高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量的数乘课件 苏教版必修4.ppt

第二章 平面向量 2 2向量的线性运算2 2 3向量的数乘 学习目标 1 了解向量数乘的概念 并理解这种运算的几何意义 2 理解并掌握向量数乘的运算律 会运用向量数乘运算律进行向量运算 3 理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法 并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 已知非零向量a 作出a a a和 a a a 你能说明它们与向量a之间的关系吗 答 2 已知非零向量a 你能说明实数 与向量a的乘积 a的几何意义吗 答 a仍然是一个向量 当 0时 a与a的方向相同 当 0时 a与a的方向相反 当 0时 a 0 方向任意 a a 预习导引 1 向量的数乘一般地 实数 与向量a的积是 记作 a 它的长度和方向规定如下 1 a a 一个向量 2 当时 a与a方向 当时 a与a方向 当a 0时 a 0 当 0时 a 0 实数 与向量a相乘 叫做向量的数乘 2 向量数乘的运算律 1 a 2 a 3 a b 0 相同 0 相反 a a a a b 3 向量共线定理如果有一个实数 使b a a 0 那么b与a是共线向量 反之 如果b与a a 0 是共线向量 那么有且只有一个实数 使 b a 要点一向量的数乘运算例1化简下列各式 1 2 3a 2b 3 a 5b 5 4b a 解原式 6a 4b 3a 15b 20b 5a 14a 9b 规律方法向量的初等运算类似于实数的运算 其化简的方法与代数式的化简类似 可以进行加 减 数乘等运算 也满足运算律 可以进行去括号 移项 合并同类项等变形方法 方法三如图所示 延长bc与al交于点e 则 dla cle 规律方法 1 由已知量表示未知量时 要善于利用三角形法则 平行四边形法则 以及向量线性运算的运算律 还应重视平面几何知识的应用 如方法三 2 当直接表示较困难时 应考虑利用方程 组 求解 如本题方法一 方法二 又m是 abc底边bc的中点 de bc a b d三点共线 2 欲使ke1 e2和e1 ke2共线 试确定实数k的值 解 ke1 e2与e1 ke2共线 存在 使ke1 e2 e1 ke2 即 k e1 k 1 e2 由于e1与e2不共线 规律方法 1 本题充分利用了向量共线定理 即b与a a 0 共线 b a 因此用它既可以证明点共线或线共线问题 也可以根据共线求参数的值 2 向量共线的判断 证明 是把两向量用共同的已知向量来表示 进而互相表示 从而判断共线 跟踪演练3如图所示 已知在 abcd中 点m为ab的中点 点n在bd上 且3bn bd 求证 m n c三点共线 又m为公共点 m n c三点共线 1 2 3 4 1 化简 1 8 2a b c 6 a 2b c 2 2a c 解原式 16a 8b 8c 6a 12b 6c 4a 2c 16 6 4 a 8 12 b 8 6 2 c 6a 4b 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 课堂小结 1 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 例如 a a是没有意义的 2 a的几何意义就是把向量a沿着a的方向