圆锥曲线焦点弦的定点分比.pdf

江苏省建湖高级 中学 肖秉林 定义 若过圆锥曲线焦点 F的直线交 圆锥 曲线 于 A B两点 则线段 AB称为圆锥曲线焦点弦 F分 苔的比 称为圆锥曲线焦点弦的定点分比 解析几何 中经常遇到 圆锥 曲线的焦点分焦点弦 的定点分比的问题 这里分别给出抛物线 椭圆 双 曲 线的一般结论 相关问题如有意识地运用焦点弦的定 点分比公式解决 将来 得简捷 以焦点 弦的定 点分 比 为背景还可构造新题型 下面介绍圆锥曲线焦点弦的 定点分 比公式并例说其应用 1 抛物线焦点弦的定点分比公式及其应用 定理 1 设 A 为抛物线 y 一2 p x p 0 上一 点 过 焦 点 F 的 弦 为 AB 则 F 分 A百 的 比 一 2 0 一 证明 如图1 设F 要 o 则直线 A B 的 方 程 为 一 Y O 号 XO 2 一 十 号 代入抛物线方程 整理得 p YA v自一 一 P 图 1 于是 F分 的 比 一 一 Y A一 一 2 px A 2 x A 2 x 一 一 P P P 例 1 2 0 0 4年高考全 国卷 I I 给定 抛物线 C y 一4 z F是 C的焦点 过 F的直线 与 C相交于 A B 两 点 1 设 的斜率为 1 求 与商 夹角的大小 2 设葡 一 若 E 4 9 求 2 在 轴上截 距的变化范围 解 1 与 夹角的大小为 丌 一 c c o 3 J 一 f 过 程 略 2 设 A 则由题意及 定理 1 得 F分碹 舭 一 一 E E 4 9 1 可 1 丢 易知 直线 f 的方程为 一 一1 令 o 得纵截距 m一一 r l 一4 x o y o 一 2 卅一一 或 2 v f I 卅一 f J 一 一 击 1在 1 上 递 减 导 或詈 一 旦4 于 是 直 线 z 在 轴 上 截 距 的 变 化 范 围 为 一 号 一 4 3 U 3 4 例 2 如 图 2 过点 P 一2 O 的 直线 与抛物线 4 x交于两不同 点 A C 过 抛 物线 焦 点 F 的 直线 AF C F分别交抛物线 于点 B D 若 F分 的比为 F分茄 的比为 J I O z 求 l 2的取 值 范 围 图2 解 设直线 l 的方程为Y 是 z 2 代入 y 一4 x 整 理得 k z 4 走 4 k 一0 由题意 得 k 1 解 之 得 O 走 4 2 1 4 b 1 2 4 o 2 椭圆焦点弦的定点分比公式及其应用 定理 2 设 A X O y o 为椭 圆 X 2 十 1 盘 6 O 上一点 过焦点 F 一C 0 F c O 的弦分别为 AB AC 则 F 分 的 一 盟 垫 F 分 的 垒 二 坚 b 2 证明 如 图 3 设 B z Y1 惫 仙一卑 直线A B l I TC 的方程 为 y 十 o c c f 一 o c c y o 由 I 得 l 6 z n Y 一a b Y 一 0 图 3 n 2 c xu 2 c y 0 o c y b Y 一 0 一 一 F 1 分 眦 器一 Yo 一 aT 2 c2 2 CX o 同 理 廊的比 例 3 江苏省盐城市 2 0 0 5届 高三第二次调研 考 题 已知点 C O 1 直线 f Y 一4 M 为动点 作 MN 上f 垂 足 为 N 且 2 一 2 o 1 问点 M 的轨迹是什么曲线 并求其方程 2 点 0是坐标原 点 A B两点在 点 M 的轨迹 上 求满足 醅 一 1 的实数 的取值 范围 一2 解 1 点 M 的轨迹是椭圆 1 过程略 2 碚 一 1 一 一 一 一 菌 由 1 可知 C O 1 为椭圆的焦点 焦点 C分焦点弦 的比A C 一2 2 由定理 2易知 