运筹学第一章.ppt

运筹学OperationsResearch 授课老师 郑黎黎 考试方式 闭卷考试课堂纪律 手机关机 不要讲话不要睡觉关键词 了解 理解 掌握 熟练掌握 考试与要求 运筹学的产生和发展运筹学的定义与特点运筹学解决问题的过程运筹学的主要研究内容参考文献 绪论 运筹学在英国被称为 运筹学的产生和发展 运筹学在美国被称为 1957年我国 operationalresearch operationsresearch 缩写为O R 夫运筹帷幄之中 决胜于千里之外 汉书 1957年我国将O R 译为 运筹学 运筹学思想的出现可以追溯到很早以前 田忌齐王赛马 对策论 丁谓修宫 网络计划 等都体现了优化的思想 运筹学的产生和发展 田忌赛马齐王要与大臣田忌赛马 双方各出上 中 下马各一匹 对局三次 每次胜负1000金 田忌在好友 著名的军事谋略家孙膑的指导下 实施的对策为 齐王上中下田忌下上中最终净胜一局 赢得1000金 运筹学思想的出现可以追溯到很早以前 田忌齐王赛马 对策论 丁谓修宫 网络计划 等都体现了优化的思想 运筹学 作为科学概念最早出现在第二次世界大战期间 美 英等国家的作战研究小组为了解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略 战术问题而提出的 如水雷的布置 对深水潜艇的袭击 商船护航的规模等等 运筹学的产生和发展 战后这些研究成果被应用到生产 经济领域 其发展可以分为三个阶段 1945至50年代初期 创建时期 运筹学的产生和发展 1948年英国成立 运筹学俱乐部 在煤力 电力等部门推广应用运筹学相继一些大学开设运筹学课程1948年美国麻省理工学院1950年英国伯明翰大学1950年第一本运筹学杂志 运筹学季刊 在英国创刊1952年第一个运筹学学会在美国成立1947年丹齐克在研究美国空军资源优化配置时提出线性规划及其通用解法 单纯形法 战后这些研究成果被应用到生产 经济领域 其发展可以分为三个阶段 1945至50年代初期 创建时期50年代初期至50年代末期 成长时期 运筹学的产生和发展 战后这些研究成果被应用到生产 经济领域 其发展可以分为三个阶段 1945至50年代初期 创建时期50年代初期至50年代末期 成长时期 运筹学的产生和发展 此阶段的一个特点是电子计算机技术的迅速发展 使得运筹学中一些方法如单纯形法 动态规划方法等 得以用来解决实际管理统中的优化问题 促进了运筹学的推广应用 50年代未 美国大约有半数的公司在自己的经营管理中应用运筹学 如用于制订生产计划 资源分配 设备更新等方面的决策 另一个特点是有更多刊物 学会出现 战后这些研究成果被应用到生产 经济领域 其发展可以分为三个阶段 1945至50年代初期 创建时期50年代初期至50年代末期 成长时期自60年代来 运筹学迅速普及和迅速发展时期 运筹学的产生和发展 此阶段的特点是运筹学进一步细分为各个分支 专业学术团体的迅速增多 更多期刊的创办 运筹学书籍的大量出版以及更多学校将运筹学课程纳入教学计划之中 第三代电子数字计算机的出现 促使运筹学得以用来研究一些大的复杂的系统 如城市交通 环境污染 国民经济计划等 战后这些研究成果被应用到生产 经济领域 其发展可以分为三个阶段 1945至50年代初期 创建时期50年代初期至50年代末期 成长时期自60年代来 运筹学迅速普及和迅速发展时期 运筹学在我国的发展 运筹学的产生和发展 运筹学的定义与特点 运筹学 OperationsResearch 直译为 运作研究 美国运筹学会认为 运筹学所研究的问题 通常是在要求有限资源的条件下科学地决定如何最好地设计和运营人机系统 中国大百科全书释义 它用数学方法研究经济 民政和国防等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力 物力 财力等资源 使实际系统有效运行的技术科学 它可以用来预测发展趋势 制定行动规划或优选可行方案 运筹学的定义与特点 还有人 运筹学是一门应用科学 它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法 