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函数辅导讲义 1 2 1 映射与函数映射与函数 一 基本知识点 1 正确了解映射的概念 对于映射 f A 中每一个元素在集合 B 中都有象 BA 且象是唯一的 而在 B 中的元素比一定有原 象 如果有原象也不一定唯一 2 深刻理解函数的概念 1 函数是特殊的映射 2 构成函数的三要素 3 函数的三种表示方法 列表法 图象法 解析法 注 研究函数切记 定义域优先考虑的原则 3 理解分段函数 复合函数 抽象函数的有 关题型 二 例题 1 已知 A a b c B c d f 则可以定义从 A 到 B 上的不同映射 个 若要求 B 中元素 都有原象 可以定义从 A 到 B 上的不同映射 个 2 设是从集合 A 到集合 B 的映射 BAf yxyxyxfRyRxyxBA A 中元素 1 3 的象是 B 中元素 1 3 的原象是 3 已知集合 A a b c 映射 1 0 1 B 满足 则映射 BAf cfbfaf f 的个数为 4 由下列各式是否能确定 x 是 y 的函数 1 1 1 22 yx3 2 yx 3 2 xyyxx 212 5 下列各题中的两个函数是否为同一函数 xxf 2 xxg xxf 2 xxg xxf 3 xxg 1 xxf x xx xg 1 2 xxf 2 4 2 x x xg 6 已知函数 y f x x a b 及 M x y y f x x a b N x y x 2 则 MN 中所含元 素的个数是 2 2 反函数反函数 一 基本知识点 1 反函数的概念 2 函数存在反函数的条件 xfy 的定义域和值域一一对应 xfy 3 求函数的反函数的步骤 1 从求出 x xfy 2 交换 x y 的位置 3 确定的定义域 1 xfy 4 关于反函数的性质 1 反函数与原函数关于直线 y x 对称 2 具有相同的单调性 3 定义域与值域对调 已知 xfy 求 可利用求出 1 af axf x 即是 1 af 4 若点 a b 在上 也在 xfy 上 则点 b a 也在 1 xfy 上 xfy 5 也可以用来证明关于直线 xfy y x 对称 二 例题 1 已知则 24 1 xx xf 0 1 f 2 函数的反函数是 0 211 x f xx 3 设函数 则3log 2 xxf 1 x 的的定义域是 1 fx 1 fx A 0 1 B C D 1 3 R 4 已知函数的图象过点 1 4 x yab 函数辅导讲义 2 其反函数的图象过点 2 0 则 a b 5 已知函数有反函数 则方程 xf 的根的情况是 0 xf A 有且仅有一个实根 B 至少有一实根 C 至多有一实根 D 0 个 1 个或 1 个以上 6 已知 则的反函数为 1 xxf 1 xf 1 1 xf 7 函数的反函数的奇偶性是 2 xx ee y 单调性为 8 函数 的图像与其反函 1 1 2 x x x y 数图像的的交点坐标为 9 已知 求证 函数 1 0 aa且 1 1 ax x y 的图像关于直线对称 a xRx 1 xy 10 函数的反函数的解析 1 23 x yxR 表达式为 A A B 2 2 log 3 y x 2 3 log 2 x y C D 2 3 log 2 x y 2 2 log 3 y x D 10 11 2 xxy 11 函数 反函数是 B 0 1 2 xxy A 1 xy 1 x B 1x C y 1 xy1 x 0 x D y1 x 0 x 12 全国卷 函数 Y 1 X 0 的反函 32 x 数是 B A Y X 1 B Y 3 1 x X 1 C Y X 0 3 1 x 3 1 x D Y X 0 3 1 x 13 设是函数 1 xf 的反函数 则 1 2 1 aaaxf xx 使成立的 x 的取值范围为 A 