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高等数学课程 教案第一节不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念上一章我们学习了求已知函数的导函数，在许多实际问题中我们经常要进行求导的逆运算，也就是求一个未知的函数，使其导函数恰好是某一个已知的函数.首先看下面的例子例1 已知曲线过原点，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的二倍，求曲线的方程.解 设曲线方程为,为曲线上的任意点，则曲线在该点的切线的斜率为，由题意得： 同时要求的是过原点的曲线，即 时， 我们不难求出所求的曲线方程为 我们把这种求导运算的逆运算称为求原函数.定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即或则为在区间上的原函数.如，所以是函数的一个原函数.显然也是的一个原函数.这说明原函数不是唯一的.关于原函数，我们还要说明两点：（1） 如果在某区间连续，那么它的原函数一定存在.（2） 若存在原函数，就不是唯一的.由于常数的导数等于0，故对任意的常数，也是的原函数，亦即若有一个原函数，则必有无穷多个原函数，且易知是的全体原函数集合，其中是任意常数.对于第二个问题，我们用一个新的概念不定积分来表示该问题，即有下面的定义.定义2 函数的全体原函数集合叫做的不定积分，记为，即， 其中，称为积分号，称为积分函数，称为被积表达式，而称为积分变量.从不定积分的定义，是的原函数，那么易知有下面关系：（1）；（2）或从中大家可以看到求导与积分的关系互逆.例1 求下列不定积分： 解 （1）因为，所以（2）因为，所以二、不定积分的几何意义若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线.于是函数的不定积分表示的某一条积分曲线沿着纵轴方向任意地平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线族.显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线都是互相平行的.如图4-1和图4-2三、基本积分公式和性质1基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应得出下列基本积分公式：（1）（k为常数） （2）（3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10）（11） （12）（13） 以上公式是以后求积分的基础，请读者最好熟记.2不定积分的性质性质1.被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外.即 （k是常数，）性质2.两个函数和的积分，等于各函数积分的和.即本性质对有限多个函数也是成立的，它表明：和函数可逐项积分.例2 求不定积分：（1） ； （2） .解 （1） （2） 例3（1） （2） （3） （4）解 （1） （2） （3） （4） 设法化被积函数为和式，然后再逐项积分是一种重要的解题
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