解决实际问题中提出的专门问题 为决策者选择最优决策提供定量依据 特点 系统寻优 多学科综合 辅助决策系统 是由相互关联 相互制约 相互作用的一些部分组成的具有某种功能的有机整体 运筹学研究吸收来自不同领域 具有不同经验和技能的专家为制定决策提供科学依据是运筹学的核心 运筹学解决问题的过程 运筹学解决问题的过程主要包括以下几个步骤 分析和表述问题 这是对问题的定性分析过程 建立模型 运筹学模型大都包括两个部分 目标函数和约束条件 建立模型的过程就是用参数 决策变量表达目标函数 约束条件 运筹学解决问题的过程 模型求解 用各种手段求解模型 解的精度要求可由决策者提出 模型的测试 首先将历史数据输入模型 研究得到的解与历史实际的符合程度 建立对解的有效控制 任何模型都有适用范围 解是否有效 要注意模型是否有效 方案实施 将方案应用的实践中 并检验方案的可行性 若不可行重新进行上述过程 运筹学解决问题的过程 例1 某工厂生产 和 两种型号计算机 生产 型和 型计算机所需要原料分别为2和3个单位 需要的工时分别是4和2个单位 在计划期内可以使用的原料的100个单位 工时为120个单位 已知生产每台 型计算机可获利润分别为6个单位和4个单位 试确定获得最大利润的生产方案 运筹学解决问题的过程 目标函数 约束条件 设z为获得的利润 和分别为生产 型和 型计算机台数 线性规划 运筹学的主要研究内容 运筹学的主要研究内容 运输问题 运输问题 线性规划非线性规划动态规划 运筹学的主要研究内容 有些经营管理活动由一系列相互关联的阶段组成 在每个阶段依次进行决策 而且上一阶段的输出状态就是下一阶段的输入状态 且各阶段决策之间相互关联 构成一个多阶段的决策过程 线性规划非线性规划动态规划 运筹学的主要研究内容 某厂新购某种机床125台 据估计 这种设备5年后将被其它设备所取代 此机床如在高负荷状态下工作 年损坏率为1 2 年利润为10万元 如在低负荷状态下工作 年损坏率为1 5 年利润为6万元 问应如何安排这些机床的生产负荷 才能使5年内获得最大利润 线性规划非线性规划动态规划 图与网络分析把一些研究对象用节点表示 对象之间用边表示 点 边的集合构成图 运筹学的主要研究内容 线性规划非线性规划动态规划 图与网络分析 运筹学的主要研究内容 线性规划非线性规划动态规划 图与网络分析存贮论 用于研究存贮策略的理论和方法 为保障企业生产顺利进行 需要一定数量的原材料和零部件的储备 以调节供需不平衡 需求量可以是常数 也可以是随机变量 提出订货后 货物可以一批到达也可以分批到达 某些情况下允许缺货 有些情况下不允许缺货 存贮策略研究在不同需求 供货及到达方式等情况下 确定在什么时间点及一次提出多大批订货量 使用于订购 贮存和可能发生短缺的费用和最少 运筹学的主要研究内容 线性规划非线性规划动态规划 图与网络分析存贮论排队论 运筹学的主要研究内容 线性规划非线性规划动态规划 图与网络分析存贮论排队论对策论研究具有对抗局势的模型 在这里模型中参与对抗的各方称为局中人 每个局中人均有一组策略可供选择 当采取不同的策略是对应一个收益函数 对策论为局中人提供一套完整的 定量化和程序化的选择策略的理论和方法 运筹学的主要研究内容 线性规划非线性规划动态规划 图与网络分析存贮论排队论对策论决策论决策是指为最优达到目标 依据一定准则 对若干备选行动的方案进行抉择 运筹学的主要研究内容 参考文献 胡运权 运筹学教程 M 北京 清华大学出版社 2007年 钱颂迪 运筹学 M 北京 清华大学出版社 1990年 郭立夫 运筹学 M 长春 吉林大学出版社 2002年 胡运权 运筹学习题集 M 北京 清华大学出版社 2003年 倪本会 刘继泉编著 交通工程概论 M 北京 人民交通出版社 2006年 线性规划与单纯形法 线性规划 Linearprogramming 是运筹学的重要分支 是研究在一组线性等式或者不等式约束下 使得某一线性目标函数取得最大 最小 的极值问题 1947年美国人丹齐克提出了用于求解线性规划的单纯形法 例2 美佳公司计划制造 两种家电产品 各制造一件时分别占用的设备A B的台时 