概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题4解.doc

习题四 随机变量的数字特征（A）4.1 设随机变量X在1,2上服从均匀分布，当X小于、等于和大于0时，随机变量Y分别取1，0和1为值，求Y的方差解 由随机变量X在1,2上服从均匀分布，易见 4.2 设随机变量相互独立，且都服从参数为3的泊松分布，而Y是的算术平均值，求解 泊松分布的数学期望和方差都等于3因此，有4.3 已知随机变量X和Y的数学期望和方差：，求常数a和b，使随机变量的数学期望和方差分别等于0和1解 由可见4.4 设随机变量X分布函数为F(x)，求随机变量的数学期望解 随机变量只有1和1两个可能值4.5 设随机变量X的概率密度为求解 4.6 设随机变量在上均匀分布，试求下列随机变量的数学期望和方差：；解 随机变量的概率密度为4.7 设随机变量的概率密度为求解 由（4.3）式，有4.8 某线路的公共汽车总共有个停车站假设在起点站发车时车上共有个乘客，并且每个乘客在前面个停车站下车是等可能的，而且在没有乘客下车的站不停车以表示当乘客全部下车时公共汽车停车的次数，求解 设始发站为第0站，以下分别为第站引进随机变量：则由于每个乘客在前面个停车站下车都是等可能的，可见独立同分布，且停车次数为现在求的概率分布：每个人在个停车站中任何一站下车的概率都等于，而事件表示“个乘客都不在第站下车”，因此4.9 在某地区通过验血对一种疾病情况进行抽样调查现在采集了n个人的血样对n个人进行分组，每k个人为一组；对于每一组，化验采用如下方式：将每个人的血样分为两份，然后将每一组k个人的血样各取一份混合在一起进行一次化验，若反应阴性，则认为k个人的血都呈阴性反应；若反应阳性，则对每人的另一份血样单独进行化验(即共进行k+1次化验)假设该地区人群中血液呈阳性反映的比率为p试求：(1) 个人的混合血呈阳性反应的概率；(2) 每一组所需化验次数X的数学期望(3) 当，1000，4时所需化验次数的数学期望M解 (1) k人的混合血都呈阴性反应的概率为，故(2) 随机变量X的概率分布为因此，(3) 设p=0.10，n=1000，k=4，则总共分成r=250组对于每一组期望化验次数，因此M=4.10 试求100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值解 设每次试验成功的概率为p，则100次独立重复试验成功的次数X服从参数为（100，p）的二项分布，故易见，当p =0.5时，取最大值这时，可见标准差的最大值等于54.11 已知随机变量的概率密度为且，试求未知系数和解 对于随机变量已知，因此由此得关于未知系数和的方程组其解即所求未知系数和：4.12 假设随机变量服从柯西分布，其概率密度为求解 由于可见4.13 设对于随机变量X，存在，证明对于任意,有（马尔科夫 不等式）证明 (1) 设是离散型随机变量，其一切可能值为，则对于任意,有(2) 设是连续型随机变量，其概率密度为，则4.14 游客自电视塔底层乘电梯到电视塔高架观光厅，电梯每整点的第5, 25, 50 min由底层起行假设一游客于早9点之间随机的时刻第分钟到达底层的候梯处，试求他等候时间（min）的数学期望解 由条件知，可以认为在区间0, 60上服从均匀分布，其密度为随机变量是的函数因此，等候时间的数学期望为4.15 试求，其中随机变量的分布函数为解 由随机变量X的分布函数，可得；4.16 一根均匀金属轴的横截面是一圆形，以表示对其直径的随机测量结果，假设在区间上服从均匀分布，试求轴的横截面面积的数学期望和方差解 由对轴的直径的测量结果在区间上服从均匀分布，知的概率密度为：轴的横截面面积S是直径的函数：因此4.17 在石油的蒸馏过程中，蒸馏温度是关键假设是在上均匀分布的随机变量；生产每升石油的成本为元；蒸馏温度（产品即所谓石油精）的售价为每升元；蒸馏温度（产品即所谓精炼蒸馏液）的售价为每升元试求每升石油的产品的期望利润解 每升石油的产品的利润是蒸馏温度的函数：其中蒸馏温度的密度为每升石油的产品的期望利润为4.18 假设新生入学考试各科的成绩（百分制）都服从正态分布结果外语考试的平均分为72分（视为数学期望），而96分以上的考生占2.3%，试求随意抽取的一份试卷的成绩介于60到84分之间的概率解 由条件知外语考试的成绩；而由，即；由标准正态分布函数表可查得，即因此，4.19 设随机变量和相互独立，并且都服从正态分布，求随机变量和最小值和最大值的数学期望解 可以利用随机变量和的联合分布，直接求和的函数的数字特征设，易见，由条件，知随机变量和服从标准正态分布，因此和的联合密度为根据随机变量函数的数学期望的计算公式，有同样可以得4.20 假设火箭的燃料含有一定百分比的特殊化合物，并且要求在30和35之间厂家每升燃料的净利润与有如下关系：试求其数学期望解 设由，知；查标准正态分布函数值表（附表1），得每升燃料的净利润的数学期望为于是每升燃料的平均利润为7.742元4.21 设随机变量和相互独立，都服从正态分布，求E解 由于独立正态随机变量之代数和仍然服从正态分布，可见，其中因此4.22 假设保险丝的寿命服从指数分布比较用两种方法制造的保险丝的寿命：(1) 对于方法1，保险丝的平均寿命为100 h，每盘成本为元；(2) 对于方法2，保险丝的平均寿命为150 h，每盘成本是方法1成本的两倍假如保险丝的寿命小于200 h，每盘亏损K元问哪一种制法的期望费用最小？