【名师伴你行】高考数学二轮复习 空间向量与立体几何提能专训.DOC

提能专训(十五)空间向量与立体几何一、选择题1(2014济南针对性训练)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为()a(1,1,1) b(1,1，)c(1,1，) d(2,2，)答案c解析因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设o(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为s(1,1，z)正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，)2(2014上海奉贤二模)如图，已知长方体abcda1b1c1d1，则下列向量的数量积一定不为0的是()a. b.c. d.答案d解析当侧面bcc1b1是正方形时，可得0，所以排除a.当底面abcd是正方形时，ac垂直于对角面bd1，所以排除b，显然也排除c.由题图可得bd1与bc所成的角小于90.故选d.3(2014陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b. c. d.答案a解析不妨设cb1，则cacc12.由题图知，点a的坐标为(2,0,0)，点b的坐标为(0,0,1)，点b1的坐标为(0,2,1)，点c1的坐标为(0,2,0)所以(0,2，1)，(2,2,1)所以cos，.4(2014大连一模)在长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案b解析建立空间直角坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.5(2014陕西工大附中第一次适应性训练)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b. c. d.答案b解析设点p在平面abc内的投影是点o，连接pa，oa，oap即是所求，如图底面积为sin 60，所以三棱柱的高是，则po，点o是abc的中心，分abc的高为21，所以aosin 601，则tanoap，故oap.6(2014辽宁五校协作体摸底)一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为()a. b. c2 d.答案d解析如图，设四棱锥pabcd是满足条件的，连接bd，ac交于e，球心o在pe上，令球的半径为r，则opobr，由正四棱锥所有棱长为1，易求得四棱锥的高pe，在rtoeb中，oe2eb2ob2，即22r2，解得r，故球的体积为3.故选d.7(2014日照模拟)如图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1，m在ef上且am平面bde，则点m的坐标为()a(1,1,1) b.c. d.答案c8(2014泉州二模)设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是()a. b.c. d.答案d解析如图，建立空间直角坐标系，则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，d(0,0,0)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点d1到平面a1bd的距离d.9如图，边长为2的正方体a1c中，作对角线a1c的垂面，垂足为h，a1hx，垂面与上表面相交得到的线段长为y，则yf(x)的大致图象为()答案a解析设垂面与平面a1b1c1d1交于直线ef，ef与a1c1交于点m，连接mh，则a1mha1cc1.因为，所以a1mx，当0xa1c时，ef为直角三角形a1ef的中线a1m的2倍，所以yx.当x时，c1m2x，所以y2c1m4x.综上，f(x)故选a.10已知在半径为2的球面上有a，b，c，d四点，若abcd2，则四面体abcd的体积的取值范围是()a. b. c. d.答案b解析设ab，cd的中点分别为m，n，则弦ab，cd到球心o的距离是相等的，即omon，如图，当om，on在同一条直线上，并且abcd时，四面体abcd的体积最大，vmaxsanbcd，故选b.