八年级数学上册 2.3 等腰三角形典型例题练习 （新版）湘教版.doc

等腰三角形一选择题（共2小题）1如图，c=90，ad平分bac交bc于d，若bc=5cm，bd=3cm，则点d到ab的距离为（）a5cmb3cmc2cmd不能确定2如图，已知c是线段ab上的任意一点（端点除外），分别以ac、bc为边并且在ab的同一侧作等边acd和等边bce，连接ae交cd于m，连接bd交ce于n给出以下三个结论：ae=bdcn=cmmnab其中正确结论的个数是（）a0b1c2d3二填空题（共1小题）3如图，在正三角形abc中，d，e，f分别是bc，ac，ab上的点，deac，efab，fdbc，则def的面积与abc的面积之比等于_三解答题（共15小题）4在abc中，ad是bac的平分线，e、f分别为ab、ac上的点，且edf+eaf=180，求证de=df5在abc中，abc、acb的平分线相交于点o，过点o作debc，分别交ab、ac于点d、e请说明de=bd+ec6已知：如图，d是abc的bc边上的中点，deab，dfac，垂足分别为e，f，且de=df请判断abc是什么三角形？并说明理由7如图，abc是等边三角形，bd是ac边上的高，延长bc至e，使ce=cd连接de（1）e等于多少度？（2）dbe是什么三角形？为什么？8如图，在abc中，acb=90，cd是ab边上的高，a=30求证：ab=4bd9如图，abc中，ab=ac，点d、e分别在ab、ac的延长线上，且bd=ce，de与bc相交于点f求证：df=ef10已知等腰直角三角形abc，bc是斜边b的角平分线交ac于d，过c作ce与bd垂直且交bd延长线于e，求证：bd=2ce11（2012牡丹江）如图，abc中ab=ac，p为底边bc上一点，peab，pfac，chab，垂足分别为e、f、h易证pe+pf=ch证明过程如下：如图，连接appeab，pfac，chab，sabp=abpe，sacp=acpf，sabc=abch又sabp+sacp=sabc，abpe+acpf=abchab=ac，pe+pf=ch（1）如图，p为bc延长线上的点时，其它条件不变，pe、pf、ch又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若a=30，abc的面积为49，点p在直线bc上，且p到直线ac的距离为pf，当pf=3时，则ab边上的高ch=_点p到ab边的距离pe=_12数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形abc中，点e在ab上，点d在cb的延长线上，且ed=ec，如图，试确定线段ae与db的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点e为ab的中点时，如图1，确定线段ae与db的大小关系，请你直接写出结论：ae_db（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，ae与db的大小关系是：ae_db（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点e作efbc，交ac于点f（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形abc中，点e在直线ab上，点d在直线bc上，且ed=ec若abc的边长为1，ae=2，求cd的长（请你直接写出结果）13已知：如图，af平分bac，bcaf于点e，点d在af上，ed=ea，点p在cf上，连接pb交af于点m若bac=2mpc，请你判断f与mcd的数量关系，并说明理由14如图，已知abc是等边三角形，点d、e分别在bc、ac边上，且ae=cd，ad与be相交于点f（1）线段ad与be有什么关系？试证明你的结论（2）求bfd的度数15如图，在abc中，ab=bc，abc=90，f为ab延长线上一点，点e在bc上，be=bf，连接ae、ef和cf，求证：ae=cf16已知：如图，在oab中，aob=90，oa=ob，在eof中，eof=90，oe=of，连接ae、bf问线段ae与bf之间有什么关系？请说明理由17（2006郴州）如图，在abc中，ab=ac，d是bc上任意一点，过d分别向ab，ac引垂线，垂足分别为e，f，cg是ab边上的高（1）de，df，cg的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若d在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由18如图甲所示，在abc中，ab=ac，在底边bc上有任意一点p，则p点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即pd+pe=cf，若p点在bc的延长线上，那么请你猜想pd、pe和cf之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