高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.7.1 证明平行与垂直课件 理 北师大版.ppt

第七章立体几何 第七节立体几何中的空间向量方法 最新考纲1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 j基础知识自主学习 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一向量作为它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 非零 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为 1和 2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为 与平面 共面的两个不共线向量 1和 2 则l 或l 3 设直线l的方向向量为 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 1 2 存在两个实数x y 使 x 1 y 2 u u1 u2 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为 1和 2 则l1 l2 2 设直线l的方向向量为 平面 的法向量为u 则l 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 1 2 1 2 0 u u1 u2 u1 u2 0 4 夹角的计算 1 直线间的夹角 两直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时 我们把两条直线交角中 范围在 内的角叫作两直线的夹角 异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点a作ab l2 我们把的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角 直线l1和直线ab 设s1 s2分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 0 s1 s2 s1 s2 s1 s2 2 直线与平面的夹角平面外一条直线与它的夹角叫作该直线与此平面的夹角 设直线l的方向向量为s 平面 的法向量为n 直线l与平面 的夹角为 则sin cos s n 在该平面内的投影 3 平面间的夹角如图所示 平面 1与 2相交于直线l 点r为直线l上任意一点 过点r 在平面 1上作直线l1 l 在平面 2上作直线l2 l 则l1 l2 r 我们把叫作平面 1与 2的夹角 直线l1和l2的夹角 n1 n2 n1 n2 5 距离的计算 1 点到直线的距离空间一点a到直线l的距离的算法框图如图 2 平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求 3 点到平面的距离空间一点a到平面 的距离的算法框图如图 点到直线的距离 判一判 1 直线的方向向量是唯一确定的 解析错误 直线的方向向量有无穷多个 不是唯一确定的 2 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为 1 1 0 1 2 2 0 2 则l1与l2的位置关系是平行 解析正确 因为 2 2 1 所以 1与 2共线 所以l1与l2的位置关系是平行 4 若n1 n2分别是平面 的法向量 则n1 n2 解析正确 根据法向量的概念可知 当两个平面的法向量互相垂直时 这两个平面也互相垂直 5 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角 解析错误 两直线的方向向量的夹角与这两条直线所成的角相等或互补 6 直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角 解析错误 若直线的方向向量和平面的法向量的夹角为 直线与平面的夹角为 则sin cos 7 两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角 解析错误 两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角 解析 a 1 0 2 n 2 0 4 n 2a 即a n l 答案b 3 在空间直角坐标系o xyz中 平面oab的一个法向量为n 2 2 1 已知点p 1 3 2 则点p到平面oab的距离d等于 a 4b 2c 3d 1 4 已知平面 和 的法向量分别是 1 3 4 和 x 1 2 若 则x 解析因为 所以两个平面的法向量也垂直 因此 1 3 4 x 1 2 0 即x 5 5 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 第一课时证明平行与垂直 r热点命题深度剖析 证明 证法一 如图 取bd的中点o 以o为原点 od op所在射线为y轴 z轴的正半轴 建立空间直角坐标系o xyz 规律方法 用向量证明平行的方法 1 线线平行 证明两直线的方向向量共线 2 线面平行 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 注 应说明直线在平面外 3 面面平行 证明两平面的法向量为共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 变式训练1如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 证明 平面pad 平面abcd且abcd为正方形 ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 例2 2015 济南质检 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 求证 ap bc 证明 如图所示 以o为坐标原点 以射线op为z轴的正半轴建立空间直角坐标系o xyz 2 若点m是线段ap上一点 且am 3 试证明平面amc 平面bmc 规律方法 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 变式训练2如图所示 正三棱柱 底面为正三角形的直三棱柱 abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 利用空间向量解决与垂直 平行有关的探索性问题 是近几年高考考查空间向量应用的一个重要考向 常以是否存在点或参数使线面垂直 平行的形式在解答题中出现 角度一 探索性问题与平行相结合1 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 角度二 探索性问题与垂直相结合 2 是否存在实数 使得平面afd 平面pcd 若存在 试求出 的值 若不存在 请说明理由 解因为平面abcd 平面pac 平面abcd 平面pac ac 且pa ac 所以pa 平面abcd 所以pa ab pa ad 又因为ab ad 所以pa ab ad两两垂直 如图所示 建立空间直角坐标系 因为ab bc 1 pa ad 2 所以a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 p 0 0 2 规律方法 对于 是否存在 型问题的探索方式有两种 一种是根据条件作出判断 再进一步论证 另一种是利用空间向量 先设出假设存在点的坐标 再根据条件求该点的坐标 即找到 存在点 若该点坐标不能求出 或有矛盾 则判定 不存在 s思想方法感悟提升 1种思想 转化思想在求解立体几何题中的运用用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用 体现了向量的工