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2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛 中图分类号 G424 79 文献标识码 A 文章编号 1005 6416 2010 11 0023 03 说明 第一试每题 50分 共 150分 第二 试每题 15分 共 150分 第 一 试 1 设 n n 1 且 kx 0的实根仅有一个 则 k的 取值范围为 8 已知 3 x 2 3 35 x 2 13 则 3x 3 35 x 9 王强有四种颜色的小圆棒 表 1列出 不同颜色圆棒的长度 表 1 颜色绿粉红紫红 长度3 c m4 c m8 c m9 c m 现要取若干根小圆棒接起来连成长度 为 2 010 cm的长棒 而且四种颜色的小圆棒 每一种都至少用 81根 则不同的取法共有 种 10 在有 20名歌手参加的比赛中 9名 裁判员分别给他们判定从 1 20的名次 已 知每一名歌手得到的名次中 各名次之差不 232010年第 11期 超过 3 若每名歌手所得到的名次的和排成 递增序列 C1 C2 C20 则 C1的最大值 为 参 考 答 案 第 一 试 1 由式 变形得2k n 2 n 2 解得 k 1 2 n m 3 n 3 x 35 x 35 即 a 3 3ab 35 由式 消去 b得 a 3 39a 70 0 解得 a 5 2 7 7舍去 9 91 由题意得 3 81 a 4 81 b 8 81 c 9 81 d 2 010 其中 a b c d为非负整数 化简得 3 a 3d 4 b 2c 66 故 a 3d b 2c 4i 2 15 3i i 0 1 5 当 a 3d 4i 2时 a d 有 4i 2 3 1 种可能 当 b 2c 15 3i时 b c 有 15 3i 2 1 种可能 所以 共有不同的取法为 1 8 3 7 4 5 5 4 7 2 8 1 91 10 24 若 9名裁判都给某歌手判第一名 则 C1 9 若有两名歌手都得第一名 则其中 1人 得到不少于 5个第一名 而其余 4个名次不 高于第四名 故 C1 5 1 4 4 21 若有三名歌手都得第一名 则他们所得 的其余名次不高于第四名 他们的名次之和 不大于 1 9 3 9 4 9 72 故 C1 24 若有四名歌手都得第一名 则他们的名 次之和不大于 1 9 2 9 3 9 4 9 90 所以 C1 24 而有五名或更多名歌手都得第一的情况 是不可能的 所以 C1 24 下面给出一个 C1 24的例子 裁判员给名次和为 C1 C2 C3的三名歌 手判的名次都是 1 1 1 3 3 3 4 4 4 裁判员给名次和为 C4 C5 C6的三名歌 手判的名次都是 2 2 2 5 5 5
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