第三章 固体物理.pdf

第三章第三章 内容提要内容提要 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾为了使问题既简化又能抓住主要矛盾 在分析在分析 讨论晶格振动时讨论晶格振动时 将原子间互作用能的泰勒级数中将原子间互作用能的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似 在简谐近在简谐近 似下似下 由由N个原子构成的晶体的晶格振动个原子构成的晶体的晶格振动 可等效成可等效成 3N个独立的谐振子的振动个独立的谐振子的振动 每个谐振子的振动模式每个谐振子的振动模式 称为简正振动模式称为简正振动模式 它对应着所有的原子都以该模它对应着所有的原子都以该模 式的频率做振动式的频率做振动 它是晶格振动模式中最简单最基它是晶格振动模式中最简单最基 本的振动方式本的振动方式 原子的振动原子的振动 或者说格波振动通常或者说格波振动通常 是这是这3N个简正振动模式的线形迭加个简正振动模式的线形迭加 1 简正振动模式简正振动模式 晶体中原子的振动具有晶体中原子的振动具有波粒二象性波粒二象性 原子振动的波动形 原子振动的波动形 式就是晶格振动波 称为式就是晶格振动波 称为格波格波 原子振动的粒子形式就是 原子振动的粒子形式就是 声子声子 声子是格波的能量量子 其能量为 声子是格波的能量量子 其能量为 声 声 子是解释固体热性质的关键之一 声子可看成是固体中的子是解释固体热性质的关键之一 声子可看成是固体中的 一种原激发 一种原激发 不是真的基本粒子 是准粒子不是真的基本粒子 是准粒子 1 初基晶胞 原胞 中只含有一个原子的晶格振动的初基晶胞 原胞 中只含有一个原子的晶格振动的 色散关系为 色散关系为 1 sin 2 m Ka 这里这里 是截止频率 是截止频率 C是原子间的力常数 是原子间的力常数 M是是 原子质量 原子质量 1 2 4 m C M 2 一维晶格的振动一维晶格的振动 Eq 在在q 0附近色散关系是直线 当附近色散关系是直线 当q p p a 时 时 曲线达极大值 如图曲线达极大值 如图3 1所示 所示 图图3 1 一维单原子点阵的色散关系一维单原子点阵的色散关系 2 初基晶胞含有两个原子的一维点阵 简正模 初基晶胞含有两个原子的一维点阵 简正模 式的色散关系分为式的色散关系分为声学支声学支和和光学支光学支 见图 见图3 2 在 在 布里渊区边界上声学支和光学支之间有一频率间隙布里渊区边界上声学支和光学支之间有一频率间隙 声子的能隙 声子的能隙 图图3 2 一维双原子点阵的色散关系一维双原子点阵的色散关系 声学支 光学支 2a p 2a p 频率间隙频率间隙 三维点阵简正模式的色散关系是一维情况的推三维点阵简正模式的色散关系是一维情况的推 广 波矢广 波矢q是三维矢量 频率是三维矢量 频率 s q 既是波矢大小的函既是波矢大小的函 数 又是波矢方向的函数 第数 又是波矢方向的函数 第 s 支色散关系的形式支色散关系的形式 为为 s q 单原子点阵的色散关系有三支声学支 其中两单原子点阵的色散关系有三支声学支 其中两 个代表个代表横偏振横偏振 一个代表 一个代表纵偏振纵偏振 对带有基元的点 对带有基元的点 阵 色散关系有阵 色散关系有 3p 支 这里支 这里 p 是基元中所包含的是基元中所包含的 原子数 其中有原子数 其中有3个声学支 晶体中有个声学支 晶体中有 N 个初基晶个初基晶 胞 共有胞 共有3N个声学模式 有个声学模式 有 3p 3个光学支 共有个光学支 共有 3p 3 N 个光学模式 个光学模式 总的模式数为总的模式数为3pN 等于晶 等于晶 体中原子的总自由度数 