【志鸿全优设计】高中数学 第一章 集合的基本运算讲解与例题 北师大版必修1.doc

3集合的基本运算1交集(1)交集的三种语言文字语言由既属于集合a又属于集合b的所有元素组成的集合叫作a与b的交集，记作ab(读作“a交b”)符号语言abx|xa，且xb图形语言谈重点 如何理解“交集”的定义(1)由于“ab”是由集合a，b的所有公共元素组成的集合，故求“ab”的关键是找出它们的公共元素(2)对于“abx|xa，且xb”，不能仅认为“ab中的任一元素都是a与b的公共元素”，同时还有“a与b的公共元素都属于ab”的含义，这就是交集文字定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素例如：集合1,2,3不是集合0,1,2,3,4,5与集合1,2,3,4,6的交集因为，虽然1,2,3中的任意一个元素都是集合0,1,2,3,4,5与集合1,2,3,4,6的公共元素，但是集合0,1,2,3,4,5与集合1,2,3,4,6的公共元素4却不在集合1,2，3中(3)并不是任何两个集合总有公共元素，当集合a与b没有公共元素时，不能说a与b没有交集，而是ab.对于ab存在以下三种情况：集合a，b均为空集；集合a，b中有一个是空集；集合a，b均为非空集，但无公共元素(4)求集合的交集是集合的基本运算，两个集合经过交集运算后仍是一个集合(5)根据交集的定义，多元方程组的解集则可以看作是组成方程组的各个方程解集的交集；不等式组的解集可以看作是组成不等式组的各个不等式解集的交集例如：方程xy0的解集为集合a，方程xy2的解集为集合b，则方程组的解集就是集合a与集合b的交集(2)不同情形的交集的venn图表示ab时，ababa时，abbab时，ababa与b有公共元素，但互不包含时， a与b无公共元素时，ab为图中阴影部分 ab(2)交集的运算性质abba，即两个集合的交集满足交换律(由交集的定义可得)；aba，abb，即两个集合的交集是其中任一集合的子集；aaa，a，即一个集合与其本身的交集是其本身，与空集的交集是空集；ababa，即若集合a是集合b的子集，则两个集合的交集是集合a，反之亦成立(ab)ca(bc)，即三个集合的交集满足结合律以上性质可通过venn图来理解和记忆【例11】已知axn|x5，bxn|x1，则ab等于()a1,2,3,4,5b2,3,4c2,3,4,5 dxr|1x5解析：集合a表示小于或等于5的自然数组成的集合，集合b表示大于1的自然数组成的集合，故ab2,3,4,5答案：c【例12】已知集合mx|1x0，则mn等于()ax|1x1 bx|x1cx|1x1 dx|x1解析：mx|1x0x|x1，x|x1在数轴上画出集合m和n，根据交集的定义，可得mnx|1x1，即图中阴影部分答案：c析规律 求交集的方法用列举法表示的数集在求交集时，可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素；用描述法表示的数集在求交集时，如果集合是无限集，且直接观察不出或不易得出运算结果，则应把两个集合在数轴上表示出来，根据交集的定义写出结果此时要注意：交集是公共部分；当端点不在集合中时，在数轴上用“空心圈”表示【例13】已知集合a2，a1，ba27，1，且ab2，求实数a的值分析：由ab2可知，2是集合a与b的公共元素，也就是说，元素2既在集合a中又在集合b中，于是可得a272且a12，由此即可求出实数a的值解：ab2，2a且2b.a272.a3或a3.当a3时，集合a中的元素a12，不符合集合中元素的互异性，a3舍去当a3时，a2，4，b2，1，符合已知ab2综上所述，a3.2并集(1)并集的三种语言文字语言由属于集合a或属于集合b的所有元素组成的集合，叫作a与b的并集，记作ab(读作“a并b”)符号语言abx|xa，或xb图形语言如何理解“并集”的概念(1)“或”的内涵：并集中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活用语中的“或”是“非此即彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有即“xa，或xb”包含三种情形：xa，但xb；xb，但xa；xa，且xb.所以，要求“ab”只需把集合a，b的元素合在一起即可(2)当元素a是集合a，b的公共元素时，由集合中元素的互异性知，集合a与b的并集中仅有一个元素a，不能有两个相同的元素a.