若 A x Y o 为椭圆 x T y 1 n 6 o 上一 点 则焦 点 C O c 分焦 点 弦 的比 一 b f 2 c y 0 n 2 于 一 一 5 3 1 帅一T I I 2 I I 2 百1 3 例 4 设 A x o y o 为椭 圆 x 2 T y2 1 n 6 O 一 点 过焦点 F 一c 0 F C 0 的弦分别为 AB AC 求 AB C的面积 这个问题 曾困扰笔者多 年 文 1 已给出 了解法 现利 用椭 圆焦点弦的定点分 比公式 给出 一 个较为简捷的方法 解 如 图 4 设 F 分A直的 J 一 D f 图4 比 为 F 分 的 比 为 则 1 I AB 1 I ACl s i n A AB l l AF I I AF I s i n A AF S A B S A Fl F 一 1 一 I十 AF F B 八l十 F C 一 1 砉 1 由定理 2 得 s A B c 1 1 s A F F 2 一 1 二 千 5 2 F 1 主 S A F I I 害 署 一 一 一 22 c 一 4c I 甏厕 c 4 a c 2 Y 6 下转第 3 O页 维普资讯 l 已有推广的呈现 陕西师范大学数学与信息科学学院 2 0 0 3 级教育硕士 岳建良 对于 2 0 0 4年全 国高中数学联赛题中的向量题 设 点在 A B c内部 且有 2 礴 3 0 则 AB C 的 面 积 与 A C 的 面 积 的 比 为 A 2 B 昔 C 3 D 0 文 1 和文 2 均将其推广 但叙 述稍有不同 为行 文 方便 将其叙述分别摘录如下 文 1 的推广为 设 0点在AAB C内部 且有 声 q 魂 r 一0 P q r 0 o o 则 ABC的面积与 AAO B AB OC AAO C的面积的 比分别为 p q t r垄 窒 P q 文 2 的推广结论为 设 0点 在 AAB C 内部 且 有 十 r 0 C 0 则 S 舢 S A 1I S A O 0 B S B 一 m r 7 r 文 1 和文 2 的证明思路是不同的 各具特色 文E 3 考虑 了一个更一般的问题 设 O是AAB C所在平面上 的一点 m P是三 个实数 若 o X 描 十P 一0 试求 S 邶 被点 O所分的三部分面积之 比 这个问题 中的点 未必在AABC内 P不 仅仅是正实数 但其求解过程因受特殊图形 图 1 的 上 接 第 2 9页 3 双曲线焦点弦的定点分比公式及其应用 定理 3 设 A 为双曲线 一1 口 o 6 0 上一 点 过焦 点 F1 一c 0 F c 0 的直线 AF AF 与双曲线分别交于点 B C 则 F 分 的比为 一a z c z 2 c x o F 分 的 岫 一一 在 定理 2 的证 明 中 只要 以 一b 代 替 b 即 得 证 例 5 2 0 0 0年全国高考题 已知梯形 AB C D 中 J AB J 2 J C D J E分有 向线段 所成的 比为 双 曲 线 过C D E 三 点 且 以A B 为 焦 点 当 号 亍 时 求双 曲线离心率 的取值范围 解 如图 5 以直线 AB为 轴 线段 AB的垂直平分线 为Y轴 建立 直角坐标系 0 由题意 C D关于 V A 曰 Y轴对称 图5 设双曲线方 程为 一l n 0 6 0 焦点 A c O B c O 点 C z y o 则由 l ABl 一2 I C DI 得 2 x 一c 由定理 3知 A分 的比 l 一一 d c 2 c x u n 一 2 e 十 1 E 眦 A分瑟 眦 一一 2 P 1 一 1 一 一一 P2 1 2 A 一 3 一2 T 一1 2 z 一 一 2 在 专 上 递