1如图，c=90，ad平分bac交bc于d，若bc=5cm，bd=3cm，则点d到ab的距离为（）a5cmb3cmc2cmd不能确定考点：角平分线的性质分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点d到ab的距离等于d到ac的距离即cd的长，问题可解解答：解：c=90，ad平分bac交bc于dd到ab的距离即为cd长cd=53=2故选c2如图，已知c是线段ab上的任意一点（端点除外），分别以ac、bc为边并且在ab的同一侧作等边acd和等边bce，连接ae交cd于m，连接bd交ce于n给出以下三个结论：ae=bdcn=cmmnab其中正确结论的个数是（）a0b1c2d3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：由acd和bce是等边三角形，根据sas易证得acedcb，即可得正确；由acedcb，可得eac=ndc，又由acd=mcn=60，利用asa，可证得acmdcn，即可得正确；又可证得cmn是等边三角形，即可证得正确解答：解：acd和bce是等边三角形，acd=bce=60，ac=dc，ec=bc，acd+dce=dce+ecb，即ace=dcb，acedcb（sas），ae=bd，故正确；eac=ndc，acd=bce=60，dce=60，acd=mcn=60，ac=dc，acmdcn（asa），cm=cn，故正确；又mcn=180mcancb=1806060=60，cmn是等边三角形，nmc=acd=60，mnab，故正确故选d二填空题（共1小题）3如图，在正三角形abc中，d，e，f分别是bc，ac，ab上的点，deac，efab，fdbc，则def的面积与abc的面积之比等于1：3考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：首先根据题意求得：dfe=fed=edf=60，即可证得def是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得df：ab=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答：解：abc是正三角形，b=c=a=60，deac，efab，fdbc，afe=ced=bdf=90，bfd=cde=aef=30，dfe=fed=edf=60，def是正三角形，bd：df=1：，bd：ab=1：3，defabc，=，df：ab=1：，def的面积与abc的面积之比等于1：3故答案为：1：3三解答题（共15小题）4在abc中，ad是bac的平分线，e、f分别为ab、ac上的点，且edf+eaf=180，求证de=df考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义分析：过d作dmab，于m，dnac于n，根据角平分线性质求出dn=dm，根据四边形的内角和定理和平角定义求出aed=cfd，根据全等三角形的判定aas推出emdfnd即可解答：证明：过d作dmab，于m，dnac于n，即emd=fnd=90，ad平分bac，dmab，dnac，dm=dn（角平分线性质），dme=dnf=90，eaf+edf=180，med+afd=360180=180，afd+nfd=180，med=nfd，在emd和fnd中，emdfnd，de=df5在abc中，abc、acb的平分线相交于点o，过点o作debc，分别交ab、ac于点d、e请说明de=bd+ec考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质分析：根据ob和oc分别平分abc和acb，和debc，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出db=do，oe=ec然后即可得出答案解答：解：在abc中，ob和oc分别平分abc和acb，dbo=obc，eco=ocb，debc，dob=obc=dbo，eoc=ocb=eco，db=do，oe=ec，de=do+oe，de=bd+ec6已知：如图，d是abc的bc边上的中点，deab，dfac，垂足分别为e，f，且de=df请判断abc是什么三角形？并说明理由考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质分析：用（hl）证明ebdfcd，从而得出ebd=fcd，即可证明abc是等腰三角形解答：abc是等腰三角形证明：连接ad，deab，dfac，bed=cfd=90，且de=df，d是abc的bc边上的中点，bd=dc，rtebdrtfcd（hl），ebd=fcd，abc是等腰三角形7如图，abc是等边三角形，bd是ac边上的高，延长bc至e，使ce=cd连接de（1）e等于多少度？