高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 新人教A版必修2.doc

【师说】2015-2016学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 新人教a版必修2时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列说法不正确的是()a空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形b同一平面的两条垂线一定共面c过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内d过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，ad平面dcc1d1，因此平面abcd、平面aa1d1d均与平面dcc1d1垂直而且平面aa1d1d平面abcdad，显然选项d不正确，故选d.答案：d2.设a，b是两条直线，是两个平面，若a，a，b，则内与b相交的直线与a的位置关系是()a平行b相交c异面 d平行或异面解析：因为a，a，b，所以ab.又因为a与无公共点，所以内与b相交的直线与a异面答案：c3.如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1ab2，ad1，e，f，g分别是dd1，ab，cc1的中点，则异面直线a1e与gf所成角为()a30 b45c60 d90解析：连接eg，b1g，b1f，则：a1eb1g，故b1gf为异面直线a1e与gf所成的角由aa1ab2，ad1可得b1g，gf，b1f，b1f2b1g2gf2，b1gf90，即异面直线a1e与gf所成的角为90.答案：d4.下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是() a bc d解析：如图所示：平面abc平面mnp，所以ab平面mnp，故正确中易证npab，故ab平面mnp.不正确答案：b5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则解析：如图，在长方体abcda1b1c1d1中，平面bcc1b1平面abcd，bc1平面bcc1b1，bc平面abcd，而bc1不垂直于bc，故a错误平面a1b1c1d1平面abcd，b1d1平面a1b1c1d1，ac平面abcd，但b1d1和ac不平行，故b错误aba1d1，ab平面abcd，a1d1平面a1b1c1d1，但平面a1b1c1d1平面abcd，故c错误故选d.答案：d6设直线l平面，过平面外一点a与l，都成30角的直线有且只有()a1条 b2条c3条 d4条解析：如图，和成30角的直线一定是以a为顶点的圆锥的母线所在直线，当abcacb30，直线ac，ab都满足条件，故选b.答案：b7.已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形，若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b.c. d.解析：取正三角形abc的中心o，连结op，则pao是pa与平面abc所成的角因为底面边长为，所以ad，aoad1.三棱柱的体积为()2aa1，解得aa1，即opaa1，所以tanpao，即pao.答案：b8已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc内的射影为abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：由题意知三棱锥a1abc为正四面体，设棱长为a，则ab1a，棱柱的高a1oa(即点b1到底面abc的距离)，故ab1与底面abc所成角的正弦值为，故选b.答案：b9在四面体abcd中，已知棱ac的长为，其余各棱长都为1，则二面角acdb的平面角的余弦值为()a. b.c. d.解析：取ac的中点e，cd的中点f，连接ef，bf，be，ac，其余各棱长都为1，adcd，efcd.又bfcd，bfe是二面角acdb的平面角ef，be，bf，ef2be2bf2.bef90，cosbfe，故选c.答案：c10.已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.解析：如图，设aba，则aa12a，三棱锥cbdc1的高为h，cd与平面bdc1所成的角为.因为vcbdc1vc1bdc，即aaha22a，解得ha.所以sin.答案：a11如图，四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成四面体abcd，则在四面体abcd中，下列结论正确的是()a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc解析：易知：bcd中，dbc45，bdc90，又平面abd平面bcd，而cdbd，cd平面abd，abcd，而abad，ab平面acd，平面abc平面acd.答案：d12已知平面平面，l，在l上取线段ab4，ac、bd分别在平面和平面内，且acab，db ab，ac3，bd12，则cd的长度为()a13 b.c12 d15解析：如图，连接ad.，ac，db，在rtabd中，ad.在rtcad中，cd13.答案：a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p是平面aa1d1d的中心，点q是b1d1上一点，且pq平面ab1d，则线段pq长为_解析：连接ab1，ad1，因为点p是平面aa1d1d的中心，所以点p是ad1的中点，因为pq平面ab1，pq平面ab1d1，平面ab1d1平面ab1ab1，所以pqab1，所以pqab1.答案：14在直四棱柱abcda1b1c1d1中，当底面四边形a1b1c1d1满足条件_时，有a1cb1d1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)解析：由直四棱柱可知cc1面a1b1c1d1，所以cc1b1d1，要使b1d1a1c，只要b1d1平面a1cc1，所以只要b1d1a1c1，还可以填写四边形a1b1c1d1是菱形，正方形等条件答案：b1d1a1c1(答案不唯一)15.