了（模型以及求解见附录），由lingo软件求解之后发现母羊的总数虽然在变化（136只，204只）。但是，各个年龄阶段的母羊数比例不变。所以每年饲养母羊的比例为23:23:17:4。6 模型优缺点6.1优点利用剩余的草料来饲养公羊，使得资源利用率最大化；通过求解牧场面积是1000m2类比得出面积为其他时的情况；该模型是线性规划求最优解模型，简单明了，容易理解。6.2缺点未考虑到出生羊羔的实际性别比例和母羊的年龄比例；假设中有许多与实际会有些差别，所以求解的结果可能与实际有些差距。参考文献1谭千蓉，林宗兵.数学实验与数学模型M.成都：西南交通大学出版社，2009.2郭大伟.数学建模M.合肥：安徽教育出版社，2009.附录模型1max=N+y;2.4*N+y=300;1.35*N=400;3.25*N+1.65*y0;y0;模型2max=N1+N2+N3+N4+(1.8*N1+2.4*N2+2*N3+1.8*N4);3.25*(N1+N2+N3+N4)+1.65*(1.8*N1+2.4*N2+2*N3+1.8*N4)=700;2.4*(N1+N2+N3+N4)+1.8*N1+2.4*N2+2*N3+1.8*N4=300;1.35*(N1+N2+3+N4)0;N2=17;N2N2;N317;N4N3;N417;模型3max=N+y;2.4*N+y=600;1.35*N=800;3.25*N+1.65*y0;y0;max=N1+N2+N3+N4+(1.8*N1+2.4*N2+2*N3+1.8*N4);3.25*(N1+N2+N3+N4)+1.65*(1.8*N1+2.4*N2+2*N3+1.8*N4)=1400;2.4*(N1+N2+N3+N4)+1.8*N1+2.4*N2+2*N3+1.8*N4=600;1.35*(N1+N2+3+N4)0;N2=34;N2N2;N334;N4N3;N434;模型4max=N+y;2.4*N+y=900;1.35*N=1200;3.25*N+1.65*y0;y0;max=N1+N2+N3