调试时间及每天这两种家电可用能力 各售出一件时获利情况如表所示 问公司应制造两种家电各多少台 使获取的利润最大 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题及其数学模型 例3 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下 设司乘人员在各时间段一开始时上班 并连续工作八小时 问该公交线路至少要配备多少司乘人员 线性规划问题的数学模型和图解法 目标函数 约束条件 线性规划问题的数学模型和图解法 设为各班新上班人数 线性规划问题的特征 每个问题都用一组未知变量表示目标函数和约束条件 有一个目标函数 并且这个目标可表示为一组未知量的线性函数 目标函数可以是求最大也可以求最小 存在一组约束条件 这些约束条件都可以用一组未知量线性等式或不等式表示 线性规划问题的数学模型和图解法 目标函数 约束条件 线性规划问题数学模型的一般形式 其中 为价值系数 为资源系数 为技术系数 或约束系数 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题数学模型的标准型 目标函数 约束条件 其中 为价值系数 为资源系数 为技术系数 或约束系数 线性规划问题及其数学模型 线性规划的标准形式有四个特点 目标最大化 约束为等式 右端项非负 决策变量均非负 对于各种非标准形式的线性规划问题 我们总可以通过以下变换 将其转化为标准形式 线性规划问题及其数学模型 1 极小化目标函数的问题设目标函数为 则可以令 该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解 线性规划问题及其数学模型 2 约束条件不是等式的问题设约束条件为 则可在约束的左端加上一个非负变量使上面的约束这个不等式约束变为等式约束 松弛变量 线性规划问题及其数学模型 同理 对于不等式约束 则可在约束的左端减去一个非负变量 则这个不等式约束变为 这个非负变量称为松弛变量或剩余变量 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的标准型 3 变量无符号限制的问题在标准形式中 必须每一个变量均有非负约束 当某一个变量没有非负约束时 可以令 其中 即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量 当然的符号取决于和的大小 4 对于可以令 显然 5 右端项有负值的问题在标准形式中 要求右端项必须每一个分量非负 当某一个右端项系数为负时 如 则把该等式约束两端同时乘以 1 得到 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的标准型 若设 1 矩阵式 线性规划问题的标准型 2 向量式3 和式 在后面的公式推导中矩阵式和向量式用的比较多 线性规划问题的数学模型和图解法 图解法求解线性规划问题的步骤 分别取决策变量x1 x2为坐标向量建立直角坐标系 确定可行域 对每个不等式约束 包括非负约束 条件 先画出其等式在直角坐标系中的直线 然后确定约束不等式所决定的半平面 各约束半平面交出来的区域即为可行域 图示目标函数 最优解的确定 线性规划问题的标准型和解的概念 例2的可行域表示 利用图解法求解例2的最优解 线性规划问题的标准型和解的概念 例2的可行域表示 利用图解法求解例1的最优解 线性规划问题的标准型和解的概念 图示目标函数和最优解的确定 1 1d 查看目标函数和可行域的关系 寻找线性规划问题的最优解 先将目标函数变为 求解Q2 得到问题最优值 线性规划问题的标准型和解的概念 因此 美佳公司每天制造家电 3 5件 家电 1 5件 能获得的最大利润是8 5元 线性规划问题的标准型和解的概念 无穷多个最优解情况 将例2的目标函数变为 线性规划问题的标准型和解的概念 无界解 例2只包含约束1 1a 1 1d 线性规划问题的标准型和解的概念 无可行解情况如果约束条件中存在相互矛盾的约束时 可行域为空 问题无可行解 线性规划问题的标准型和解的概念 