体中原子的总自由度数 简正模式的色散关系在波矢空间具有简正模式的色散关系在波矢空间具有平移对称平移对称 性质 性质 ss qGq 同时也具有同时也具有中心反演中心反演的对称性的对称性 ss qq 3 格波波矢的取值格波波矢的取值 所有格波都可以用位于倒易空间中第一布里渊所有格波都可以用位于倒易空间中第一布里渊 区内的波矢来描述 区内的波矢来描述 对于点阵振动色散关系的同一支而言 对于点阵振动色散关系的同一支而言 q 和和 q G 代表同一振动模式 因而格波的波矢是限制在代表同一振动模式 因而格波的波矢是限制在 第一布里渊区内的 第一布里渊区外的波矢所代表第一布里渊区内的 第一布里渊区外的波矢所代表 的振动模式只不过是第一布里渊区内的波矢所代表的振动模式只不过是第一布里渊区内的波矢所代表 的模式的重复或再现而已 当格波的波矢超出第一的模式的重复或再现而已 当格波的波矢超出第一 布里渊区时 必须平移一个适当的倒易点阵矢量 布里渊区时 必须平移一个适当的倒易点阵矢量 用第一布里渊区内的波矢来描写 用第一布里渊区内的波矢来描写 点阵振动的最大波矢是布里渊区边界所对应的点阵振动的最大波矢是布里渊区边界所对应的 波矢 相应的波长也就是点阵振动的最短波长 波矢 相应的波长也就是点阵振动的最短波长 4 长声学支格波和长光学支格波长声学支格波和长光学支格波 对初基晶胞含有不只一个原子的点阵 对初基晶胞含有不只一个原子的点阵 色散关色散关 系分为声学支和光学支 系分为声学支和光学支 长声学支格波长声学支格波描写同一初基晶胞中原子 连同描写同一初基晶胞中原子 连同 它们的质心 的整体运动 振动频率较低它们的质心 的整体运动 振动频率较低 它包含了它包含了 晶格振动频率最低的振动模式 色散关系近似为直晶格振动频率最低的振动模式 色散关系近似为直 线线 其性质类似声波 具有恒定的声速 其性质类似声波 具有恒定的声速 长光学支格波长光学支格波描写同一初基晶胞中原子的相对描写同一初基晶胞中原子的相对 运动 质心固定不动 振动频率较高运动 质心固定不动 振动频率较高 它包含了晶它包含了晶 格振动频率最高的振动模式 格振动频率最高的振动模式 vq 离子晶体的长光学波可以用光波激发 如果它离子晶体的长光学波可以用光波激发 如果它 们具有相同的频率和波矢 可以发生共振 这决定们具有相同的频率和波矢 可以发生共振 这决定 了离子晶体的红外光学性质 了离子晶体的红外光学性质 波矢守恒定律要求 波矢守恒定律要求 和和 是散射前后中子的波矢 是散射前后中子的波矢 q 吸收或发射的声吸收或发射的声 子的波矢 子的波矢 G是一个倒易点阵矢量是一个倒易点阵矢量 G的选取必须的选取必须 使声子波矢不超出第一布里渊区 使声子波矢不超出第一布里渊区 i k k 5 中子 或光子 的非弹性散射中子 或光子 的非弹性散射 声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱 晶格振动谱 该实验方法所依据的基本原理是 晶格振动谱 该实验方法所依据的基本原理是 散射过程遵守散射过程遵守能量守恒能量守恒和和动量动量 波矢波矢 守恒守恒定律 定律 能量守恒定律要求 能量守恒定律要求 i nns EEq 式中式中 和和 是散射前后中子的能量 是散射前后中子的能量 是吸收或是吸收或 发射的声子的频率 发射的声子的频率 i n E n E s q i kGkq 以上二式中 号对应发射声子的过程 号以上二式中 号对应发射声子的过程 号 对应吸收声子的过程 对应吸收声子的过程 6 简正模式密度简正模式密度 每单位体积的每单位体积的简正模式密度简正模式密度g 定义为定义为在频率在频率 