高中数学 第2章 圆锥曲线与方程质量评估检测 新人教A版选修21.doc

第二章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为()ab c(1,0) d(0,1)解析：抛物线过点(1,4)，42a，a2，抛物线方程为x2y，焦点坐标为.答案：a2已知0，则双曲线c1：1与c2：1的()a实轴长相等 b虚轴长相等c离心率相等 d焦距相等解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距双曲线c1和c2的实半轴长分别是sin和cos，虚半轴长分别是cos和sin，则半焦距c都等于1，故选d.答案：d3中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()a. b.c. d.解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx，因为点(4，2)在渐近线上，所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，e.答案：d4若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()a.1 b.1 c.1或1 d.1解析：2c6，c3，2a2b18，a2b2c2，椭圆方程为1或1.答案：c5已知双曲线x21的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则的最小值为()a1 b0 c2 d解析：设点p(x0，y0)，则x1，由题意得a1(1,0)，f2(2,0)，则(1x0，y0)(2x0，y0)xx02y，由双曲线方程得y3(x1)，故4xx05(x01)，可得当x01时，有最小值2，故选c.答案：c6已知f是抛物线yx2的焦点，p是该抛物线上的动点，则线段pf中点的轨迹方程是()ax22y1 bx22ycx2y dx22y2解析：设p(x0，y0)，pf的中点为(x，y)，则y0x，又f(0,1)，代入y0x得2y1(2x)2，化简得x22y1，故选a.答案：a7抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()a. b. c1 d.解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.答案：b8直线yxb与抛物线x22y交于a、b两点，o为坐标原点，且oaob，则b()a2 b2c1 d1解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程组消去y，得x22x2b0，所以x1x22，x1x22b，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2b2，又oaob，x1x2y1y20，即b22b0，解得b0(舍)或b2.答案：a9已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：因为双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以f(6,0)是双曲线的左焦点，即a2b236，又双曲线的一条渐近线方程是yx，所以，解得a29，b227，所以双曲线的方程为1，故选b.答案：b10若动圆圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()a(4,0) b(2,0)c(0,2) d(0，2)解析：抛物线y28x上的点到准线x20的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)答案：b11设圆锥曲线的两个焦点分别为f1，f2.若曲线上存在点p满足|pf1|f1f2|pf2|432，则曲线的离心率等于()a.或 b.或2 c.或2 d.或解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|pf1|f1f2|pf2|432，知若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e；若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e.综上，所求的离心率为或.故选a.答案：a12已知椭圆c；1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1 b.1 c.1 d.1解析：利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆c的方程为1.答案：d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知椭圆c：1的左、右焦点分别为f1，f2，p是椭圆上一点，且满足|pf2|f1f2|，则pf1f2的面积等于_解析：由1知，a5，b4，c3，即f1(3,0)，f2(3,0)，|pf2|f1f2|6.又由椭圆的定义，知|pf1|pf2|10，|pf1|1064，于是spf1f2|pf1|h48.答案：814抛物线x22py(p0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a，b两点，若abf为等边三角形，则p_.解析：根据抛物线与双曲线的图象特征求解由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为a，b，所以|ab|2.由abf为等边三角形，得|ab|p，解得p6.答案：615设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，f2的坐标为(c,0)，p点坐标为，由题意知|pf2|f1f2|，所以2c，a2c22ac，2210，解得1，负值舍去答案：116已知双曲线c：1，给出以下4个命题，真命题的序号是_直线yx1与双曲线有两个交点；双曲线c与1有相同的渐近线；双曲线c的焦点到一条渐近线的距离为3.解析：错误，因为直线yx1与渐近线yx平行，与双曲线只有一个交点；正确，渐近线方程为yx；正确，右焦点为(，0)到渐近线yx的距离为3.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)求与椭圆1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程解析：由椭圆方程为1，知长半轴长a13，短半轴长b12，焦距的一半c1，焦点是f1(，0)，f2(，0)，因此双曲线的焦点也是f1(，0)，f2(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为y21.18(本小题满分12分)已知动圆c过定点f(0,1)，且与直线l：y1相切，圆心c的轨迹为e.(1)求动点c的轨迹方程；(2)已知直线l2交轨迹e于两点p，q，且pq中点的纵坐标为2，则|pq|的最大值为多少？解析：(1)由题设点c到点f的距离等于它到l1的距离，点c的轨迹是以f为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x24y，当直线ab斜率为0时|pq|4.当直线ab斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，则有x4y1，x4y2，两式作差得xx4(y1y2)，即得k，则直线方程为y2(xt)，与x24y联立得x22tx2t280.由根与系数的关系得x1x22t，x1x22t28，|pq|6，即|pq|的最大值为6.19(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，f1，f2为左、右焦点，p为双曲线上一点，且f1pf260，12，求双曲线的标准方程解析：如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)e2，c2a.由双曲线的定义，得|pf1|pf2|2ac，在pf1f2中，由余弦定理，得：|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos60(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|(1cos60)，即4c2c2|pf1|pf2|.又spf1f212，|pf1|pf2|sin6012，即|pf1|pf2|48.由，得c216，c4，则a2，b2c2a212，所求的双曲线方程为1.20(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点a(4，m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线ykx2相交于不同的两点a、b，且ab中点横坐标为2，求k的值解析：(1)由题意设抛物线方程为y22px，p0其准线方程为x，a(4，m)到焦点的距离等于a到其准线的距离，46，p4，此抛物线的方程为y28x.(2)由消去y得k2x2(4k8)x40，直线ykx2与抛物线相交于不同两点a、b，则有，解得k1且k0，由x1x24解得k2或k1(舍去)所求k的值为2.21(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为a(0,1)，离心率为，过点b(0，2)及左焦点f1的直线交椭圆于c，d两点，右焦点设为f2.(1)求椭圆的方程；(2)求cdf2的面积解析：(1)由题意知b1，且c2a2b2，解得a，c1.易得椭圆方程为y21.(2)f1(1,0)，直线bf1的方程为y2x2，由得9x216x60.162496400，所以直线与椭圆有两个公共点，设为c(x1，y1)，d(x2，y2)，则|cd|x1x2|，又点f2到直线bf1的距离d，故|cd|d.22(本小题满分12分)过点c(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点a(a,0)，b(a,0)，过点c的直线l与椭圆交于另一点d，并与x轴交于点p，直线ac与直线bd交于点q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段cd的长；(2)当点p异于点b时，求证：为定值解析：(1)由已知得b1，解得a2，c，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x