从图解法可以看到 当线性规划问题的可行域非空时 它的可行域是有界或无界凸多边形 若线性规划存在最优解 它一定是在可行域的某个顶点得到 若在两个顶点同时得到 则它们连线上的任意一点都是最优解 即无穷多最优解 线性规划问题的标准型和解的概念 从图解法可以看到 解题思路 先找出凸集的任一顶点 计算在顶点处的目标函数值 比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值大 如果为否 则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一 否则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点 重复上述过程 一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止 复习线性代数内容 列向量x x1 x2 xn T为n维列向量 x Rn行向量x x1 x2 xn 为n维行向量 x Rn矩阵 向量 运算规则加减乘 求逆运算线性相关一组向量v1 vn 如果有一组不全为零的系数 1 n 使得 1v1 nvn 0则称v1 vn是线性相关的 线性无关一组向量v1 vn 如果对于任何数 1 n 若要满足 1v1 nvn 0 则必有系数 1 n 0 全为零 则称v1 vn线性无关 矩阵A的秩设A为一个m n阶矩阵 m n 若矩阵中最大线性无关列向量个数为k 则称矩阵A的秩为k 记为rank A k 线性规划解的概念 线性规划数学模型标准型矩阵式 1 6 1 7 1 8 可行解 满足约束条件 1 7 和非负条件 1 8 的解称为可行解 可行域 可行解的集合 最优解 满足条件 1 6 的可行解 L 线性规划解的概念 基 设A是阶系数矩阵 秩A m 则A中一定存在m个线性无关的列向量 称由m个线性无关的列向量构成的可逆矩阵为问题L的一个基 L最多有个基 基变量 称与基B中的列向量对应的变量为基变量 记为其余变量为非基变量 记为 线性规划解的概念 基解 在约束方程组 1 7 中令所有的非基变量 又因为 B 根据克来姆规则 由m个约束方程可解出m个基变量的唯一解 将这个解加上非基变量取0的值有称X为线性规划问题L的基本解 基本解的非零分量个数小于等于m 当小于m时 则此基解是退化解 这种现象不多 线性规划问题的标准型和解的概念 约束方程的解空间 基本解 可行解 非可行解 基可行解 退化解 线性规划标准型问题解的关系 基可行解 若B对应的基本解则称该解为基本可行解 称B为可行基 凸集及其顶点 凸集 设C是n维欧式空间的一个点集 若任意两点的连线上的一切点 则称C为凸集 凸集的特征是 连接任意两点的线段整个都在集合之中 凸集及其顶点 顶点 设K是凸集 若不能表示成任何两点连线的内点 则称为K的一个顶点 基本定理 定理1 线性规划问题的可行域是一个凸集 设 则 1 9 因为 1 10 所以 又因为 所以 因此线性规划问题的可行域是凸集 基本定理 引理1 线性规划的可行解是基可行解的充要条件是的正分量所对应的系数列向量线性独立 证明 必要性 根据定义即可证得 充分性 设的k个正分量的系数列向量线性独立 若 刚好构成一个基 从而X就是相应的基可行解 若 则当秩A m时 一定可以从A的剩余系数列向量中找到m k个线性无关的列与构成最大线性无关向量组 构成线性规划问题的一个基 其对应的基本可行解恰为 基本定理 引理1 线性规划的可行解是基可行解的充要条件是的正分量所对应的系数列向量线性独立 若线性规划的可行解不是基可行解 的正分量所对应的系数列向量线性相关 基本定理 定理2 线性规划问题的基可行解对应线性规划问题的可行域 凸集 顶点 证明 基本定理 定理2 线性规划问题的基可行解对应线性规划问题的可行域 凸集 顶点 证明 采用反证法 基本定理 定理2 线性规划问题的基可行解对应线性规划问题的可行域 凸集 顶点 证明 采用反证法不失一般性 假设可行解前k个分量为正 故 1 11 必要性 设是可行域的顶点 若不是基可行解则根据引理1 其正分量对应的系数列向量线性相关 