1 1 xf A B 2 1 2 a a 2 1 2 a a C D 2 1 2 a a a a 14 设函数 f x 的图象关于点 1 2 对称 且存在反函数 f 1 x f 4 0 则 f 1 4 2 15 上海 函数 f x log4 x 1 的反函数 f x 4 1 1 x 16 函数 y x R 且 x 2 的反函数 2 x x 是 2 1 1 x yxR x x 2 3 函数的解析式函数的解析式 一 基本知识点 1 求两个变量之间的函数关系时 主要求出 他们之间的对应法则及函数的定义域 2 求函数的解析式的主要方法是 待定系数 法和换元法 3 根据实际问题求解析式 要注意函数的定 义域要受到实际问题的制约 4 解析式是函数与自变量之间的一种对应关 系 与所取的字母无关 如 函数 y 2x 1 与 s 2t 1 是同一函数 二 例题 1 已知 则 xxxf2 1 xf 2 如果 则 2 1 1 x x x f xf 3 如果 则一次函数 12 xxff xf 4 则 1lg 2 xxfxf xf 函数辅导讲义 3 5 对任意的实数都有 Rx 2 1 xfxf 且当时 则10 x 1 xxxf 5 1 f A B C D 4 15 4 1 8 1 16 1 2 4 函数的定义域函数的定义域 一 基本知识点 1 高考对定义域的考查常常是通过函数的性 质或应用来考查 具有隐蔽性 特别是函数 的实际意义 2 已知一个函数的解析式 求其定义域 只 要使解析式有意义即可 1 分式的分母不为 0 2 偶次方根的被开方式不小于 0 3 指数函数的真数大于 0 4 指数函数与对数函数的底数 大于 0 且 不等于 1 5 如果函数式由一些基本初等函数通过四 则运算而等到的 那么它的定义域是各基本 函数的定义域的交集 6 已知函数的定义域 A 求函数 xf 的定义域 实际上就是已知中间变 xgf 量 即 求自变量 xgu AxgAu x 的取值范围 三 例题 1 全国卷 设 函数10 a 则使 22 log 2 xx a aaxf 的的取值范围是 B 0 xfx A B 0 0 C D 3log a log 3 a 2 函数 f x 的定义域是 A x 21 A 0 B 0 C 0 D 3 函数的定义域是 x x 0 1 1 x f x e 4 江苏卷 江苏卷 函数的定 2 0 5 log 43 yxx 义域为 13 0 1 44 5 函数的定义域为 A 34 log 1 2 2 xx xf A 1 2 2 3 B 3 1 C 1 3 D 1 3 6 若函数 y f x2 x 1 的定义域是 0 2 则 y f x 的定义域是 7 函数的定义域为 则函数 xf 2 1 的定义域为 2 xf 8 函数的定义域为 6lg 5 2 x x xf 9 已知函数的反函数为 2 4 xxf 则的定义域为 21 4 xxf xf A B C D 0 2 2 2 0 2 2 0 10 已知函数的定 34lg 2 mmxmxy 义域为 R 求实数 m 的取值范围 2 5 函数的值域函数的值域 一 基本知识点 1 考纲要求 1 理解函数值域的概念 掌 握常见函数值域 2 掌握求值域和最值的 常用方法 3 了解函数值域的应用 2 求函数的值域没有固定的方法和模式 解 答时既涉及一些具体的解题方法 又涉及一 些抽象的逻辑方法 很难找到最佳的思维定 势 目前常用的方法 1 直接法直接法 利用基本函数的值域及不等式的 直接的函数的值域 2 配方法配方法 二次函数或可转化为二次函数的 值域问题 3 单调性法单调性法 通过确定函数在定义域内的单 调性求出函数的值域 常见类型 其中 a 与 d 0 adedxbaxy 函数辅导讲义 4 同号时采用单调性法 形如函数 递减 0 0 kx x k xy 0 kx 递增 kx 4 4 形数结合法形数结合法 利用函数所表示的几何意义 