全国高中数学竞赛二试模拟训练题(32)(1).doc

加试模拟训练题（32）1、 三个全等的圆有一公共点o，并且都在一个已知三角形内，每一个圆与三角形的两条边相切证明：这个三角形的内心、外心与o点共线2. 已知正实数的和等于1,证明:. 3、 一棱柱以五边形a1a2a3a4a5与b1b2b3b4b5为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一条线段aibj(i，j1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同证明上、下底10条边颜色一定相同4已知n2，求证：如果对于整数k（）是质数，则对于所有整数都是质数.加试模拟训练题（32）1、 三个全等的圆有一公共点o，并且都在一个已知三角形内，每一个圆与三角形的两条边相切证明：这个三角形的内心、外心与o点共线【题说】 第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题5【证】 因为o1o2ab，o2o3bc，o3o1ca所以abco1o2o3因为ao1、bo2、co3是abc的角平分线，所以它们相交于abc的内心i从而abc与o1o2o3位似，i为位似中心因为oo1oo2oo3，所以，o是o1o2o3的外心因此，abc的外心k、o1o2o3的外心o、位似中心i三点共线 2. 已知正实数的和等于1,证明:. (1999-2000年波兰数学竞赛题)分析与证明: 根据不等式的特点,以,代入原不等式并整理可得齐次不等式:.即 .因为 ,又 =+.纵上可知原不等式成立.3、 一棱柱以五边形a1a2a3a4a5与b1b2b3b4b5为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一条线段aibj(i，j1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同证明上、下底10条边颜色一定相同【题说】 第二十一届(1979年)国际数学奥林匹克题2本题由保加利亚提供【证】 首先我们证明上底的五条边颜色完全相同如果上底的五条边颜色不完全相同，那么必有两条相邻的边颜色不同，不妨设a1a2是绿的，a1a5是红的自a1引出五条线段a1b1、a1b2、a1a3、a1a4、a1a5中，至少有三条有相同的颜色，这三条线段的端点bj中必有两个相邻，不妨设a1b1，a1b2均为绿色，那么b1b2必为红色，但b1a1a2推出a2b1为红色，由b2a1a2推出a2b2也为红色，这时得a2b1b2的三条边都是红色的，与已知条件矛盾这就证明了上底的五条边的颜色必相同同理可证下底的五条边的颜色也相同现在来证明，上、下底的颜色必须是同样的若不然，上、下底的颜色不同，不妨设上底的五条边全是绿色，下底的五条边全为红色前述中设a1b1、a1b2颜色相同，由于b1b2是红色的，a1b、a1b2都必须是绿色的与前面的证明完全一样，b1a1a2、b2a1a2、a2b1b2中必有一个三条边是同一颜色的三角形而与已知条件矛盾所以，上、下底10条边颜色一定相同 4已知n2，求证：如果对于整数k（）是质数，则对于所有整数都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m是使为合数的最小正整数.若的最小质因子，则.（1）若mp，则p|(mp)2+(mp)+n. 又(mp)2+(mp)+nnp