即存在一组不全为0的数 使得 1 12 基本定理 用一个非常小的正数乘 1 12 再分别与 1 11 相加减 这样得到 令 因为是一个非常小的正数 因此可以保证 即和是可行解 由和可以得到 即是和连线的中点 即不是可行域的顶点 基本定理 充分性 若X不是可行域D的顶点 则存在 且 及有 于是 对有则另外 则因 所以故线性相关 即X不是基可行解 基本定理 定理3 若线性规划问题有最优解 一定存在一个基可行解 可行域顶点 是最优解 证明 设X是最优解 是可行域的k个顶点 若X不是顶点 则X可以表示为可行域k个顶点的凸组合 表示为 因此 基本定理 另外 在所有顶点上必然会找到一个顶点 使CX s 是所有CX j 中最大的 则 由此得到根据假设是最大值 所以只能是即目标函数在顶点X s 也取得最大值 基本定理 综上 得到结论 线性规划问题的可行域为凸集 定理1 凸集的每个顶点对应一个基可行解 定理2 基可行解的个数是有限的 当然凸集的顶点个数也是有限的 若线性规划有最优解 必在可行域某顶点上达到 定理3 亦即在有限个基可行解中间存在最优解 单纯形法迭代原理 单纯形法求解思路 由于基可行解数目有限 小于等于 因此 经过有限次迭代即可找到最优解 确定下面线性规划问题的初始基可行解 确定初始基可行解 大M法 若给定问题标准化后 系数矩阵中不存在m个线性无关的单位列向量 则在某些约束的左端加入非负变量 人工变量 使得变化后的系数矩阵中恰有m个线性无关的单位列向量 并且在目标函数中减去这些人工变量与M的乘积 M是相当大的一个正数 对于变化后的问题 取这m个单位列向量构成的单位矩阵为初始基 该基对应的解一定是基可行解 确定初始基可行解 关于大M法的几点结论 若原问题存在最优解X 则变化后的问题也存在最优解 X 0 且后者的最优解就是原问题的最优解 若经过单纯形法迭代后变化后问题的最优解中含有不等于零的人工变量 则原问题无可行解 用M法确定下面线性规划问题的初始基可行解 最优性检验与单纯形表 考虑线性规划问题 L 1 6 记下面将式 1 7 进行变换 用非基变量表示基变量 然后将基变量和非基变量带入目标函数 1 7a 最优性检验与单纯形表 然后将带入目标函数得即 1 6a 称为变量xj对应的检验数 最优性检验与单纯形表 定理4 最优性 对某基可行解其余 若所有 则该解为最优解 证明 对于一切可行解X 当所有的时 基可行解其余对应的目标值恰好是 所以基可行解其余是最优解 最优性检验与单纯形表 求解例1的一个基可行解和相应的检验数 并判断其是否最优解 取为初始基B 则是基可行解 最优性检验与单纯形表 求解例2的一个基可行解和相应的检验数 并判断其是否最优解 最优性检验与单纯形表 定理5 无界解 若对某可行基B 若存在 则该线性规划问题无有限最优解 或称无最优解 证明 设此时对应的目标函数值为Z0 基可行解为 则有即二者乘积所得列向量的每个元素小于等于0 最优性检验与单纯形表 构造新的解 其分量为 最优性检验与单纯形表 最优性检验与单纯形表 再验证它满足非负约束由于所以对于任意的 都是可行解 把带入目标函数中得 由于大于0 故当 即该问题得目标函数无界 单纯形表 将式子 1 7a 和 1 6a 变化为 增广矩阵 j cj CBB 1Pj 基变量值 基变量 基变量价值系数 决策变量价值系数 每个基可行解对应一个单纯形表 例8计算下列线性规划取为初始基为初始基可行解 解 表1 7 c 基的变换 旋转变换 就是对单纯形表中的元素做如下初等行变换 将一个非基变量xk旋入基变量中 同时将基变量xBl旋出 用xk取代xBl 设可行基B对应的单纯形表为 表中 xk是非基变量 xBl是基变量 基的变换 旋转变换 表中第l行都除以 即表中第i行 元素减第l行对应新元素的倍 即单纯形表 在上述初等行变换下变为 基的变换 旋转变换 上述旋转变换中 旋转主元l 为旋转行 k为旋转列 旋转行对应的基变量xBl 旋出变量旋转列对应的非基变量xk 旋入变量 例8计算下列线性规划取为初始基为初始基可行解 基的变换 旋转变换 由上面的例子可以看出 旋转变换的实质就是用一系列的初等行变换将主元列变为单位列向量 其中主元变为1 