即相同的元素在并集中只能出现一次例如：a1,2,3,4，b3,4,5,6，则ab1,2,3,4,5,6，而不能写成1,2,3,4,3,4,5,6(2)不同情形的并集的venn图表示ab时，abbba时，abaab时，ababa与b有公共元素，但互不包含时， ab为图中阴影部分a与b无公共元素时， ab为图中阴影部分(3)并集的运算性质abba，即两个集合的并集满足交换律(由并集的定义可得)aab，bab，即一个集合是其与任一集合并集的子集aaa，aa，即一个集合与其本身的并集是其本身，与空集的并集也是其本身(ab)ca(bc)，即三个集合的并集满足结合律abab，这是两个集合的交与并之间的关系，即两个集合的交集是这两个集合并集的子集abaab，这是集合的并集运算与子集的转化，即，若集合a与b的并集为集合a，则集合b是集合a的子集，反之亦成立以上性质可通过venn图来理解和记忆【例21】满足条件1,3b1,3,5的所有集合b的个数是()a1 b2c3 d4解析：由条件1,3b1,3,5，根据并集的定义可知5b，而1,3是否在集合b中不确定所以b可能为5，1,5，3,5，1,3,5，故b的个数为4.答案：d【例22】已知集合ax|x0，bx|1x2，则ab等于()ax|x1 bx|x2cx|0x2 dx|1x2解析：集合a，b都是用描述法表示的无限数集，可借助数轴的直观性，把集合a和b在数轴上表示出来，再根据并集的定义求出ab，易知abx|x1，即图中阴影部分答案：a【例23】已知集合ax|2x7，bx|m1x2m1，若aba，则实数m的取值范围是_解析：由并集的运算性质abaab可知，集合b是集合a的子集，把集合a和b在数轴上表示出来可得m12m1或解得m2或2m4，即m4，故实数m的取值范围是m|m4答案：m|m43全集与补集(1)全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号u表示全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素例如，我们要分别统计a班男同学和女同学的数学成绩，a班的全体同学的数学成绩便是一个全集，同样地，我们把分析对象扩展到整个年级，则全年级同学的数学成绩便是一个全集谈重点 如何理解“全集”的概念1全集是一个相对的概念，不同的问题中全集可能不同，这要看题目具体的规定如，当研究数的运算性质时，常常将r当作全集2画venn图时，常用一个矩形的内部表示全集，有时也用椭圆表示(2)补集设u是全集，a是u的一个子集(即au)，则由u中所有不属于a的元素组成的集合，叫作u中子集a的补集(或余集)记作，即x|xu，且xa用venn图可表示为(阴影部分)：谈重点 如何理解“补集”的概念(1)若从全集u中取出集合a的全部元素，则所有剩余元素组成的集合即.(2)补集运算具有相对性，求集合a的补集时，要先清楚全集是什么，同一集合在不同全集中的补集也不同(3)表示以u为全集时a的补集，如果全集换成其他集合(如r)时，则记号中“u”也必须换成相应的集合(即)(4)求集合a的补集的前提是a是全集u的子集(3)补集的运算性质a()u，a()；u，u，()a；(ab)()()，(ab)()()，即补的并等于交的补，补的交等于并的补；利用此性质解题，可以减少计算量【例31】已知集合a1,3,5,7,9，b0,3,6,9,12，则a()等于()a1,5,7 b3,5,7c1,3,9 d1,2,3解析：符号n表示自然数集，由b0,3,6,9,12知中的元素有1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,15，其与集合a的公共元素有1,5,7，所以a()1,5,7，选a.答案：a析规律 集合运算时括号优先对于集合的交、并、补混合运算，要注意运算顺序，有括号的先算括号里面的【例32】设集合u1,2,3,4,5，a1,3，b2,3,4，则()()等于()a1 b5c2,4 d1,2,4,5解析：按照运算顺序，可先计算2,4,5和1,5，再计算()()5；也可由()()(ab)，先计算ab1,2,3,4，再求(ab)5答案：b【例33】设全集u3，a，a22a3，a2,3，5，则a的值为_解析：5，5a,5u.当a5时，u3,5,32不合题意；当a22a35时，a2或a4，经检验，a4不符合题意，舍去，a的值为2.答案：24利用集合运算的两条性质求参数的值或范围在集合的交、并集运算中，有两条重要的性质，即abaab和abaab.利用这两条性质可以把有关集合的交、并集运算的问题转化为两个集合间的关系问题利用这两条性质解题时要注意以下两点：(1)当转化为与不等式相关的子集问题时，画数轴可使问题变得形象直观，既易于理解，又提高解题速度这里要特别注意的是端点值的取舍问题，一般是把端点值代入题目中验证例如：已知集合ax|axa3，bx|x1，或x5，若abb，求实数a的取值范围由abb可知，集合a与b的关系是ab，在数轴上表示出集合a和b，根据题意有下面两种可能：借助数轴的直观性可得a31或a5，这里要特别注意的是a3能否等于1和a能否等于5两个端点值的取舍问题于是可得实数a的取值范围是a4或a5.