（2）dbe是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定分析：（1）由题意可推出acb=60，e=cde，然后根据三角形外角的性质可知：acb=e+cde，即可推出e的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，bd不但为ac边上的高，也是abc的角平分线，即得：dbc=30，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出dbe是等腰三角形解答：解：（1）abc是等边三角形，acb=60，cd=ce，e=cde，acb=e+cde，（2）abc是等边三角形，bdac，abc=60，e=30，dbc=e，dbe是等腰三角形8如图，在abc中，acb=90，cd是ab边上的高，a=30求证：ab=4bd考点：含30度角的直角三角形分析：由abc中，acb=90，a=30可以推出ab=2bc，同理可得bc=2bd，则结论即可证明解答：解：acb=90，a=30，ab=2bc，b=60又cdab，dcb=30，bc=2bdab=2bc=4bd9如图，abc中，ab=ac，点d、e分别在ab、ac的延长线上，且bd=ce，de与bc相交于点f求证：df=ef考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析：过d点作dgae交bc于g点，由平行线的性质得1=2，4=3，再根据等腰三角形的性质可得b=2，则b=1，于是有db=dg，根据全等三角形的判定易得dfgefc，即可得到结论解答：证明：过d点作dgae交bc于g点，如图，1=2，4=3，ab=ac，b=2，b=1，db=dg，而bd=ce，dg=ce，在dfg和efc中，dfgefc，df=ef10已知等腰直角三角形abc，bc是斜边b的角平分线交ac于d，过c作ce与bd垂直且交bd延长线于e，求证：bd=2ce考点：全等三角形的判定与性质分析：延长ce，ba交于一点f，由已知条件可证得bfe全bec，所以fe=ec，即cf=2ce，再通过证明adbfac可得fc=bd，所以bd=2ce解答：证明：如图，分别延长ce，ba交于一点fbeec，feb=ceb=90，be平分abc，fbe=cbe，又be=be，bfebce （asa）fe=cecf=2ceab=ac，bac=90，abd+adb=90，adb=edc，abd+edc=90又dec=90，edc+ecd=90，fca=dbc=abdadbafcfc=db，bd=2ec11（2012牡丹江）如图，abc中ab=ac，p为底边bc上一点，peab，pfac，chab，垂足分别为e、f、h易证pe+pf=ch证明过程如下：如图，连接appeab，pfac，chab，sabp=abpe，sacp=acpf，sabc=abch又sabp+sacp=sabc，abpe+acpf=abchab=ac，pe+pf=ch（1）如图，p为bc延长线上的点时，其它条件不变，pe、pf、ch又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若a=30，abc的面积为49，点p在直线bc上，且p到直线ac的距离为pf，当pf=3时，则ab边上的高ch=7点p到ab边的距离pe=4或10考点：等腰三角形的性质；三角形的面积分析：（1）连接ap先根据三角形的面积公式分别表示出sabp，sacp，sabc，再由sabp=sacp+sabc即可得出pe=pf+ph；（2）先根据直角三角形的性质得出ac=2ch，再由abc的面积为49，求出ch=7，由于chpf，则可分两种情况进行讨论：p为底边bc上一点，运用结论pe+pf=ch；p为bc延长线上的点时，运用结论pe=pf+ch解答：解：（1）如图，pe=pf+ch证明如下：peab，pfac，chab，sabp=abpe，sacp=acpf，sabc=abch，sabp=sacp+sabc，abpe=acpf+abch，又ab=ac，pe=pf+ch；（2）在ach中，a=30，ac=2chsabc=abch，ab=ac，2chch=49，ch=7分两种情况：p为底边bc上一点，如图pe+pf=ch，pe=chpf=73=4；p为bc延长线上的点时，如图pe=pf+ch，pe=3+7=10故答案为7；4或1012数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形abc中，点e在ab上，点d在cb的延长线上，且ed=ec，如图，试确定线段ae与db的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点e为ab的中点时，如图1，确定线段ae与db的大小关系，请你直接写出结论：ae=db（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，ae与db的大小关系是：ae=db（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点e作efbc，交ac于