附近单位频率间隔内的简正模式数除以该晶体的附近单位频率间隔内的简正模式数除以该晶体的 体积 体积 或者说 或者说 g d 表示单位体积的晶体在表示单位体积的晶体在 到到 d 无穷小频率间隔内的简正模式数 无穷小频率间隔内的简正模式数 引入模式密度概念 在计算点阵的平衡态性质引入模式密度概念 在计算点阵的平衡态性质 时 可以将对模式时 可以将对模式 q 的求和化为对频率的求和化为对频率 的积分 的积分 模式密度依赖于色散关系 不同的物理模型 就在模式密度依赖于色散关系 不同的物理模型 就在 于假定了不同的色散关系 相应也有不同的模式密于假定了不同的色散关系 相应也有不同的模式密 度 度 模式密度模式密度的表达式是的表达式是 s表示色散关系的第表示色散关系的第s支 支 3 1 2 s s dS g q p 积分沿第一布里渊区中积分沿第一布里渊区中 的频率等值面进的频率等值面进 行 行 是波矢为是波矢为q的第的第s支格波的群速度 支格波的群速度 s q s q 对于对于一维一维情况 模式密度为情况 模式密度为 1 g g p 其中 其中 是格波的群速度 是格波的群速度 g d dq 7 爱因斯坦模型和德拜模型爱因斯坦模型和德拜模型 爱因斯坦模型爱因斯坦模型假定晶体中所有简正模式都具有假定晶体中所有简正模式都具有 相同的频率 相同的频率 于是爱因斯坦模型的模式密度为于是爱因斯坦模型的模式密度为 E 3 EE gn 式中式中 是单原子点阵的原子密度是单原子点阵的原子密度 n N n V 德拜模型德拜模型把晶体看作连续介质 色散关系为把晶体看作连续介质 色散关系为 直线直线 声速 声速 为常数 另外 假定波矢为常数 另外 假定波矢q 取在波矢空间中半径为取在波矢空间中半径为 的球 称为德拜球 内 的球 称为德拜球 内 而不是取第一布里渊区中的所有而不是取第一布里渊区中的所有q值 值 q D q 于是三维晶体的德拜模式密度为于是三维晶体的德拜模式密度为 2 23 3 2 0 DD D D q g p 其中其中 称为称为德拜截止频率德拜截止频率 也就是晶体中 也就是晶体中 可能存在的简正模式的最高振动频率 可能存在的简正模式的最高振动频率 由单原子点阵中由单原子点阵中N个原子的个原子的3N个自由度决定 个自由度决定 DD q D 23 3 6 D N V p 对初基晶胞含有两个原子的点阵而言 色散关系的对初基晶胞含有两个原子的点阵而言 色散关系的 光学支在长波极限下近似有光学支在长波极限下近似有 为常数 适于用爱因斯坦为常数 适于用爱因斯坦 模型 而对色散关系的声学支 长波极限下近似有直线模型 而对色散关系的声学支 长波极限下近似有直线 型色散关系 适于用德拜模型 型色散关系 适于用德拜模型 8 晶格点阵热容晶格点阵热容 用量子统计方法得到的用量子统计方法得到的点阵热能点阵热能为为 经典模型把原子看作一组经典模型把原子看作一组独立独立的经典谐振子 的经典谐振子 从而得到从而得到点阵热容的杜隆点阵热容的杜隆 珀替定律珀替定律 热容热容 与温度与温度T 无关 这个结论只在高温情况下才无关 这个结论只在高温情况下才 和实验结果相符 和实验结果相符 3 VB CNk V C 式中求和对第一布里渊区内的所有模式进行式中求和对第一布里渊区内的所有模式进行 1 s s ss q q sq s q Uq n q e 是第是第s支色散关系中波矢为支色散关系中波矢为q的模式上平均占的模式上平均占 有的声子数 即普朗克分布 有的声子数 即普朗克分布 1 1 s s q n q e 其中其中 1 B k T 相应地相应地点阵热容点阵热容为为 V V U C T 1 s s q q s q Te 3 2 1 s s q s qdq