借助于几何方法或图形来求 5 5 换元法换元法 运用代数或三角代换将所给函数转 化成值域易确定的另一函数 形如 其中 a 与 d 同 0 adedxbaxy 异号都可以 5 5 反函数法反函数法 通过求反函数的定义域而得原 函数的值域 形如 也可以采用 bax dcx y 分离常数法分离常数法 6 不等式法不等式法 利用基本不等式 注 3 3 2abccbaabba 意条件 一正二定三相等 7 导数法导数法 若函数不是基本的函数类型且函 数可以在其定义域内可导时 8 判别式法判别式法 形如 不同时为0 2 2 ad fexdx cbxax y 3 注意 函数的值域受定义域的制约 所以 无论哪种方法 均应先考虑定义域 4 函数的值域必须用集合或区间的形式来表 示 5 函数的最值为函数在定义域内图像的最高 点与最低点 是值域中的两个特殊点 所以 求最值的方法与求值域的方法一样 6 不同点 函数在开区间的端点处不存在最 值 如 的值域为 最大值 x y 4 2 16 0 为 16 没有最小值 二 例题 1 已知则 1 1 1 1 0 2 xx xx xx xf 3 fff 2 若集合 2 x yyM 1 xyyP 则 PM 3 函数的值域为 2 xxy 4 函数的值域为 3 12 x x y 5 的值域为 13432 xxy 可用两种方法 6 的值域为 1 54 1 2 x xx x y 7 函数的定义域为 0 1 值域为 1 2 则 xf 函数的定义域 值域分别为 2 xf A 0 1 1 2 B 2 3 3 4 C 2 1 1 2 D 2 1 3 4 8 已知函数 其中 3 1 1tan2 2 xxxxf 2 2 1 当时 求函数的最大值 6 xf 与最小值 2 求的取值范围 使在区间 xfy 上是单调函数 3 1 9 函数在区间上有最大 32 2 xxy 0 m 值 3 最小值 2 则 m 的取值范围是 A B 0 2 C D 1 2 1 2 10 已知函数则函数 9 1 2log 3 xxxf 的最大值是 22 xfxfy A 13 B 16 C 18 D 32 11 若是方程的两根 0432 2 mmxx 则的最小值为 22 1 1 A B 8 C 18 D 不存在 4 25 2 6 函数的单调性函数的单调性 一 基本知识点一 基本知识点 函数辅导讲义 5 1 单调性的定义 定义中的具有任 21 x x 意性 不能用特殊值替代 2 单调性的判定方法 1 利用定义 2 利用图像 3 利用复合函 数的单调性 4 利用函数的性质 如课前热身的 5 5 奇函数在两个对称的 区间上有相同的单调性 偶函数两个对称的 区间上有相反的单调性 6 利用导数 3 如在区间上递增 但在 xf 21 D D xf 不一定是增函数 21 DD 二 例题 1 若函数在 1 12 2 xaaxxf 上是增函数 则实数 a 的取值范围为 2 2 利用单调性的定义单调性的定义求的递增区 x xxf 1 间为 递减区间为 3 已知函数是在区间 a b 上单调 且满 xf 足 则方程在 a b 0 bfaf0 xf 内 A 至少有一实根 B 至多有一实根 C 没有实根 D 必有唯一实根 4 是定义在上的增函数 且 xf 0 1 求的值 yfxf y x f 1 f 2 若解不等式 1 6 f 2 1 5 x fxf 5 已知在 0 1 上是 x 的 2 logaxy a 减函数 则 a 的取值范围为 A B C D 1 0 2 1 2 0 2 6 判断函数在 R 上的单调性1 3 xxf 7 是定义在上的增函数 且 xf 0 yfxf y x f 1 求的值 1 f 2 若解不等式 1 6 f 2 1 3 x fxf 2 7 函数的奇偶性函数的奇偶性 一 基本知识点一 基本知识点 1 由定义与图像的对称性判定函数的奇偶性 2 函数的奇偶性的判定 