两圆外切圆.doc

已知兩圓的公切圓的畫法及其圓心分佈軌跡的探討壹、 研究動機： 在平面幾何中有道題目：圓O1與圓O2互相外切，而分別與圓O3內切，求証O1O2O3的周長等於圓O3半徑的兩倍。與同學作此練習而畫此三圓時，心想應如何可輕易而精確畫出與已知兩圓相切的公切圓？且此圓應非唯一，而其圓心分佈軌跡又是如何？因此展開了我們的研究之旅貳、 研究目的：(一)、 如何畫出與已知兩圓(外離、外切、相交兩點、內切、內離)相切的公切圓。(二)、 求公切圓圓心分佈的軌跡。參、 研究器材：圓規、直尺、電腦、數學繪圖軟體The Geometers Sketchpad。肆、 研究過程：(假設圓O1半徑=r1、圓O2半徑=r2、圓O3半徑=r3，且圓O1在圓O2左邊)研究一：與兩已知圓都外切或都內切的公切圓的畫法及其圓心I1分佈軌跡的探討。一、 r1r2(不失一般性，可設r1r2)定理(一)：如圖(一)，設兩圓的連心線與外公切線(Q、R為切點)相交於P點，若過P點作直線L分別交兩圓於A、B、C、D且交於M，交於N，則=，=。証明：連接、為兩圓的外公切線，Q、R為切點 /：=：=：分別作L於E，L於F /：=：=：=：O1EB=O2FD=90=，=：=：=：=：O2FDO1EB(SSS)O1BA=MDA A=O1BA A=MDA O2CD=MDA又O1BA =NBC、O2CD =NCB(對頂角)NBC=NCB 推論：1.以N為圓心，為半徑畫一圓，即為與兩圓都外切的公切圓。2.以M為圓心，為半徑畫一圓，即為與兩圓都內切的公切圓。3.由A=O2CD /，O1BA =MDA /至此，我們可以得到以下公切圓的畫法：(1) 半徑法：1. 分別以O1 、O2為圓心，t、t -r1+ r2 (t r1)為半徑(或以t、t + r1-r2為半徑)，各畫一弧，相交於P(或Q)。2. 以P(或Q)為圓心，t-r1(或t+r1)為半徑，畫一圓即是與兩圓都外切(或都內切)的公切圓。如圖(二)。(2) 投影法：1. 作兩圓的外公切線交連心線於P。2. 過P作直線L分別交兩圓於A、B、C、D。3. 連接，交於N，連接，交於M。4. 若以M為圓心，為半徑畫一圓，則為與兩圓都內切的公切圓；以N為圓心，為半徑畫一圓，則為與兩圓都外切的公切圓。如圖(三)。(3) 平行法：1. 分別過O1，O2作兩平行線各交兩圓於A、B。2. 連接分別另交兩圓於C、D。3. 連接交於N，交於M。4. 若以N為圓心，為半徑畫一圓，則為與兩圓都外切的公切圓；以M為圓心，為半徑畫一圓，則為與兩圓都內切的公切圓。如圖(四)。定理(二)：如圖(五)， /，分別交與兩圓於P、Q、R，而交於M，交於N，則=，=。証明： / X=NYR = X=R = NYR =MQYX=MQX = NYR =R =推論：分別以M、N為圓心，、為半徑各畫一圓，則都分別與兩圓內切。至此，我們可以得到以下公切圓的畫法：(1) 半徑法：1. 分別以O1、O2為圓心，以t、r1- r2-t為半徑(其中0t r1-r2(即 r1-r2兩圓外離或外切或相交兩點)甲式可化為-=令a2=(r1-r2)2，b2=(2d- r1+r2)(2d+ r1-r2)，c=式子可變為-=c即以(0，0)為中心，=為漸近線的雙曲線(或部分)圖形。(ii) 2d= r1-r2(即= r1-r2兩圓內切)y=0即以x軸為圖形(切點除外)(iii) 02d r1-r2(即00)為半徑，畫一弧。2. 以O2為圓心，t+r1+r2(或t- r1-r2，其中t r1+r2)為半徑，畫一弧，交前弧於P(或Q)。3. 以P(或Q)為圓心，t+r1 (或t- r1)為半徑，畫一圓即為所求。如圖(十一)。(2) 投影法：1. 作兩圓的內公切線交於P。2. 過P作直線L分別交兩圓於A、B、C、D。3. 連接，交於M，連接，交於N。4. 