Te V p s n q 引入模式密度后 可以将对引入模式密度后 可以将对q的求和化为对频率的求和化为对频率 的积分 于是点阵热能为的积分 于是点阵热能为 ss s UVd gnT 式中式中 是单位体积内的晶体第是单位体积内的晶体第s支色散关系的支色散关系的 模式密度 模式密度 s g 用爱因斯坦模型得到的点阵热容为用爱因斯坦模型得到的点阵热容为 2 2 3 1 E E T E VB T e CNk Te 式中式中 称为称为爱因斯坦温度爱因斯坦温度 E E B k 用德拜模型得到的点阵热容为用德拜模型得到的点阵热容为 3 4 2 0 9 1 D x T VB x D Tx e CNkdx e 德拜温度是表征固体热学性质的特征温度 在德拜温度是表征固体热学性质的特征温度 在 德拜温度以上 几乎所有模式都被激发 而在德拜德拜温度以上 几乎所有模式都被激发 而在德拜 温度以下 有的模式开始转入 冻结 爱因斯坦温度以下 有的模式开始转入 冻结 爱因斯坦 热容和德拜热容在高温下都趋近于经典值热容和德拜热容在高温下都趋近于经典值 在低温下 爱因斯坦热容按在低温下 爱因斯坦热容按 规律变化 德拜规律变化 德拜 热容按热容按 规律变化 后者与实验结果符合甚好 规律变化 后者与实验结果符合甚好 3 B Nk E T e 3 T 式中式中 称为称为德拜温度德拜温度 D D B k 9 非简谐效应非简谐效应 简谐近似下 点阵振动的简正模式是独立的 简谐近似下 点阵振动的简正模式是独立的 声子气体是理想气体 考虑到非简谐效应 各格波声子气体是理想气体 考虑到非简谐效应 各格波 可以有相互作用 声子气体是非理想气体 但在势可以有相互作用 声子气体是非理想气体 但在势 能的非简谐项比简谐项小得多的情况下 声子气体能的非简谐项比简谐项小得多的情况下 声子气体 仍可以近似地当作理想气体处理 不过这时要考虑仍可以近似地当作理想气体处理 不过这时要考虑 声子与声子的碰撞 这是因为没有声子与声子之间声子与声子的碰撞 这是因为没有声子与声子之间 的碰撞 点阵就不可能过渡到热平衡分布 同时也的碰撞 点阵就不可能过渡到热平衡分布 同时也 没有点阵热阻 没有点阵热阻 10 非简谐效应与热膨胀非简谐效应与热膨胀 热膨胀是由于非简谐效应所引起的一种重要的热膨胀是由于非简谐效应所引起的一种重要的 热现象 它可以用原子势能曲线的不对称性得到解热现象 它可以用原子势能曲线的不对称性得到解 释 释 11 点阵热导率点阵热导率 将气体分子运动论用于声子气体 可以导出将气体分子运动论用于声子气体 可以导出点点 阵热导率阵热导率为为 1 3 c l 式中式中c是每单位体积的点阵热容 是每单位体积的点阵热容 v是声速 是声速 是声是声 子的平均自由程 它取决于声子与声子的碰撞 声子的平均自由程 它取决于声子与声子的碰撞 声 子与杂质缺陷的碰撞和声子与样品边界的碰撞 子与杂质缺陷的碰撞和声子与样品边界的碰撞 l 12 倒逆过程倒逆过程 声子与声子的碰撞过程分为声子与声子的碰撞过程分为正规过程 正规过程 N过程 过程 即即G 0的碰撞过程和的碰撞过程和倒逆过程 倒逆过程 U过程 过程 倒逆过 倒逆过 程是如下形式的三声子碰撞过程 程是如下形式的三声子碰撞过程 123 qqqG 其中其中G是不为零的倒易点阵矢量 由于倒逆过程可是不为零的倒易点阵矢量 由于倒逆过程可 以大幅度地改变声子团的总动量 因而可以建立起以大幅度地改变声子团的总动量 因而可以建立起 声子的热平衡分布 并决定在高温下的点阵热阻 声子的热平衡分布 并决定在高温下的点阵热阻 点阵自由能点阵自由能为为 13 点阵的自由能和格林爱森点阵的自由能和格林爱森 Gruneisen 常数常数 