如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e为bc的中点，点p在线段d1e上，点p到直线cc1上的距离的最小值为_解析：如图，过点e作ee1平面a1b1c1d1，交直线b1c1于点e1，连接d1e1，de，在平面d1dee1内过点p作phee1交d1e1于点h，连接c1h，则c1h即为点p到直线cc1的距离当点p在线段d1e上运动时，点p到直线cc1的距离的最小值为点c1到线段d1e1的距离，即为c1d1e1的边d1e1上的高h.c1d12，c1e11，d1e1，h.答案：16将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，有如下三个结论acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd成60的角；说法正确的命题序号是_解析：如图所示，取bd中点e，连接ae，ce，则bdae，bdce，而aecee，bd平面aec，ac平面aec，故acbd，故正确设正方形的边长为a，则aecea.由知aec90是直二面角abdc的平面角，且aec90，aca，acd是等边三角形，故正确由题意及知，ae平面bcd，故abe是ab与平面bcd所成的角，而abe45，所以不正确答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，正四棱锥sabcd的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长的倍，o为底面对角线的交点，p为侧棱sd上的点(1)求证：acsd；(2)f为sd中点，若sd平面pac，求证：bf平面pac.证明：(1)连接so，四边形abcd为正方形，acbd且o为ac中点，又sasc，soac，又sobdo，ac平面sbd，又sd平面sbd，acsd.(2)连接op，sd平面acp，op平面acp，opsd，又sbd中，bdasb，且f为sd中点，bfsd，因为op、bf平面bdf，所以opbf，又op平面acp，bf平面pac，bf平面pac.18(本小题满分12分)如图，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab，过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点求证：(1)平面efg平面abc.(2)bcsa.证明：(1)因为asab，afsb，垂足为f，所以f是sb的中点又因为e是sa的中点，所以efab.因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.同理eg平面abc.又因为efege，所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc，且交线为sb，又因为af平面sab，afsb，所以af平面sbc，因为bc平面sbc，所以afbc.又因为abbc，afaba，af平面sab，ab平面sab，所以bc平面sab.又因为sa平面sab，所以bcsa.19(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，点e在线段pc上，pc平面bde.(1)证明：bd平面pac；(2)若pa1，ad2，求二面角bpca的正切值解析：(1)证明：pa平面abcd，pabdpc平面bde，pcbd.bd平面pac.(2)设ac与bd交点为o，连接oe.pc平面bde，pcoe.又bo平面pac，pcbo，pc平面boe，pcbe，beo为二面角bpca的平面角bd平面pac，bdac，四边形abcd为正方形，bo.在pac中，oe，tanbeo3，二面角bpca的平面角的正切值为3.20(本小题满分12分)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若abcb2，a1c，求三棱柱abca1b1c1的体积解析：(1)取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由题设知abc与aa1b都是边长为2的等边三角形，所以ocoa1，又a1c，则a1c2oc2oa，故oa1oc.因为ocabo，所以oa1面abc，oa1为三棱柱abca1b1c1的高又sabcaboc，故三棱柱abca1b1c1的体积vsabcoa13.21(本小题满分12分)如图，在直棱柱abca1b1c1中，bac90，abac，aa13，d是bc的中点，点e在棱bb1上运动(1)证明：adc1e；(2)当异面直线ac，c1e所成的角为60时，求三棱锥c1a1b1e的体积解析：(1)证明：因为abac，d是bc的中点，所以adbc，又在直三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，而ad平面abc，所以adbb1，由可得ad平面bb1c1c，因为点e在棱bb1上运动得c1e平面bb1c1c，所以adc1e.(2)因为aca1c1，所以a1c1e是异面直线ac与c1e所成的角，所以a1c1e60，因为b1a1c1bac90，所以a1c1a1b1，又aa1a1c1，从而a1c1平面a1abb1，于是a1c1a1e，故c1e2，又b1c12，所以b1e2，从而vc1a1b1esa1b1ea1c12.22(本小题满分12分)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，adab，ab，ad2，bc4，aa12，e是dd1的中点，f是平面fb1c1e与直线aa1的交点(1)证明：efa1d1；ba1平面b1c1ef.(2)求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值解析：(1)证明：由adbc，bcb1c1可得adb1c1，又b1c1平面aa1d1d，ad平面aa1d1d，b1c1平面aa1d1d，又平面b1c1e平面aa1d1def，b1c1ef，又a1d1b1c1，efa1d1.在rtfa1b1和rta1b