浙江大学09-10秋冬《线性代数I》期中自测答案.pdf

2009 2010 秋冬学期 线性代数 I 期中自测答案 1 计算题 每题 10 分 1 问各取何值时 方程组 12 k k 1234 1234 12134 1234 231 363 315 51012 xxxx xxxx xxk xx 2 3 xxxx k 无解 有唯一解 有无穷多解 有解时求其解 解 方程组的增广矩阵为 11 22 1123111231 1361302422 3115300224kk kk 若 则方程组无解 12 2 1kk 若 则方程组有唯一解 其解为 1 2k 若 则方程组有无穷多解 其解为 12 2 1kk 2 在线性空间中 将向量 4 1 2 1 1 表示成向量 1234 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的线性组合 解 设 11223344 则可得关于 1234 的方程组 解之 得 所以 3 在线性空间 设 3 123 1 1 1 1 2 3 1 3 t a 问t取何值时 向量组 123 线性无关 b 问t取何值时 向量组 123 线性相关 解 因为 123 111111 123012 13005 TTT tt 所以 5t 时 向量组 123 线性无关 5t 时 向量组 123 线性相关 4 设 试求 4 12 1 1 1 1 1 2 0 3 12 L 的一组单位正交基 并将 这组单位正交基扩充成的一组单位正交基 4 解 因为 12 0 所以 12 L 的一组单位正交基为 将 12 单位化即 可 也可直接对 12 进行 Schmidt 正交化再单位化 设且 4 1234 Xx xx x 12 0 0XX 可得方程组 解之得 可取是方程组的解且线性无关 Schmidt 正交化再单位化可得 从而 1 XX2 12 L 的一组单位正交基 扩充为的一组单位正交基 4 5 求实线性空间中的向量组 2 2 1234 10120224 02001012 AAAA 的一个极大无关组 解 1234 A A A A关于的常用基的坐标分别为 2 2 1234 110 022 001 200 2 4 1 2 然后求出 1234 的一个极大无关组 进而得到 1234 A A A A的一个极大无关 组 2 证明题 每题 10 分 1 设是两个数域且 证明 关于数的加法和乘法构成上的线性空间 12 P P 1 PP 2 2 2 P 1 P 证明 因为是两个数域且 所以对 12 P P 1 PP 12 PaP 有 2 aP 所 以数的乘法给出了定义在集合 1 PP 2 上取值于的数乘运算 因为加法和数乘运算 分别为数的加法和乘法 所以条件 列出来 全部满足 即关于数的加法和乘 法构成上的线性空间 2 P 2 P 1 P 2 设向量组 12 m V 的秩为 向量组 1 r 12 n V 的秩为 向量组 2 r 12 m 12 n 的秩为 证明 3 r 12312 min r rrrr 课上已讲 略 3 设 12 m V 是线性空间V的一组基 fL V V 证明 f是同构映射 当且仅当 12 m fffV 也是线性空间V的一组基 证明 充分性 因为 12 m fffV 也是线性空间V的一组基 所以f 是满射而且 因为dimVm f是线性变换 所以f是同构映射 必要性 因为 12 m V 是线性空间V的一组基 所以 12 m V 线 性无关且dim 因为Vm f是同构映射 所以f保持线性相关性 所以 12 m fffV 线性无关 进而 12 m fffV 也是线 性空间V的一组基 3 判断题 每题 5 分 1 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多解 解 错误 比如线性方程组 123 123 21 22 xxx xxx 的方程个数小于未知量个数 但显然 无解 2 任一个系数为实数的元齐次线性方程组的解集都是的一个子空间 n n 解 正确 设是某一个系数为实数的元齐次线性方程组的解集 因为该 方程组是齐次的 所以且 n W n 0W W 有 WW 即 非空且关于的加法和数乘封闭 从而是的一个子空间 W n n 3 若 12 m V 线性相关 12 m V 也线性相关 则存在不全为零的 12 m 使得 11221122 0 0 mmmm 同时成 立 解 错误 比如 如果 存在不全为零的 2 112233 1 0 0 1 1 1 1 2 123 使得 112233 0 则必有 123 0 成立 但是此时 1122333 0 0 恒成立 4 设是 一 个 欧 氏 空 间 V f VV 是 一 个 映 射 如 果 V 有 ff 则 fL V V 解 正确 因为对