式中的求和对第一布里渊区内的所有模式进行 第式中的求和对第一布里渊区内的所有模式进行 第 一项一项U V 表示绝对零度时点阵的势能 只与晶体体表示绝对零度时点阵的势能 只与晶体体 积有关 第二项表示所有振动模式 热振动 对自积有关 第二项表示所有振动模式 热振动 对自 由能的贡献 与晶体体积和温度都有关 由能的贡献 与晶体体积和温度都有关 由点阵自由能可以导出由点阵自由能可以导出点阵状态方程点阵状态方程 dU VE p dVV 1 ln 1 2 sB qk T sB q s FU Vqk Te 定义为简正模式频率对体积的对数导数的负值 和定义为简正模式频率对体积的对数导数的负值 和 点阵振动的非线性有关 在德拜模型下 有点阵振动的非线性有关 在德拜模型下 有 式中式中P是压强 是压强 为所有模式的振动能量 即为所有模式的振动能量 即 E 为为格林爱森常数格林爱森常数 1 21 sB s s qk T q s q e Eq ln ln D d dV ln ln s dV qd 由点阵状态方程可以知道点阵的热膨胀情况由点阵状态方程可以知道点阵的热膨胀情况 00 VE VK V 这里这里 是是 时晶体体积的相对变化率 时晶体体积的相对变化率 K0 是是 时的体弹性模量 时的体弹性模量 0 V V 0p 0 VV 例例1 初基晶胞含有两个原子的一维点阵初基晶胞含有两个原子的一维点阵 考虑一个双原子链 其中两种具有相同质量考虑一个双原子链 其中两种具有相同质量M的离的离 子交错排列 只考虑近邻原子间的相互作用 设力子交错排列 只考虑近邻原子间的相互作用 设力 常数分别为常数分别为C1和和C2 a 证明简正模式的色散关系是 证明简正模式的色散关系是 b 讨论在下列极限情况下色散关系的形式及简 讨论在下列极限情况下色散关系的形式及简 正模式的性质正模式的性质 22222 12 1212 1 2cos CC CCC Cqa MM 1qa qap 12 CC 12 CC 解解 看下图 看下图 用用 分别表示第分别表示第s个初基晶胞中两个原子相对个初基晶胞中两个原子相对 于平衡位置的位移 其运动方程为于平衡位置的位移 其运动方程为 ss uv 121 121 sssss sssss MuC uvC uv MvC vuC vu 1 C1弹簧弹簧 C2弹簧弹簧 代入运动方程中 得到代入运动方程中 得到 取简正模式解取简正模式解 i sqat s i sqat s uue vve 2 2 1212 2 1212 0 0 iqa iqa MCCuCC ev CC euMCCv 3 式 式 3 是 是 的线性奇次方程组 要使该方程组的线性奇次方程组 要使该方程组 有非零解 要求有非零解 要求 的系数所组成的行列式必须的系数所组成的行列式必须 等于零 即等于零 即 ss uv ss uv 解得解得 2 1212 2 1212 0 iqa iqa MCCCC e CC eMCC 2 22 1212 iqa MCCCC e 4 22222 12 1212 1 2cos CC CCC Cqa MM 5 系数系数 之比由式 之比由式 3 得到 得到 uv 12 2 12 iqa vCC e uMCC 将式 将式 4 代入后得 代入后得 12 12 iqa iqa vCC e uCC e 6 现讨论以下极限情况 现讨论以下极限情况 1qa 2 2 cos1 sin1 2 qa qaqa 代入式 代入式 5 6 中 得到色散关系的两支分 中 得到色散关系的两支分 别为别为 2 12 2 1 CCv O qa Mu 光学支 12 12 1 2 C Cv qa M CCu 声学支 7 对光学支 初基晶胞中的两个原子的振动位相相反 对光学支 