新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值.doc

菁优网新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值 新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）已知x2+x3=0，则=_2（4分）若，则=_3（4分）若a、b、c满足解：a+b+c=0，abc0，且，y=，则x+2y+3xy=_4（4分）已知，则=_5（4分）若，则的值是_或_6（4分）若=，那么的值等于_7（4分）已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，那么a+b+c的值为_8（4分）已知，则x的值为_9（4分）若实数x，y，z满足，则xyz的值为_二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10（3分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：其中正确的是（）ABCD11（3分）如果，那么等于（）A1B2C3D412（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A3b=2cB3a=2bC2b=cD2a=b13（3分）若4x3y6z=0，x+2y7z=0（xyz0），则的值等于（）ABC15D1314（3分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为uv）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）AT=tBTtCTtD不能确定T、t的大小关系15（3分）设a、b、c满足abc0，且a+b=c，则的值为（）A1B1C2D316（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A1BC2D17（3分）已知列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832，则a5为（）A648B832C1168D194418（3分）已知x25x1991=0，则代数式的值为（）A1996B1997C1998D1999三、解答题（共9小题，满分87分）19（10分）（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a1=0；（2）设a+b+c=0，求的值20（8分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=121（9分）（1）已知b2=ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值22（10分）设a、b、c满足，求证：当n为奇数时，23（10分）已知a2a1=0，且，求x的值24（10分）（1）已知实数a满足a2a1=0，求a8+7a4的值（2）已知，求的值25（10分）已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代数式的值26（10分）不等于0的三个数a、b、c满足，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数27（10分）（2001天津）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品（1）用a，b表示B组检验员检验的成品总数；（2）求B组检验员的人数新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）已知x2+x3=0，则=3考点：分式的基本性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由已知条件x2+x3=0，得x2+x=3，代入所求的式子就可以求出式子的值解答：解：由已知条件x2+x3=0，得x2+x=3，原式=3故答案为3点评：分式变形后，分子与分母整体约分，是解决本题的基本方法2（4分）若，则=考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题；整体思想分析：先将化简为含有的形式，然后代入进行求值解答：解：=，把代入得：a=故答案为：点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是把所求分式化简成含有的形式，然后根据条件求解3（4分）若a、b、c满足解：a+b+c=0，abc0，且，y=，则x+2y+3xy=2考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题；探究型分析：由a+b+c=0，abc0，可确定出a、b、c三个数中必有两个为负值，一个为正值根据绝对值的含义及可得出x=1由a+b+c=0与推出y=3将x、y代入x+2y+3xy即可求解解答：解：由 a+b+c=0，abc0可知a、b、c三个数中必有两个为负值，一个为正值，a+b=c，a+c=b，b+c=a，=111=1，=，=，=，=，=，=，=3，则x+2y+3xy=1+2（3）+3（1）（3）=2，故答案为2点评：本题主要运用a3+b3+c3=3abc（a+b+c=0）这一结论及绝对值的含义来解题同学们一定弄清y的推导过程4（4分）已知，则=考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：设=k，则a=，b=，c=，代入即可求出答案解答：解：设=k，解得：a=，b=，c=，代入，=，=故答案为：点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是设出=k，把a，b，c分别用k表示出来，然后再代入求解5（4分）若，则的值是2或0考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系设=k，根据关系即可求得k的值，进而求解解答：解：设=k，则d=ak，c=dk=ak2，b=ck=ak3，a=bk=ak4k4=1，即k=1当k=1时，a=b=c=d原式=0；当k=1时，则a=b=c=d，则原式=2点评：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能6（4分）若=，那么的值等于8或1考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：观察与发现，后者是通过前者相乘得来那么只要找出的值解出，因此设通过变换化为（a+b+c）（k2）=0那么可能是a+b+c=0或k=2对这两种情况分别讨论解答：解：设若=k，则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb2（a+b+c）=k（a+b+c）即（a+b+c）（k2）=0所以a+b+c=0或k=2当a+b+c=0时，则a+b=c，同理、所以=1当k=2时，所以=8故答案为8或1点评：做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设，做到这步已经成功了一半因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系7（4分）已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，那么a+b+c的值为0，1，1考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：由，那么（a+b+c）（+）=0，即可求解解答：解：由，那么（a+b+c）（+）=0，a+b+c=0或+=0，当+=0时，ab+bc+ac=0，a、b、c满足a2+b2+c2=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，a+b+c=1，故答案为：0或1或1点评：本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是由变形为（a+b+c）（+）=08（4分）已知，则x的值为考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题；整体思想分析：已知=1，=2，=3，则：=1，即=1；（1），即；（2），即（3）利用加减法解这个三元方程组即可解答：解：已知=1，=2，=3，则：=1，即=1；（1），即；（2），即（3）（2）（3）得到：（4）（1）（4）得到：=，解得：x=故答案为：点评：把已知=1变形为=1是解决本题的关键，巧妙利用整体思想可使问题得到有效解决9（4分）若实数x，y，z满足，则xyz的值为1考点：代数式求值；解分式方程菁优网版权所有分析：先用未知数x表示y，z，再根据解分式方程的步骤求出x的值，代入从而得到xyz的值解答：解：因为，所以4（4x3）=x（4x3）+7x3，解得从而，于是故答案为1点评：本题考查了分式方程的解法解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论本题解题的关键是用一个未知数表示另两个未知数二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10（3分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：其中正确的是（）ABCD考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：利用已知条件a、b、c、d都是正实数，且，进行灵活变形即可得出答案解答：解：，故选D点评：本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是运用已知条件进行灵活变形11（3分）如果，那么等于（）A1B2C3D4考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可解答：解：由已知得=1a，b=1，两式相乘，得（1a）（1）=1，展开，得1a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2故选B点评：本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法12（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A3b=2cB3a=2bC2b=cD2a=b考点：比例的性质；分式的化简求值菁优网版权所有分析：利用等比性质即可求得a=2b，代入即可求得b，c的关系解答：解：由等比性质可得：=，a=2b，把a=2b代入=得，3b=2c故选A点评：本题主要考查了等比性质，正确利用等比性质是解决本题的关键13（3分）若4x3y6z=0，x+2y7z=0（xyz0），则的值等于（）ABC15D13考点：解三元一次方程组菁优网版权所有专题：计算题分析：先由解得，再代入即可解答：解：由解得，代入=13，故选D点评：本题的实质是考查三元一次方程组的解法通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法解三元一次方程组的关键是消元解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组14（3分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为uv）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）AT=tBTtCTtD不能确定T、t的大小关系考点：分式的乘除法；列代数式（分式）菁优网版权所有分析：船在流水中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间=路程顺水速度+路程逆水速度，顺水速度=静水中的速度+流水速度，逆水速度=静水中的速度流水速度，据此列式进行比较解答：解：由题意得，T=，t=，=1，即Tt，故选C点评：此题考查分式的乘除运算和列代数式，读懂题意的同时运用除法进行比较分式的大小，有点难度15（3分）设a、b、c满足abc0，且a+b=c，则的值为（）A1B1C2D3考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：由a+b=c，可得b=ca，c=a+b，a=cb，然后对所求分式进行变形，先利用平方差公式变形，再根据需要代入b=ca，c=a+b，a=cb，进行变形，再利用分数的性质化简即可求值解答：解：a+b=c，b=ca，c=a+b，a=cb，+，=+，=+=+=+=1+11=1故选B点评：本题利用了等式的性质、分数的性质、平方差公式以及整体代入的有关知识16（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A1BC2D考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c1=1ab，ab+c1=ab+1ab=（a1）（b1），同理，得bc+a1=（b1）（c1），ca+b1=（c1）（a1），原式=+=故选D点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果17（3分）已知列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832，则a5为（）A648B832C1168D1944考点：分式的化简求值；约分菁优网版权所有专题：计算题；探究型分析：列