第6章 不定积分习题课.doc

第六章 不定积分习题课一：主要内容 1、基本概念 要掌握两个基本概念：原函数，不定积分。2、基本公式掌握不定积分计算的基本公式，这是整个不定积分计算的基础。3、计算方法 换元法，分部积分法，有理函数积分法，有理三角函数积分法。特别注意掌握换元法和分部积分法的思想。 3、不定积分的计算涉及题型多，技巧性强，难度大，虽然针对一些特殊结构的题目给出了一般性的处理方法，但在实际的计算中，不要局限于这些 一般性的方法，要针对具体的题型结构，掌握各种方法的实质，针对结构特点，灵活使用各种技巧，尽量选择简单的特殊的方法，只有这样才能收到事半功倍的效果。计算不定积分的一般程序为：1）、利用各种方法和技巧如因式分解、有理化等，先简化被积函数，为进一步分析结构特点创造条件； 2）、分析积分结构特点和难点，如困难因子，不同结构的因子，不同因子的关系等；3）、针对结构特点选择对应的方法和技巧。二：典型题目。通过一些典型题目说明计算中的方法，技巧问题。下述的一些题目不难，关键掌握分析的方法。例1 设F(x)为f(x)在区间I上的原函数，且为f(x)的间断点，证明必为f(x)的第二类间断点。分析 本题考察两个基本概念：原函数和间断点。从要证明的结论看，要证明为第二类间断点，按定义须证明 f(x)在此点的左右极限至少有一个不存在，我们知道在证明的结论中，证明肯定的结论比证明否定的结论简单，证明存在性要比不存在性简单，特别是对抽象函数，因此，在处理这类问题时通常采用反证法。证明：设间断点不是f（x）的第二类间断点，则和都存在。又利用原函数的定义，F(x)在点可导且，即 ，因而，还有，；但是，由L”Hospital法则， ， ，故，因而，f(x)在点连续，矛盾。注、从上述证明过程中，可以看到：若f(x)有第一类或可去间断点，则f(x)必不存在原函数。例2 设，讨论f(x)的原函数的存在性。分析 处理这类问题有两种思路，其一是通过考察间断点的性质判断原函数的存在性，即若存在不是第二类的间断点，肯定不存在原函数，当然，若间断点是第二类的，并不一定保证原函数的存在性。其二是通过计算不定积分判断原函数的存在性，此时，若能得到一个合理正确的原函数，则表明原函数的存在，若得不到原函数，则表明原函数不存在。对本例，首先，x0是f（x）的第二类间断点，因此，由例1还不能得到结论，第一种思路不能解决问题。考虑第二种思路，通过不定积分的计算判断原函数的存在性；我们知道，对给定的一个单一的表达式，可以直接计算对应的不定积分，但是，对分段函数来说，我们必须在不同的范围中，分段进行不定积分的计算，得到一个分段表达式，然后，利用原函数的性质（可导且导函数为给定的函数）验证得到的函数是否为给定函数的原函数。解、当时，由分部积分法，则 ，令，则可以验证，在时，。补充F(x)在x=0的定义，注意到原函数一定连续，因而，如下补充定义 ，进一步可以验证，F(x)在x0点可导且。因而，对任意的x，都有，因而，F(x)为f(x)的原函数。注、原函数不唯一，事实上， 都是其原函数。注、例2中，x=0为第二类间断点，此例存在原函数。将例2稍加修改为，则x=0仍是第二类间断点。此时，若原函数存在，则必为 但是，由于对任意C，都有，故F(x)不是f(x)的原函数。因而，此时，f(x)的原函数不存在。 例3、设，讨论原函数的存在性。分析 与例2类似可以考虑两种解决方法。解、法一、由于x0是f（x）的第一类间断点，因而，原函数不存在。法二、通过不定积分的计算判断原函数的存在性。当时，计算对应的不定积分，则 ；当x2时，由于，则 ，而作变换，则；进一步计算 。由此，对任意正整数n，都可以利用递推公式求解。法二、 ，故，。 注、法一的递推公式中要求n1，原因是的原函数在n=1