初基晶胞中的两个原子的振动位相相反 对声学支 初基晶胞中的两个原子的振动位相相同 对声学支 初基晶胞中的两个原子的振动位相相同 如图所示 如图所示 长波极限下 从一个初基晶胞到相邻的初基晶胞 长波极限下 从一个初基晶胞到相邻的初基晶胞 相应相应原子振动的位相相同 原子振动的位相相同 Kap 由式 由式 5 6 得到 得到 1 2 1 Cv Mu 光学支 2 2 1 Cv Mu 声学支 8 显然 如果力常数显然 如果力常数 则色散关系的两支在布 则色散关系的两支在布 里渊区边界上成为简并 里渊区边界上成为简并 12 CC 当当 时 从一个初基晶胞到相邻的初基晶胞 时 从一个初基晶胞到相邻的初基晶胞 相应相应 原子振动的位相相反 对声学支 同一个初基晶胞的两个原子振动的位相相反 对声学支 同一个初基晶胞的两个 原子有相同位相 对光学支 初基晶胞中的两个原子有相原子有相同位相 对光学支 初基晶胞中的两个原子有相 反的位相 反的位相 K a p 相邻的两个初基晶胞中的相邻的两个初基晶胞中的相应相应原子有相反的位相 原子有相反的位相 因此 对色散关系的两支画出原子位移的情况如因此 对色散关系的两支画出原子位移的情况如 下图所示 下图所示 12 CC 将上式的根式用二项式定理展开 取将上式的根式用二项式定理展开 取 的首项 有的首项 有 21 C C 12 1 2 1 1 CCv O MCu 光学支 22 1 21 sin1 1 2 CCv qaO MCu 声学支 9 光学支的频率几乎与光学支的频率几乎与q无关 其首项等于由弹簧无关 其首项等于由弹簧C1 连接的单个双原子分子的振动频率 分子内两个原子连接的单个双原子分子的振动频率 分子内两个原子 的振动有相反的位相 但由于的振动有相反的位相 但由于 并不为零 分子并不为零 分子 与分子又有弱的相互作用 这种弱的相互作用使分子与分子又有弱的相互作用 这种弱的相互作用使分子 的振动频率扩展为一个很窄的频带 即的振动频率扩展为一个很窄的频带 即光学支频带光学支频带 21 C C 22222 12 1212 1 2cos CC CCC Cqa MM 声学支的振动等同于用弱弹簧声学支的振动等同于用弱弹簧C2连接起来的质连接起来的质 量为量为2M的原子的振动 近似到的原子的振动 近似到 的首项 由的首项 由 于于 每个晶胞中原子振动每时每刻同位相 弹 每个晶胞中原子振动每时每刻同位相 弹 簧簧C1几乎没有拉伸或压缩 几乎没有拉伸或压缩 21 C C uv 由以上的分析可以看出 光学支模式和声学支由以上的分析可以看出 光学支模式和声学支 模式的本质差别就在于 模式的本质差别就在于 对声学模式 同一个初基对声学模式 同一个初基 晶胞中的两个原子是作为一个整体在振动 晶胞中的两个原子是作为一个整体在振动 点阵振点阵振 动的动力学决定于晶胞与晶胞间的相互作用 相反 动的动力学决定于晶胞与晶胞间的相互作用 相反 对光学模式 初基晶胞的两个原子基本上是在作分对光学模式 初基晶胞的两个原子基本上是在作分 子振动子振动 光学模式基本上是分子振动模式 光学模式基本上是分子振动模式 但由 但由 于分子与分子间的弱耦合 使分子振动频率又扩展于分子与分子间的弱耦合 使分子振动频率又扩展 为一个很窄的频带 为一个很窄的频带 22 1 21 sin1 1 2 CCv qaO MCu 声学支 12 CCC 这时 色散关系为这时 色散关系为 cos 4 2 sin 4 qa C Mqa 10 这正是点阵常数为这正是点阵常数为 的单原子链的色散关系 的单原子链的色散关系 2a 2 C M q 2 a p a p a p 2 a p 0 另外 关于在另外 关于在 