(2)当转化为与方程有关的子集问题时，若ba，特别容易出现的错误是遗漏了b的情形，其原因是对ba的理解不够充分，忽略了空集是任何集合的子集这一性质避免出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和注意经验的积累例如：设集合ax|x23x20，bx|x24xa0，若abb，求实数a的取值范围易知集合a1,2，集合b中元素不确定，由abb可知ba.从而应分b和b两种情况讨论当b时，说明一元二次方程x24xa0没有实数根，所以方程的判别式164a0，即a4；当b时，说明一元二次方程x24xa0有两个相等的实数根1或2，可得或解得a4.或有两个不相等的实数根1和2，此时由根与系数的关系得，1234，矛盾，所以无解综上可得，实数a的取值范围是a4.【例41】已知ax|axa3，bx|x1或x5(1)若ab，求a的取值范围；(2)若abb，a的取值范围又如何？解：(1)ab，解得1a2.即当ab时，a的取值范围是1a2.(2)由abb知，ab，a31或a5，即a4或a5.abb时，a的取值范围是a4或a5.【例42】设集合ax|x22(a1)xa210，ar，bx|x24x0，若aba，求实数a满足的条件分析：集合a，b均是关于x的一元二次方程的解集易知b4,0，集合a中的元素不确定由aba可得ab，所以应分a和a两种情况进行讨论解：bx|x24x04,0若aba，则ab.(1)当a时，关于x的一元二次方程x22(a1)xa210无实数根，则4(a1)24(a21)0，解得a1.(2)当a时，若集合a仅含有一个元素，则方程x22(a1)xa210有两个相等的实数根，4(a1)24(a21)0，解得a1.此时，ax|x200b，即a1符合题意若集合a含有两个元素，则这两个元素是4,0，即关于x的方程x22(a1)xa210的解是4,0，则有解得a1.综上可得，实数a满足的条件是a1或a1.【例43】已知集合ax|0ax15，集合.(1)若ab，求实数a的取值范围(2)a，b能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由解：(1)由0ax15，得1ax4.当a0时，ar，不满足ab；当a0时，.若ab，则解得a2.当a0时，若ab，则解得a8.综上，若ab，则a8或a2.(2)若ab，由(1)知a0.当a0时，由解得a2，即a2时满足ab.当a0时，与显然不可能相等综上，若ab，则a的值为2.5venn图在集合运算中的应用venn图是解决集合运算的有效工具，它具有形象、直观的特点，特别是对于有限数集的交、并、补运算问题更具有巨大的优势我们要做到已知集合运算式作出相应的venn图；已知venn图能写出相应的集合运算式venn图的应用在运用venn图解题时，必须熟悉图形中各部分是如何用集合的交、并、补集表示的，一般地，全集u的子集a与b把全集分为四个区域：a()，()b，ab，(ab)(如图所示)，在已知全集u和其中三个区域内的元素的情况下，就可以确定第四个区域内的元素解题时为了直观，可将集合u中的元素依次填入相应的区域内【例5】设集合uxn|x10，au，bu，且ab4,5，()a1,2,3，()()6,7,8，求集合a和b.分析：此题条件较多，可采用数形结合的方法用venn图将已知条件在图中标出，从图中找出所求这样就可以将抽象问题直观化，从而使问题得到快速解答解：根据题意，画出venn图如下：ab4,5，将4,5写在ab中()a1,2,3，1,2,3写在a中，且不在ab内()()6,7,8，即(ab)6,7,8，将6,7,8写在u中a，b之外()a与()()中均无9,10，9,10在b中且不在ab中，故a1,2,3,4,5，b4,5,9,106补集思想的应用正难则反对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决这就是“正难则反”的解题策略，它是处理问题的间接化原则的体现这种“正难则反”策略运用的是补集思想，如已知全集u，求子集a，若直接求a困难，则可先求，再由()a求a.补集作为一种思想方法，对于我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现【例6】已知集合ax|x24x62a0，bx|x0，若ab，求实数a的取值范围分析：由集合a，b及ab可知，方程x24x62a0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围解：设全集ua|164(62a)0.若方程x24ax2a60的两根都非负，则au，且解得1a3，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为.其在全集u中的补集为a|a3满足题意的实数a的取值范围是a3.7集合思想在实际问题中的应用我们可以利用集合思想解决某些实际问题，借助venn图将错综复杂的问题清晰地理顺，使问题得以解答这在阅读能力上常常有较高的要求，一定要深入而全