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，假设仅知道a1=8，a7=5832，因而要想法用a1，a7表示出k的关系，进而求出k的值观察发现，只有将各式分子分母分别相乘，才能最终剩余a1，a7，k即解得k，利用上面的原理也可以化为，那么a5就能解得解答：解：令=k，则，即，解得，解得a5=648故选A点评：做好本题的关键是注意观察虚拟一个比值k，再利用已知条件a1=8，a7=5832，k找到他们间的关系，进而找到a1，a5，k间的关系，问题就能解决本题虽是选择题，但也有一定难度，也可做为大题出现18（3分）已知x25x1991=0，则代数式的值为（）A1996B1997C1998D1999考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可解答：解：=x25x+8；x25x1991=0，x25x=1991，原式=1991+8=1999故选D点评：解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大三、解答题（共9小题，满分87分）19（10分）（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a1=0；（2）设a+b+c=0，求的值考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：（1）先把分式化简，再代入求值即可；（2）由已知可得a+b=c，c=ab，则2a2+bc=2a2+b（ab）=（ab）（a+a+b）=（ab）（ac），同理 2b2+ac=（bc）（ba），2c2+ac=（ca）（cb），代入所求代数式计算即可解答：解：（1）原式=；a2+2a1=0，a2+2a=1，原式=1；（2）由已知可得a+b=c，c=ab，则2a2+bc=2a2+b（ab）=（ab）（a+a+b）=（ab）（ac），同理 2b2+ac=（bc）（ba），2c2+ab=（ca）（cb），原式=，b=ac，a2（bc）b2（ac）+c2（ab）=a2（a2c）（a+c）2（ac）+c2（a+a+c）=a32a2ca3a2c+ac2+c3+2ac2+c3=2a33a2c+3ac2+2c3=2（c3a3）+3ac（ca）=（ca）（2c2+5ac+2a2）=（ca）（2c+a）（c+2a）=（ca）（2cbc）（ab+2a）=（ab）（bc）（ac）原式=1点评：此题考查分式的化简求值，难度较大，已知条件的反复应用、因式分解的应用都要灵活20（8分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=1考点：分式的等式证明菁优网版权所有专题：证明题分析：根据题意的等式得出xy，xz，yz的表达式，然后三者相乘即可得出结论解答：解：由可得：xy=，zy=，同理，zx=，xy=，x2y2z2=1故结论得证点评：本题考查分式的不等式证明，难度不算很大，注意有连等式时一般可得出很多条件，要注意根据需要对等式进行变形21（9分）（1）已知b2=ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：（1）先把分式化简，再代入求值即可；（2）由已知可得，则，同理求得所求代数式中的后两个式子的表达式，相加并化简即可解答：解：（1）原式=，b2=ac，原式=1；（2）由已知可得，则，同理，+得=（x+y+z）=x+y+zyxz=0点评：此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简此题难度较大22（10分）设a、b、c满足，求证：当n为奇数时，考点：分式的等式证明菁优网版权所有分析：将已知条件的分式等式移项、通分，转化为整式的等式，再因式分解得出（a+b）（b+c）（a+c）=0，从而有a=b，b=c，c=a至少一个成立，当n为奇数时，an、bn、cn就有可以抵消的，说明等式成立解答：证明：由已知，得=，通分，得=，去分母、移项，得c（a+b）（a+b+c）+ab（a+b）=0，（a+b）（ac+bc+c2+ab）=0（a+b）（b+c）（a+c）=0即a=b，b=c，c=a至少有一个成立，故当n为奇数时，成立点评：本题考查了由分式等式向整式等式转化的方法，因式分解在整式变形中的作用几个因式的积为0，这几个因式中至少有一个为023（10分）已知a2a1=0，且，求x的值考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：通过已知a2a1=0，变换得a2=a+1，再将用a2=a+1遇a2逐级代入化简后，求出x的值解答：解：由a2a1=0，得a2=a+1=由于，所以解得答：x的值是点评：本题解题的关键点是方程的左端化简，化简时一定注意用到已知式，代入降次，甚至去掉a24（10分）（1）已知实数a满足a2a1=0，求a8+7a4的值（2）已知，求的值考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：（1）由条件得a2=a+1，通过不断平方，把原式用较低次方的多项式表示，代入所求代数式计算；（2）已知条件三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出的值解答：解：（1）由已知得a2=a+1，两边平方，得a4=a2+2a+1=3a+2，两边再平方，得a8=9a2+12a+4=21a+13，a8+7a4=21a+13+=48；（2）+=，（+1）+（+1）+（+1）=3=，即+=，=点评：本题考查了分式的恒等变形，采用了降次、通分、因式分解等方法，运算量大，考察学生的运算能力，需要仔细25（10分）已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代数式的值考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：根据xy+2z=xy+2（2xy）=（x2）（y2），同理即可把所求的式子的分母进行转化，即可求解解答：解：xy+2z=xy+2（2xy）=（x2）（y2）同理，yz+2x=（y2）（z2），zx+2y=（z2）（x2）原式=点评：本题主要考查了代数式的化简求值，正确对分母进行变形是解决本题的关键26（10分）不等于0的三个数a、b、c满足，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数考点：分式的加减法菁优网版权所有专题：证明题分析：直接通分，将分式等式转化为整式等式，再因式分解得到（b+c）（a+b）（a+c）=0，可知其中至少有一个因式为0解答：证明：bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc（b+c）a2+（2bc+c2+b2）a+bc2+b2c=0即（a2b+ab2）+（a2c+a