处光学支和声学支是简并的情处光学支和声学支是简并的情 况 可以根据原子的振幅比况 可以根据原子的振幅比 v u 来理解 来理解 1 u 当当 正是点阵常数为 正是点阵常数为 的单原子链的单原子链 的振动情况 的振动情况 2a K a p 光学支光学支 声学支声学支 12 CCC 例例2 金属中原子的振动金属中原子的振动 对简单金属 我们可以构想一个粗略的德拜模对简单金属 我们可以构想一个粗略的德拜模 型 设想质量为型 设想质量为M 电荷为 电荷为 e的的点状点状离子湮没在均离子湮没在均 匀的传导电子海中 当这些离子在正常点阵上时 匀的传导电子海中 当这些离子在正常点阵上时 离子是处于稳定平衡的 如果离子相对于它的平衡离子是处于稳定平衡的 如果离子相对于它的平衡 位置移动了一个小距离位置移动了一个小距离 r 那么恢复力主要来自以 那么恢复力主要来自以 平衡位置为中心 以平衡位置为中心 以 r 为半径的球内的电荷 把离为半径的球内的电荷 把离 子 或传导电子 的粒子数密度取为子 或传导电子 的粒子数密度取为 由此 由此 去定义去定义 是包含一个电子的球的半径 是包含一个电子的球的半径 3 3 4 s rp s r s r a 证明单离子参与振动的频率为 证明单离子参与振动的频率为 23 1 2 s eMr b 对金属钠粗略地估计这个频率值 对金属钠粗略地估计这个频率值 解解 a 当离子从它的平衡位置位移了一个距离 当离子从它的平衡位置位移了一个距离r时 时 该离子所受到的恢复力主要来自中心在平衡位置 该离子所受到的恢复力主要来自中心在平衡位置 半径为半径为r的球内的电子电荷 此恢复力为的球内的电子电荷 此恢复力为 3 2 4 3 s er F r p 是电子电荷密度是电子电荷密度 3 4 3 s e r p 故有故有 3 2 3 4 4 3 3 s s ere F r r p p 3 s e r r 1 2 3 写出离子的运动方程为写出离子的运动方程为 2 3 s e Mrr r 或或 2 3 0 s e Mrr r 令令 2 2 3 s e Mr 上式化为上式化为 2 0rr 此即为谐振子运动方程 其振动频率为此即为谐振子运动方程 其振动频率为 1 2 2 3 s e Mr 4 5 6 b 对金属钠 离子质量 对金属钠 离子质量 由电子数密度决定 金属钠的电由电子数密度决定 金属钠的电 子数密度为子数密度为 于是 于是 24 23 1 67 10Mg 23 3 84 10g s r 223 2 65 10 cm 1 3 223 4 2 65 10 3 s r cm p 3243 9 10 s rcm 8 2 08 10 s rcm 钠的振动频率为钠的振动频率为 1 2 2 3 s e Mr 1 2 2 10 131 2324 4 8 10 2 6 10 3 84 109 10 s 例例3 德拜模式密度德拜模式密度 对三维单原子点阵 试导出德拜模型下的模式密度对三维单原子点阵 试导出德拜模型下的模式密度 的表达式 的表达式 解解 对于长声学波的色散关系对于长声学波的色散关系 vK 波矢空间中的频率等值面波矢空间中的频率等值面 是一球面 如图是一球面 如图 所示 该球面内所包围所示 该球面内所包围 的模式数为的模式数为 q 3 33 2 4 326 LV N KKKp pp 式中式中 是晶体体积 是晶体体积 3 VL 1 2 德拜模型下 波矢空间德拜模型下 波矢空间 中的频率等值面为球面中的频率等值面为球面 利用色散关系式 利用色散关系式 1 将式 将式 2 化为对频率 化为对频率 的函的函 数数 3 23 6 V N v p 于是得到于是得到 2 23 1 1 2 D dN g Vdv p 3 