若以M為圓心，為半徑畫一圓，則與圓O1內切，而與圓O2外切；以N為圓心，為半徑畫一圓，則反之。如圖(十二)。(3) 平行法：1. 分別過O1，O2作兩平行線各交兩圓於A、B、C、D。2. 連接分別交兩圓於E、F。3. 連接交於N，交於M。4. 以M為圓心，為半徑畫一圓，則為與圓O1內切，而與圓O2外切的公切圓；以N為圓心，為半徑畫一圓，則為與圓O1外切，而與圓O2內切的公切圓。如圖(十三)。定理(六)：如圖(十四)， /，交圓O2於P，交於M，則=証明： = O2PY=O2YP / MXP=O2YP又MPX=O2PY(對頂角)MXP=MPX =推論：以M為圓心，為半徑畫一圓，則為與圓O1內切，而與圓O2外切的公切圓。至此，我們可以得到以下公切圓的畫法：(1) 半徑法：1. 以O1為圓心，t為半徑，畫一弧。(其中0t r1+r2(即 r1+r2兩圓外離)-=令a2=(r1+r2)2，b2=(2d- r1-r2)(2d+ r1+r2)，c=式子可變為-=c即以(0，0)為中心，=為漸近線的雙曲線圖形(ii) 2d= r1+r2(即= r1+r2兩圓外切)y=0即以x軸為圖形(切點除外)(iii) 02d r1+r2(即0 r1+r2兩圓相交兩點或內切或非同心圓的內離)+=令、c=式子可變為，且，其圖形為一橢圓(或部分)(iv) 2d=0(即兩圓為同心圓) 其圓即以(0,0)為圓心，為半徑的圓形結論：(1)當已知兩圓外離時，的分佈軌跡即是一雙曲線，與右圓內切則右支，而與左圓內切則左支。(2)當已知兩圓外切時，的分佈軌跡即是少了切點的連心線，與左圓內切則左半線，而與右圓內切則右半線。(3)當已知兩圓相交兩點時，的分佈軌跡即是少了兩交點的橢圓，與左圓內切則左邊部份，而與右圓內切則右邊部份。(4)當已知兩圓內切時，的分佈軌跡即是少了切點的橢圓。(5)當兩已知圓內離(非同心圓)，則的分佈軌跡即為橢圓。(6)當兩已知圓為同心圓時，則的分佈軌跡即以兩已知圓半徑和的一半為半徑的同心圓。伍、 結論：(1) 與已知兩圓(外離、外切、相交於兩點、內切、內離)相切的公切圓畫法可有：(i)半徑法(ii)投影法(iii)平行法。(2) 與兩已知圓相切的公切圓圓心分佈的軌跡，由前面的研究可得到如下的結果：(註I1為與兩已知圓同時外切或同時內切的任一公切圓圓心。I2為與兩已知圓一外切另一內切的公切圓圓心。)(a) 已知兩圓外離時：(i) I1分佈的軌跡為：1.已知兩圓為等圓時，則為連心線段的中垂線2.已知兩圓非等圓時(設左圓大於右圓)，則為雙曲線；同時內切則為左支，而同時外切則為右支。(ii) I2分佈的軌跡為：雙曲線；而與左圓 內切則左支，與右圓內切則右支。(b) 已知兩圓外切時：(i) I1分佈的軌跡為：1.已知兩圓為等圓，同時內切則是連心線段的中垂線，而同時外切則是少了切點的連心線段的中垂線。2.兩圓非等圓時(設左圓大於右圓)，為少了切點雙曲線；同時內切則左支，而同時外切則少了切點的右支。(ii) I2分佈的軌跡即是少了切點的連心線，而與左圓內切則左半線，與右圓內切則右半線。(c) 已知兩圓相交於兩點時：(i) I1分佈的軌跡為：1.已知兩圓為等圓時，同時內切則是連心線段的中垂線，而同時外切則是少了公弦部份的連心線段的中垂線。2.已知兩圓非等圓時，(設左圓大於右圓) 則為少了兩交點的雙曲線；同時內切則是左支及兩交點之間曲線，而同時外切則少了兩交點之間曲線的右支。(ii) I2分佈的軌跡為少了兩交點的橢圓；與左圓內切則左邊部份，而與右圓內切則右邊部份。(d) 已知兩圓內切時：(設切點在圓心的右邊)(i) I1分佈的軌跡為少了切點的連心線；同時內切則左半線，同時外切則右半線。(ii) I2分佈的軌跡為少了切點的橢圓。(e) 兩圓內離(非同心圓)時，I1、I2所分佈的軌跡都為橢圓。(f) 兩圓為同心圓時，I1、I2所分佈的軌跡，即與兩已知圓都為同心圓，前者以