主元列的其余元素都为零 基的变换 旋转变换 引理2若 是以为基的单纯形表 则在旋转变换下得到的 是以为基的单纯形表 由引理2可知 对单纯形表进行旋转变换就是实现基的变换 因而能从一个基本解求出另外一个基本解 如果按照一定规则选取旋入变量及旋出变量 就能保证基的变换始终在基可行解间进行 而且目标函数值不断改善 单纯形算法步骤 1 确定初始基B和初始基可行解建立初始单纯形表 2 检查非基变量的检验数 若所有的 则已经得到最优解计算停 求确定xk为旋入变量 3 若 则此问题无有限最优解 计算停 否则转入步骤4 单纯形算法步骤 4 计算确定xBl为旋出变量 5 以为主元做旋转变换得新的单纯形表 转步骤2 单纯形算法步骤 习题1计算下列线性规划取为初始基为初始基可行解 确定初始基可行解 例6用单纯形法求解下面的线性规划问题 单纯形法的进一步讨论 如果线性规划问题中的aij bi或cj等参数值与这个代表M的数相对比较接近 或远远小于这个数字 由于计算机计算时取值上的误差 有可能使计算结果发生错误 为了克服这个困难 可以对添加人工变量后的线性规划问题分两个阶段来计算 称两阶段法 单纯形法的进一步讨论 两阶段法 第一阶段 目的是求解该问题的一个初始基可行解 在约束中加入人工变量使系数矩阵出现单位阵 然后目标函数变为maxW 人工变量 如果所得最优解中所有的人工变量都为零则得到原问题的一个基可行解 而非最优解 否则原问题无可行解 如果第一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0 也即最优解的基变量中含有非零的人工变量 表明原线性规划问题无可行解 单纯形法的进一步讨论 第二阶段 将第一阶段得到的基可行解作为原问题的初始基可行解 以原目标函数为目标函数进行计算 然后按照单纯形法求解原问题的最优解 例6两阶段法 第一阶段 cj 请注意 第一阶段的最优解不是唯一的 cj cj 第二阶段 cj cj 第二阶段 cj cj 单纯形法小解 摄动法 避免循环问题取以XK为旋入变量计算当存在两个或两个以上的比值都等于 时 选取下标最小的基变量为换出变量 退化与循环 检验数的其它形式 线性规划应用举例 配料问题 书上例题14 根据对四种食物所含三种维生素 维生素A 维生素B 维生素C的成分及食物的市场价格调查 按照医生所提出的对每个人每天所需的营养要求 可得下面的表格 问怎样采购食物才能在保证营养要求的前提下花费最省 线性规划应用举例 混合配料问题 摘自胡运权 运筹学教程 某糖果厂用原料A B C加工成三种不同牌号的糖果甲 乙 丙 已知各种牌号糖果中A B C含量 原料成本 各种原料的每月限制用量 三种牌号糖果的单位加工费及售价 如表1 17所示 问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少kg 才能使其获利最大 试建立这个问题的线性规划的数学模型 解用i 1 2 3分别代表原料A B C 用j 1 2 3分别代表甲 乙 丙三种糖果 xij为生产第j种糖果耗用的第i种原料的kg数量 该厂的获利为三种牌号糖果的售价减去相应的加工费和原料成本 三种糖果的生产量分别为 x甲 x乙 x丙 线性规划应用举例 线性规划应用举例 线性规划应用举例 产品计划问题1 摘自胡运权 运筹学教程 某厂生产 三种产品 都分别经A B两道工序加工 设A工序可分别在设备A1或A2上完成 有B1 B2 和B3三种设备可用于完成B工序 已知产品I可在A和B任何一种设备上加工 产品 可在任何规格的A设备上加工 但完成B工序时 只能在B1设备上加工 产品 只能在A2与B2设备上加工 加工单位产品所需工序时间及其它各项数据见下表 试安排最优生产计划 使该厂获利最大 线性规划应用举例 线性规划应用举例 产品计划问题2 书上例题11 某工厂生产A B两种产品 均需经过两道工序 每生产一吨产品A需要经第一道工序加工2小时 第二道工序加工3小时 每生产一吨产品B需要经过第一道工序加工3小时 第二道工序加工4小时 可供利用的第一道工序工时为12 第二道工序工时为24 生产产品B的同时产出副产品C 每生