以上是对色散关系的一支求得的 考虑到一个波矢以上是对色散关系的一支求得的 考虑到一个波矢K 有三种偏振态 单原子点阵的色散关系有三支 纵波有三种偏振态 单原子点阵的色散关系有三支 纵波 和横波有不同波速 总的模式密度应对各支求和 于和横波有不同波速 总的模式密度应对各支求和 于 是是 2 233 112 2 D lt g vv p 4 式中式中 是纵波的波速 是纵波的波速 是两个横波的波速 是两个横波的波速 l v t v 如果用如果用 表示纵波和横波的平均波速表示纵波和横波的平均波速 v 333 312 lt vvv 5 德拜模式又可以写为德拜模式又可以写为 2 23 3 2 D g v p 6 是频率是频率 的抛物线函数 按照德拜模型 简的抛物线函数 按照德拜模型 简 正模式的最高频率是正模式的最高频率是 如果晶体中原子密度 如果晶体中原子密度 为为 则 则 D g D n 0 3 D D gdn 7 323 6 D v n p 8 相应的相应的德拜截止波矢德拜截止波矢为为 21 3 6 DD Kvn p 9 德拜模型不允许有德拜模型不允许有 或 或 的模式存在 的模式存在 D的模型已全部占据了单原子点阵的的模型已全部占据了单原子点阵的3N个自由度 个自由度 换言之 德拜模型用德拜球内的模式代替了第一布换言之 德拜模型用德拜球内的模式代替了第一布 里渊区中的里渊区中的3N个模式 德拜球的体积等于第一布里个模式 德拜球的体积等于第一布里 渊区的体积 如下图所示 于是渊区的体积 如下图所示 于是德拜模式密度德拜模式密度的完的完 整表达式为整表达式为 D D KK 2 23 3 2 0 D D D g v p 10 德拜模型用德拜球德拜模型用德拜球 内的模式代替了第一布里渊区内的模式代替了第一布里渊区 中的中的3N个模式 德拜球的体个模式 德拜球的体 积等于第一布里渊区的体积 积等于第一布里渊区的体积 D KK 德拜模式密度德拜模式密度 对频对频 率率 的函数曲线 在的函数曲线 在 范围内是抛物线函数 范围内是抛物线函数 D g D 例例4 低温下点阵热容的低温下点阵热容的T3定律定律 我们可以用一个简单的物理模型来解释低温下点阵我们可以用一个简单的物理模型来解释低温下点阵 热容所遵循的热容所遵循的T3定律定律 a 首先计算在足够低的温度 首先计算在足够低的温度 下 近似 下 近似 有多少简正模式被激发 有多少简正模式被激发 b 其次证明在经典近似下每个模式对热能的贡献 其次证明在经典近似下每个模式对热能的贡献 大约为大约为 c 最后由以上结果证明低温下点阵热容的数量级 最后由以上结果证明低温下点阵热容的数量级 为为 与 与T3成正比 这里成正比 这里N是晶体中包含的是晶体中包含的 原子数 原子数 是德拜温度 是德拜温度 D T B k T 3 BD Nk T D 解解 a 粗略地说 在一定的低温 粗略地说 在一定的低温T下 只有下 只有 的振的振 动模式才能被激发 这些振动模式的波矢位于波矢空间动模式才能被激发 这些振动模式的波矢位于波矢空间 中半径为中半径为 的球内 的球内 由由 B k T T K T K B T k T K v 决定 式中决定 式中 是声速 是声速 我们可以近似地认为横波和纵波我们可以近似地认为横波和纵波 的声速是相等的 按照德拜模型 的声速是相等的 按照德拜模型 晶体中的所有振动模式 晶体中的所有振动模式 3N个 个 都位于波矢空间半径为都位于波矢空间半径为 的球的球 内 如图所示 内 如图所示 是德拜截止波是德拜截止波 矢矢 vvK D K D K BD D k K v 1 2 在低温下 受热激发的模式数与总模式数之比为在低温下 受热激发的模式数与总模式数之比为 333