高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 苏教版必修4.ppt

第二章 平面向量 2 3向量的坐标表示2 3 1平面向量基本定理 学习目标 1 通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义 了解基底的含义 2 理解并掌握平面向量基本定理 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 2 0能不能作为基底 答由于0与任何向量都是共线的 因此0不能作为基底 3 平面向量的基底唯一吗 答不唯一 只要两个向量不共线 都可以作为平面内所有向量的一组基底 预习导引 1 平面向量基本定理 1 定理 如果e1 e2是同一平面内两个的向量 那么对于这一平面内的向量a 实数 1 2 使a 1e1 2e2 不共线 任一 有且只有一对 2 基底 把的向量e1 e2叫做表示这一平面内向量的一组基底 2 正交分解 一个平面向量用一组基底e1 e2表示成a 1e1 2e2的形式 我们称它为向量a的 当e1 e2所在直线互相时 这种分解也称为向量a的正交分解 不共线 所有 分解 垂直 要点一平面向量基本定理的理解例1下列说法 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量 e1 e2是平面内所有向量的一组基底 若实数 1 2使 1e1 2e2 0 则 1 2 0 e1与e2是一组基底 则 1e1 2e2不一定在平面内 其中正确的是 写出正确的所有序号 解析平面向量的基底不唯一 在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底 零向量可看成与任何向量平行 故零向量不能作为基底中的向量 故 正确 正确 错 因为在平面内任一向量都可以表示为 1e1 2e2的形式 故 1e1 2e2表示的向量在平面内 规律方法对平面向量基本定理的理解是解题的关键 因为零向量与任意向量共线 故不能作基底 1e1 2e2 0 在e1与e2不共线时 有 1 2 0 跟踪演练1给出下面四个命题 若a b 则必存在唯一的实数 使b a 若 a a 则 r 若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底 那么向量e1 e2和e1 e2也能作为一组基底 若 1e1 2e2 1e1 2e2 1 2 1 2 r 则 1 1 2 2 写出其中所有正确命题的序号 解析 若a为零向量 满足a b b 0 但不存在实数 使b a 若a为零向量满足3a 2a 但3 2 假设e1 e2与e1 e2共线 则存在实数 使e1 e2 e1 e2 即 1 e1 1 e2 所以e1和e2共线 与e1和e2不共线矛盾 从而e1 e2与e1 e2不共线 故它们可以作为一组基底 当e1与e2共线时 结论不一定成立 答案 规律方法 1 用基底表示平面向量 要充分利用向量加法 减法的三角形法则或平行四边形法则 结合数乘定义 解题时要注意解题途径的优化与组合 2 将向量c用a b表示 常采用待定系数法 其基本思路是设c xa yb 其中x y r 然后得到关于x y的方程组求解 解如图 连结fd dc ab ab 2cd e f分别是dc ab的中点 dc fb且dc fb 四边形dcbf为平行四边形 要点三平面向量基本定理的应用例3如图 在 abc中 点m是边bc的中点 点n在边ac上 且an 2nc am与bn相交于点p 求ap pm的值 a p m和b p n分别共线 规律方法 1 充分挖掘题目中的有利条件 本题中两次使用三点共线 注意方程思想的应用 2 用基底表示向量也是用向量解决问题的基础 应根据条件灵活应用 熟练掌握 解 a为bc中点 1 2 3 4 1 若e1 e2是平面内所有向量的一组基底 则下面的四组向量中不能作为一组基底的是 e1 2e2和e1 2e2 e1与3e2 2e1 3e2和 4e1 6e2 e1 e2与e1 解析2e1 3e2与 4e1 6e2共线不能作为基底 1 2 3 4 2 若e1 e2是表示平面所有向量的一组基底 且a 3e1 4e2 b 6e1 ke2不能作为一组基底 则k的值为 解析当a b时 a b不能作为一组基底 故存在 使得a b 即3e1 4e2 6e1 ke2 6 3 且k 4 解得 k 8 8 1 2 3 4 1 2 3 4 解如图 连结ag并延长 交bc于点d 则d为bc的中点 1 2 3 4 课堂小结 1 对基底的理解 1 基底的特征基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不唯一的 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 2 零向量与任一向量共线 故不能作为基底 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任一