点f（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形abc中，点e在直线ab上，点d在直线bc上，且ed=ec若abc的边长为1，ae=2，求cd的长（请你直接写出结果）考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出d=ecb=30，求出deb=30，求出bd=be即可；（2）过e作efbc交ac于f，求出等边三角形aef，证deb和ecf全等，求出bd=ef即可；（3）当d在cb的延长线上，e在ab的延长线式时，由（2）求出cd=3，当e在ba的延长线上，d在bc的延长线上时，求出cd=1解答：解：（1）故答案为：=（2）过e作efbc交ac于f，等边三角形abc，abc=acb=a=60，ab=ac=bc，aef=abc=60，afe=acb=60，即aef=afe=a=60，aef是等边三角形，ae=ef=af，abc=acb=afe=60，dbe=efc=120，d+bed=fce+ecd=60，de=ec，d=ecd，bed=ecf，在deb和ecf中，debecf，bd=ef=ae，即ae=bd，故答案为：=（3）解：cd=1或3，理由是：分为两种情况：如图1过a作ambc于m，过e作enbc于n，则amem，abc是等边三角形，ab=bc=ac=1，ambc，bm=cm=bc=，de=ce，enbc，cd=2cn，amen，ambenb，=，=，bn=，cn=1+=，cd=2cn=3；如图2，作ambc于m，过e作enbc于n，则amem，abc是等边三角形，ab=bc=ac=1，ambc，bm=cm=bc=，de=ce，enbc，cd=2cn，amen，=，=，mn=1，cn=1=，cd=2cn=113已知：如图，af平分bac，bcaf于点e，点d在af上，ed=ea，点p在cf上，连接pb交af于点m若bac=2mpc，请你判断f与mcd的数量关系，并说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出ab=ac=cd，推出cda=cad=cpm，求出mpf=cdm，pmf=bma=cmd，在dcm和pmf中根据三角形的内角和定理求出即可解答：解：f=mcd，理由是：af平分bac，bcaf，cae=bae，aec=aeb=90，在ace和abe中，aceabe（asa）ab=ac，cae=cdeam是bc的垂直平分线，cm=bm，ce=be，cma=bma，ae=ed，cead，ac=cd，cad=cda，bac=2mpc，又bac=2cad，mpc=cad，mpc=cda，mpf=cdm，mpf=cdm（等角的补角相等），dcm+cmd+cdm=180，f+mpf+pmf=180，又pmf=bma=cmd，mcd=f14如图，已知abc是等边三角形，点d、e分别在bc、ac边上，且ae=cd，ad与be相交于点f（1）线段ad与be有什么关系？试证明你的结论（2）求bfd的度数考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据等边三角形的性质可知bac=c=60，ab=ca，结合ae=cd，可证明abecad，从而证得结论；（2）根据bfd=abe+bad，abe=cad，可知bfd=cad+bad=bac=60解答：（1）证明：abc为等边三角形，bac=c=60，ab=ca在abe和cad中，abecadad=be（2）解：bfd=abe+bad，又abecad，abe=cadbfd=cad+bad=bac=6015如图，在abc中，ab=bc，abc=90，f为ab延长线上一点，点e在bc上，be=bf，连接ae、ef和cf，求证：ae=cf考点：全等三角形的判定与性质分析：根据已知利用sas即可判定abecbf，根据全等三角形的对应边相等即可得到ae=cf解答：证明：abc=90，abe=cbf=90，又ab=bc，be=bf，abecbf（sas）ae=cf16已知：如图，在oab中，aob=90，oa=ob，在eof中，eof=90，oe=of，连接ae、bf问线段ae与bf之间有什么关系？请说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：可以把要证明相等的线段ae，cf放到aeo，bfo中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得ao=bo，oe=of，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去boe的结果，当然相等了，由此可以证明aeobfo；延长bf交ae于d，交oa于c，可证明bda=aob=90，则aebf解答：解：ae与bf相等且垂直，理由：在aeo与bfo中，rtoab与rtoef等腰直角三角形，ao=ob，oe=of，aoe=90boe=bof，aeobfo，ae=bf延长bf交ae于d，交oa于