解 以表示第种方法下，保险丝的寿命和成本由条件知，分别服从参数为的指数分布我们首先计算每一种方法的期望费用由条件知，同理可得因此，有于是，当时制法1的期望费用最小，当时制法2的期望费用最小，当时两种方法的期望费用相同4.23 假设一种电气元件的寿命是随机变量，服从指数分布，其平均寿命为2000 h已知每个元件的制造成本为200元，售价为800元对于售出产品，若其实际寿命小于100 h，则厂家必须退还全部货款试求销售这样的元件厂家每件所获利润的期望值解 由于X服从指数分布，且，可见分布参数=1/2000以表示所获利润，则 由的分布函数，易见，于是，每件所获利润的期望值560元4.24 假设随机变量服从参数为的指数分布，求概率解 对于服从参数为的指数分布的随机变量，于是4.25 将一枚均匀对称的色子独立地重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，利用由切贝绍夫（切比雪夫）不等式估计概率解 以表示第k次掷出的点数易见由于，可见因此，根据切比绍夫不等式，有4.26 设随机变量X和Y的联合概率分布为概率 Y X 1 0 101 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20(1) 求和的相关系数；(2) 求的协方差；(3) 问和以及是否相关？是否独立？解 (1) 随机变量和的相关系数；易见的概率分布及其数学期望相应为于是(2) 的协方差(3) 由（1）可见和不相关，但是不独立，因为；由（2）可见相关，从而不独立4.27 假设一批共100件产品，其中一、二、三等品分别为80, 10, 10件现在从中任抽取一件，记试求，(1) 随机变量X1和X2的联合分布；(2) 随机变量X1和X2的相关系数解 引进事件Ak抽到k等品(k = 1, 2, 3)由条件，知P(A1)=0.8，P(A2)=0.1,P(A3)=0.1易见，有四个可能值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)；随机变量X1和X2的联合分布为：由于，可见，从而此外，有于是例4.28 假设随机变量X和Y相互独立，都服从参数为的泊松分布求随机变量和的相关系数解 泊松分布的数学期望和方差都等于其分布参数：有于是,由相关系数的定义，得例4.29 已知随机变量独立同正态分布，求和的相关系数解 由随机变量独立同正态分布，和，知例4.30 假设随机变量独立同分布，且方差存在求随机变量 和 的相关系数解 记由于独立，可见()和()独立，以及()和()独立因此于是，由DU= DV=6b，可见例4.31 设随机变量在区间上均匀分布,求和的相关系数解 首先计算和的协方差，再求相关系数，有说明 事实上，解该题可以回避计算，只靠判断由于和有明显的线性关系：，可见和相关系数的绝对值等于1因为和增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定例4.32 设随机变量和的数学期望分别为2和2, 方差分别为1和4，相关系数为0.5，试利用切贝绍夫不等式估计概率解 由条件知于是，根据切贝绍夫不等式，有例4.33 设随机变量和的方差皆为2, 其相关系数为0.25，求随机变量和的相关系数解 随机变量和的协方差；随机变量和的协方差现在计算和相关系数：4.34 设随机变量X和Y相互独立且服从参数为0.6的0-1分布，证明不相关但是不独立证 已知X和Y相互独立且都服从0-1分布先证不相关，有因此和不相关现在证明不独立事实上，因此虽然和不相关但是不独立4.35 假设是连续型随机变量，其概率密度是偶函数且存在证明和不相关解 设是随机变量的概率密度，则根据条件且存在由于概率密度是偶函数且存在，可见是奇函数，因此于是和不相关4.36 设X与不相关，是任意实数，试证明X与不相关证 由条件知，对于任意，因此由协方差的性质，可见（B）4.37 假设随机变量（i, j =1,n）独立同分布，考虑行列式(1) 证明. （*）(2) 假设，求行列式的数学期望和方差解 (1) 由行列式的定义知，其中的一切全排列求和，共含n!