二、填空题11(2014成都七中一诊)如图，已知平行六面体abcda1b1c1d1中，ac1与平面a1bd，cb1d1交于e，f两点给出以下命题，其中真命题有_(写出所有正确命题的序号)点e，f为线段ac1的两个三等分点；设a1d1中点为m，cd的中点为n，则直线mn与平面a1db有一个交点；e为a1bd的内心；设k为b1cd1的外心，则为定值答案解析对，在对角面acc1a1中可看出点e，f为线段ac1的两个三等分点，正确；对于，()，故错；对于，取dd1中点为r，则易证平面mnr平面a1bd，故错；对于，a1e为a1bd的边bd的中线，故e不一定为a1bd的内心(实际上是重心)，故错；对于，设k为b1cd1的外心，则，为定值正确12(2014东三省三校二联)p为正方体abcda1b1c1d1对角线bd1上的一点，且bpbd1(0,1)下面结论：a1dc1p；若bd1平面pac，则；若pac为钝角三角形，则；若，则pac为锐角三角形其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)答案解析在正方体中，易证a1d平面ad1c1b，又c1p平面ad1c1b，所以a1dc1p，正确；若bd1平面pac，则点p为平面acb1与体对角线bd1的交点，利用等体积法可得bpbd1，即，正确；以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在射线分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)，又bpbd1，所以p(1，1，)，若pac为钝角三角形，只能是apc是钝角，所以(，1，)(1，)3220，解得，所以错误；由可知若，则pac为锐角三角形，正确所以正确的结论序号为.三、解答题13(2014邯郸二模)如图，在几何体abcde中，abadbcdc2，ae2，abad，且ae平面abd，平面cbd平面abd.(1)求证：ab平面cde；(2)求二面角aecd的余弦值解：(1)证明：abadbcdc2，cbdabd.又abad，bcdc，bd2.如图，过点c作cfbd，垂足为f，则cf平面abd，且cf，过f作fgab，交ad于g，过g作ghae交de于h，ae2，gh，四边形cfgh是平行四边形，abfgch.ch平面cde，ab平面cde，ab平面cde.(2)如图建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，d(0,2,0)，e(0,0,2)，c(1,1，)，(0，2,2)，(1，1，)，设平面cde的一个法向量为n(x，y，z)，则有则取z1，则y，x0，所以n(0，1)，平面aec的一个法向量为(2,2,0)，故cosn，.14(2014福州质检)如图，直角梯形abcd中，abc90，abbc2ad4，点e，f分别是ab，cd的中点，点g在ef上，沿ef将梯形abcd翻折，使平面aefd平面ebcf.(1)当aggc最小时，求证：bdcg；(2)当2vbadgevdgbcf时，求二面角dbgc的余弦值解：(1)点e，f分别是ab，cd的中点，efbc，又abc90，aeef，平面aefd平面ebcf，ae平面ebcf，aeef，aebe，又beef，如图，建立空间直角坐标系exyz.翻折前，连接ac交ef于点g，此时点g使得aggc最小egbc2，又知eaeb2，则a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,4,0)，d(0,2,2)，e(0,0,0)，g(0,2,0)，(2,2,2)，(2，2,0)，(2,2,2)(2，2,0)0，bdcg.(2)设egk，ad平面efcb，点d到平面efcb的距离即为点a到平面efcb的距离s四边形gbcf(3k)427k，vdgbcfs四边形gbcfae(7k)又vbadges四边形adgebe(2k)，2vbadgevdgbcf，(2k)(7k)，k1，即eg1.解法一：设平面dbg的法向量为n1(x，y，z)，g(0,1,0)，(2,1,0)，(2,2,2)，则即取x1，则y2，z1，n1(1,2，1)设平面bcg的一个法向量为n2(0,0,1)，则cosn1，n2.所求二面角dbgc的平面角为锐角，此二面角的余弦值为.解法二：过点d作dhef，垂足为h，过点h作bg延长线的垂线ho，垂足为o，连接od.平面aefd平面ebcf，dh平面ebcf，odob，doh就是二面角dbgc的一个平面角由于hg1，在ohg中，oh，又dh2，在doh中，tandoh，cos doh，此二面角的余弦值为.15(2014江西红色六校二次联考)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，m是棱pc上的点，papd2，bcad1，cd.(1)求证：平面pqb平面pad；(2)若m为棱pc的中点，求异面直线ap与bm所成角的余弦值；(3)若二面角mbqc的大小为30，求qm的长解：(1)证明：证法一：adbc，bcad，q为ad的中点，四边形bcdq为平行四边形，cdbq.adc90，aqb90，即qbad.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，bq平面pad.bq平面pqb，平面pqb平面pad.证法二：adbc，bcad，q为ad的中点，bcdq且bcdq，四边形bcdq为平行四边形，cdbq.adc90，aqb90，即qbad.papd，pqad.pqbqq，ad平面pbq.ad平面pad，平面pqb平面pad.(2)papd，q为ad的中点，pqad.平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，pq平面abcd.如图，以q为原点建立空间直角坐标系qxyz，则q(0,0,0