首先看函数的定义 域是否关于原点对称 3 用定义很难判定时 可以考虑 与 0 的关系 xfxf 4 奇偶函数满足以下性质 当 的定义域分别为 在它 xf xg 1 D 2 D 们的公共定义域上有 均为奇函数 有为奇函 xf xg xgxf 数 为偶 xgxf 均为偶函数 有为偶 xf xg xgxf 函数 为偶 xgxf 5 利用函数的奇偶性求有关的函数解析式或 某一函数值 6 奇偶性与单调性的联系 二 例题二 例题 1 如果奇函数在区间 3 7 上是增函数 xf 且最小值为 5 你们在区间 7 3 上是 xf A 增函数且最小值为 5B 增函数且最 大值为 5 C 减函数且最小值为 5D 减函数且 最大值为 5 2 判断函数的奇偶性 33 1lg 2 x x y 3 已知函数 且 8 35 bxaxxxf 则 10 2 f 2 f 4 如何否定不具有奇 21 2 xxxf 偶性 函数辅导讲义 6 5 是奇函数 且 Rxxf 2 xfxf 当时 则10 x xxf 5 7 f 6 满足 xf 2 yfxfyxfyxf 且 求证为偶函 RyRx 0 0 f xf 数 7 函数则其周期为 1 2 xf xf 函数是偶函数 且关于直线 对称 则其周期为 1 x 8 设函数为奇函数 Rxxf 2 1 1 f 则 2 2 fxfxf 5 f A 0 B 1 C D 5 2 5 9 已知函数满足 xf 2 RyRxyfxfyxfyxf 且 求证 为偶函数 0 0 f xf 10 若函数是定义在 R 上的偶函数 在 xf 上是减函数 且 则使 0 0 2 f 得的 x 的取值范围为 0 xf A B C D 2 2 2 2 2 2 2 8 函数的图像函数的图像 44 如果函数 f x x2 bx c 对任意实数 t 都有 f 2 t f 2 t 那么 A f 2 f 1 f 4 B f 1 f 2 f 4 C f 2 f 4 f 1 D f 4 f 2 f 1 45 把函数 的图像向右平移 1 log3 xy 1 个单位 再把横坐标缩小为原来的 所 2 1 得的函数的解析式为 46 关于 x 的方程 lg x 1 a a 0 的实根有 个 47 作图 1 2 1lg xy32 2 xxy 二次函数在区间 0 3 上1 2 axxy 有最小值 2 则实数 a 的值为 A 2 B 4 C D 2 3 10 49 设是方程的 21 xxRk 012 22 kkx 两 个根 则的最小值为 2 2 2 1 xx A 2 B 0 C 1 D 2 50 方程的两根均大于042 2 axx 1 则实数 a 的取值范围 51 如果二次函数 在区间上是2 1 2 xaxxf 4 减函数 那么实数 a 的取值范围是 A B C D 7 a7 a7 a3 a 52 在 2 上函数与 2 1 qpxxxf 2 在同一点取得相同的最小值 x xxg 1 则在 2 的最大值是 xf 2 1 53 的解集为 1 2 则实数 03 2 nxmx m 2 9 二次函数二次函数 一 基本知识点 1 二次函数的解析式的三种形式 一般式 顶点式 两根式 函数辅导讲义 7 2 二次函数的图像cbxaxxf 2 是一条抛物线 对称轴方程为 顶 点坐标为 1 当时 抛物线的开口向上 函数0 a 在 上递增 在 上递减 并 且当时 x 2 当时 min xf0 a 抛物线的开口向下 函数在 上递增 在 上递减 并且当 时 x max xf 二次函数 当 0 2 acbxaxxf 时 图像与 x 轴有两个交点 0 11x M 且 0 22 xM 21 MM 4 二次函数在闭区间上的最值 当 0 a 在闭区间上的最大值为 M 最小 xf qp 值为 m 令 含参数的两类 2 1 0 qpx 定轴动区间 定区间动轴 1 若时 则p a b 2 M m 2 若时 则 0 2 x a b p