项；中逆序的个数由数学期望的性质，可见由行列式的定义，可见式（*）成立(2) 由于随机变量独立同分布且数学期望为，可见行列式（*）的元素都等于，因此现在求 其中分别是排列中逆序的个数易见，由于第二个和式中，故在每一项中至少存在两个变量不相同；因此第二个和式中各项的数学期望都等于0于是4.38 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元试求这项试验的总费用的期望值解 (1) 以表示试验的总次数，首先求的概率分布设=第k次试验成功（k=1,2,），则；的概率分布为，其中于是试验的总次数服从参数为p的几何分布(2) 现在求试验的总费用的期望值由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用是一随机变量，其期望值为例如，设p = 0.8, q = 0.2，得12.498元；设p = q = 0.5，得19.6875元；设p = 0.2, q = 0.8，得41.808元；设p = 0.1, q = 0.9，得70.4775元4.39 设有N个教学班和n个插班生把n个插班生随机地分配到N个班中去，假设每个学生分到各班的可能性相同以表示没有分到插班生的班数，求和解 对于，考虑n重伯努利试验：每个插班生“分到第班”为成功，成功的概率为p=1/N设则的概率分布及和为：易见恰好是没分到插班生的班数，此外，由于事件表示“第班和第班都未分到插班生”，可见对于，于是，4.40 假设某季节性商品，适时地售出1 kg可以获利元，季后销售每千克净亏损t元假设一家商店在季节内该商品的销售量（kg）是一随机变量，并且在区间内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？解 根据条件，随机变量X的概率密度为：以表示销售利润，它与季初应安排商品的数量有关由条件，知为求使期望利润最大的，计算销售利润的数学期望注意到，由于季初安排商品数量应介于最小销售量与最大销售量之间，可见，故销售利润的数学期望为：对该式求导并令其等于0，得因此于是，季初安排kg商品，可以使期望销售利润最大4.41 设随机变量和的方差存在，则是和(A) 不相关的充分但非必要条件 (B) 不相关的充分必要条件(C) 独立的充分但不是必要条件 (D) 独立的充分和必要条件 解 应该选（B）是和不相关的充分必要条件，应该是熟知的性质，因此该题宜用直选法(1) 直选法由熟知的公式，可见当且仅当，而的充分必要条件是和不相关于是，（B）是正确选项(2) 排除法由于，可见是的充分必要条件，因此选项（A）不成立；熟知，当时，即当时和未必独立；例如，设和的联合分布是圆上的均匀分布，由对称性知和不相关，但是和不独立，因此选项（C）和（D）都应排除于是，只有（B）是正确选项4.42 假设随机变量，求使概率最大的值解 设(x)是标准正态分布函数，有；由此可见，得易见，的符号决定于的比较：当时, ，；当时，；当时，因此，当时，取极大值因为的极值惟一，故也是最大值，即当时概率最大4.43 假设一种电器设备的使用寿命 h是一随机变量，服从参数为=0.01的指数分布使用这种电器每小时的费用为=3元，当电器工作正常时每小时可获利润=10元此设备由一名工人操作，每小时报酬为=4元，并且约定按 个小时支付报酬问约定操作时间为多少时，能使期望利润最大？解 以表示销售利润，则由条件知是的函数：由条件知，随机变量的分布函数和概率密度相应为 和 其中期望销售利润为将=3元，=10元=4元，以及=0.01代入，得小时4.44 假设和是非负整数值独立随机变量，和存在试证明证明 由于，可见因此例4.45 假设随机变量和有二阶原点矩存在，试证明不等式并利用此不等式证明和的相关系数的绝对值不大于1解析 (1) 首先证明不等式由于，可见该式左侧关于的二次三项式不可能有两个不同实根，因此其判别式，由此立即得所要证明的不等式(2) 记为和的相关系数，对运用所证明的不等式，有说明 不等式和称做柯西-许瓦兹不等式4.46 假设试验E以概率p成功，以概率失败，分别以和表示在n次独立地重复试验中成功和失败的次数，则和的相关系数等于(A) (B) 0 (C) (D) 1 分析 应该选(A)因为+=n，即和互为线性函数，故和的相关系数由于，成功次数和失败次数的增减方向恰好相反，可见和为负相关，故说明 解该题应靠直观判断，而应回避计算实际上，通过计算也容易证明和的相关系数等于事实上，由，可见因此和的相关系数4.47 将一枚硬币独立地重复掷n次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则随机变量X和Y的相关系数等于(A) (B) 0 (C) (D) 1 分析 应该选（A）该题本来属于计算性选择题显然，即在和之间存在线性函数关系，因此和的相关系数的绝对值肯定等于1；另一方面，由于和的变化方向恰好相反，可见它们的相关系数等于于是，（A）是正确选项说明 解这类题时最好运用“直观判断”而不用计算不过，可以用两种方法计算和的相关系数，必将得到同样的结果下面给出两种解法(1) 由于，可见