2.4.等比数列.doc

2.4 等比数列1、 教学目标等比数列的基本概念与应用在学习了等差数列的基础上，引入另一类特殊的数列-等比数列，使学生可以类比地学习等比数列的相关知识，并能将其应用于实际问题中。体会等比数列与指数函数、方程之间的联系2、 教学重点与难点教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。教学难点：在具体的问题情境中，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并用有关知识解决相应的问题。3、 教学过程引入（在前面的几次课中，我们一同探讨了一种特殊的数列-等差数列，事实上，在我们的生活中还存在着其它特殊的数列。我们一同来阅读一下书本上的这四个例子，观察一下它们给出了四个数列。）1、 细胞分裂模型（我们课本上的这幅图简单地展现了细胞分裂的部分过程，一个细胞分裂成2个，这两个细胞又分别分裂出2个细胞变成四个细胞，以此类推，细胞分裂个数组成了以下数列：1，2，4，8，.）该模型简单呈现了细胞分裂过程，细胞分裂个数可以组成以下数列：1，2，4，8，.。2、 “一尺之锤，日取其半，万世不竭”（我国灿烂的文明中，数学文化的发展也在不断进行中，庄子一书中曾有以下论述：一尺之锤，日取其半，万世不竭。这句论述，我们可用现代语言进行叙述：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完。这样，由于每一日剩下的木棒都是前一日的一半，若把最初的一尺木棒看作单位1，那我们可以得到怎样的数列呢？我们一起来填一下。）这句论述，我们可用现代语言进行叙述：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完。这样，由于每一日剩下的木棒都是前一日的一半，若把最初的一尺木棒看作单位1，那我们可以得到以下数列：3、 计算机病毒的传播（我们大家都在使用电脑，计算机病毒已成为我们的一大困扰。有些电脑病毒是通过邮件进行传播的，它们会自动查找用户地址簿，向联系人发送邮件。我们假设病毒来源发送病毒为第一轮，邮件接收者发送的病毒为第二轮，以此类推，若每一轮每台计算机感染20台计算机，且在不重复的条件下，这一病毒每一轮感染的计算机构成数列）假设病毒来源发送病毒为第一轮，邮件接收者发送的病毒为第二轮，以此类推，若每一轮每台计算机感染20台计算机，且在不重复的条件下，这一病毒每一轮感染的计算机构成数列4、 银行储蓄中的复利问题（我们把钱存入银行，银行有不同的利息支付方式，除了单利这一方式，还有另一种-复利。）复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，即我们经常听到的“利滚利”。复利计算本利和的公式为：（我们通过下面的这个例子进一步了解复利的计算：）现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：组成了以下数列（大家一起来观察一下上面的这四个数列，有没有发现什么共同特点？）等比数列的概念我们发现，这些数列有一个共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。（我们回忆一下前面学习过的等差数列的概念，类比给出等比数列的相关概念-提问。）1、 等比数列（geometric sequence/G.P.:Geometric Progression）：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），用字母q表示（即quotient-商数）。（在英语中，geometric表示成几何级数增长的，因此我们可以这样理解，等比数列就是一种呈几何级数增长的特殊的数列。ratio表示比、比率。在了解了等比数列的概念后，我们回到刚刚的四个例子上，我们便知道那四个数列的公比分别是。与学生共同说出答案。）2、与等差中项类似，由a，G，b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列，这时，我们称a与b的等比中项（geometric mean）。3、同样地，大家尝试一下利用递推公式来描述等比数列。等比数列的通项公式（现在，我们来研究一下等比数列的通项公式。我们反观前面的四个数列，我们是否可以试着找找它们的通项公式呢？-留有一定时间思考，填充。我们回忆一下之前我们是怎样找到等差数列的通项公式的，我们可以模仿该过程归纳出等比数列的通项公式。）一般的，如果等比数列的首项是，公比是q，则我们根据等比数列的定义，可以得到归纳得到 注意：勿将通项公式写为 对于公比q，是指“从第2项起，每一项与它前一项的比”，切勿颠倒， 它可以是一个正的常数，也可以是一个负的常数 公比形式的改变会导致通项公式形式的不同，大家思考一下，若公比为，通项公式如何改变？什么是不变的？若，会出现什么样的结果？ 等比数列与指数函数的关系（现在我们一起来完成一下课本P50的探究（2）、（3），在直角坐标系上分别作出的图象，以及的图像，观察一下它们之间的关系。-学生作图期间在黑板上画出图象或用几何画板演示。）等比数列通项公式可以整理为：，而函数则是一个不为零的常数与指数函数的乘积。我们也可以从图象上直观地看到，表示数列中各项的点是函数的图象上的一系列孤立点。等差数列与等比数列的类比（现在，我们了解了什么是等比数列，并在等差数列的基础上进行类比研究学习的。那等差数列和等比数列的联系与区别是什么呢？我们一起来填一下下面这个表。）等差数列等比数列定义首项、公差/公比的取值有无限制通项公式相应图象特点（我们思考一下以下几个问题？）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列。对于等比数列，当a和q都为正数时，取以为底的对数，（这样做会发现什么？）可得到数列这是一个以为首项，以为公差的等差数列。在等比数列，q的指数就是等差数列1，2，3，. ，n，. 的前n项和。等比数列的应用1、 实际问题情境中的等比数列课本P50 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%。这种物质的半衰期（放射性物质衰变到原来的一半所需时间）为多长？解：依题意，建立等比数列数学模型数列，首项=0.84，公比q=0.84，第n项=0.5，则两边取对数，得 算得：答：这种物质的半衰期大约为4年。2、 利用数列的通项公式判断数列是否为等比数列课本P50 例2根据2.4-2中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式。这个数列是等比数列吗？解：打印出来的5个数依次为于是我们可以得到递推公式由于，因此这个数列是等比数列，其通项公式为总结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个常数即可。3、 等比数列与方程的关系课本P51 例3一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项解：设这个等比数列的第一项是，公比是q，那么 / 得：，代入，得：，则答:这个数列的第1项和第2项分别是总结：同之前的等差数列一样，等比数列的通项公式事实上也是一个数列中的项的值关于其序号的方程。4、 两个等比数列的积和商课本P50 例4（我们已经知道两个项数相同的等差数列的和仍为等差数列，那我们是不是可以类比得出关于等比数列的类似结论呢？带着这个问题，我们来看看这道练习。）已知是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格。从中你能得出什么结论？证明你的结论。解：填完表格，我们可以得出：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列。证明如下：设数列的公比为p，的公比为q，那么数列的第n项与第n+1项分别为由于是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列。思考：对于项数相同等差数列，数列是等差数列吗？