M m 3 若时 则 M m q a b x 2 0 4 若时 则 M m q a b 2 二 例题 1 二次函数在区间 0 3 1 2 axxy 上有最小值 2 则实数 a 的值为 A 2B 4C D 2 3 10 2 设函数 R 的最 axaaxxxf 232 2 小值为 m a 当 m a 有最大值时 a 的值 为 A B C D 3 4 4 3 9 8 8 9 3 函数在区间1 3 2 2 xaaxxf 上递减 则实数 a 的取值范围是 2 A 3 0 B C D 2 0 3 0 3 4 设二次函数 1 0 2 mfmfaxxxf则若 的值为 A 正数B 负数 C 正 负不定 与 m 有关D 正 负不定 与 a 有关 5 已知 0 53 2 22 21 kkxkxxx是方程 k 为实数 的两上实数根 则 的最小值为 2 2 2 1 xx A 19 B 18 C D 不存在 9 5 5 6 设函数 0 2 acbxaxxf 对任意实数 t 都有成立 2 2 tftf 则函数值中 最 5 2 1 1 ffff 小的一个不可能是 A f 1 B f 1 C f 2 D f 5 二 填空题 7 设二次函数 f x 对 x R 有 25 其图象与 x 轴交于两 2 1 fxf 点 且这两点的横坐标的立方和为 19 则 f x 的 解析式为 8 已知二次函数 函数辅导讲义 8 在区间 3 2 上12 2 axaxxf 的最大值为 4 则 a 的值为 9 一元二次方程的一 0 2 1 22 aax 根比 1 大 另一根比 1 小 则实数 a 的取 值范围是 10 某商品进货单价为每个 8 元 按 10 元一 个销售时 每天可售出 50 个 如果该商品每 个提高销售价 1 元 其每天销售量就要减少 5 个 为获得最大利润 则该商品最佳售价 应为每个 元 三 解答题 11 已知二次函数 R 满足 cbacbxaxxf 2 且对任意实数 x 都 1 1 0 1 ff 有的解析式 0 xfxxf求 12 二次函数的图像过原点 且顶点为 xf 则 A 8 2 xf A B C xx82 2 xx82 2 D xx82 2 xx82 2 2 如果二次函数在2 1 2 xaxxf 区间上是减函数 那么实数 a 的取 4 值范围是 A B 7 a7 a C D C7 a3 a 3 若函数的图像 3 2 2 baxxaxy 关于直线 x 1 对称 则 b 6 4 设是方程 21 xxRk 的两个根 则的012 22 kkx 2 2 2 1 xx 最小值为 C A 2 B 0 C 1 D 2 5 方程的两根均大于 1 042 2 axx 求实数 a 的取值范围 2 5 2 a 指数与对数函数练习题指数与对数函数练习题 一 选择题 1 若集合 2 x yyM 则等于 1 xyyP PM A B C 1 yy 1 yy D 0 yy 0 yy 2 设 函数与函1 0 aaxy a log 数的反函数的图像关于 x y a 1 log A x 轴对称 B y 轴对称 C y x 对称 D 原点对称 3 函数在上的最大值与最小值 x ay 1 0 的和为 3 则 a 的值等于 A 2 B 4 C D 2 1 4 1 4 已知 则有 10 ayx A B C 0 log xy a 1 log0 xy a D 2 log1 xy a 2 log xy a 5 已知 则 xxf 2 6 log 8 f A 8 B 18 C D 2 1 3 4 6 若 则函数1 10 ba 的图像不过第 象限 baxf x 函数辅导讲义 9 A 一 B 二 C 三 D 四 二 填空题 7 三个数的大小顺序是 6log 7 0 6 7 0 67 0 8 化简 1 3 6 2 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3